第10章續(xù)演繹幾何課件

第10章續(xù)演繹幾何《幾何原本》《幾何原本》是由歐幾里得編著。他將公元前七世紀(jì)以來(lái)，由泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯等人積聚豐富的幾何成果作系統(tǒng)的整理並編寫(xiě)成書(shū)。據(jù)說(shuō)他是為亞歷山大里亞大學(xué)預(yù)備學(xué)習(xí)幾何的課本，就編寫(xiě)了《幾何原本》?！稁缀卧尽返慕Y(jié)構(gòu)定義五個(gè)幾何公理定理定義歐幾里得《幾何原本》開(kāi)宗明義給出23個(gè)幾何「物件」的定義，使人明白所談?wù)撝锛囊馑?，例如：點(diǎn)只表示位置而沒(méi)有大小。線段只有長(zhǎng)度而沒(méi)有厚度。線的極端是點(diǎn)。直線是由點(diǎn)組成，它們均勻地直放著。面只有長(zhǎng)度與寬度。面的極端是線。公理公理是指一些人人看得懂，且直觀上顯而易見(jiàn)及不需證明而自然明白的真理。五個(gè)幾何公理任意兩點(diǎn)之間可作一條直線。直線可向兩端無(wú)限延長(zhǎng)。以任何一點(diǎn)為圓心及任意的長(zhǎng)度為半徑都可作圓。所有直角均相等。兩條直線被同一平面上的一條直線所截，如果兩個(gè)同旁內(nèi)角小於兩直角，那麼把兩條直線向該側(cè)延長(zhǎng)後必定相交。歐氏幾何歐幾里得在《幾何原本》中利用23個(gè)定義和5個(gè)幾何公理，以演繹方法導(dǎo)出465個(gè)定理，分成十三卷。後人命名以這種公理化方式演繹的幾何為歐氏幾何。歐氏幾何第一卷以畢氏定理及其逆定理作為高潮結(jié)束。CDMHNOIKJL揉合了分析與綜合的方法，使定理之間具有極強(qiáng)邏輯關(guān)連。每個(gè)先前的定理都是為後來(lái)定理鋪路。《幾何原本》偉大的歷史意義在於它是用公理方法建立演繹體系的最早典範(fàn)。歐氏幾何全等與相似三角形定理在《幾何原本》中，歐氏運(yùn)用他建立的公理化系統(tǒng)，將全等三角形和相似三角形各定理都證畢，但當(dāng)中涉及的定義、公理及定理錯(cuò)綜複雜，為使同學(xué)易於明白及欣賞，現(xiàn)將它們的關(guān)聯(lián)以流程圖表示。全等與相似三角形定理流程圖平行四邊形的性質(zhì)定義與公理S.A.SA.A.SA.S.A.等角兩邊成比例及夾角相等三邊成比例直線上的鄰角對(duì)頂角外角大於內(nèi)對(duì)角等腰Δ底角S.S.SR.H.S.畢氏定理截線定理《幾何原本》的中文版本到19世紀(jì)末，《幾何原本》的印刷版本達(dá)一千種以上。我國(guó)最早的中文譯本是1607年由利瑪竇(MatteoRicci)和徐光啟合譯的，他們只譯出前6卷。250年後，1857年偉烈亞力(AlexanderWylie)和李善蘭合譯《幾何原本》餘下部分。《幾何原本》的中文版本三角形的中心三角形的中心可分為：內(nèi)心外心形心垂心由三角形每個(gè)頂點(diǎn)作角平分線所交的點(diǎn)，稱為三角形的內(nèi)心。右圖中，P

點(diǎn)是

ABC的內(nèi)心。bbaaccABCP三角形的內(nèi)心ABCQ由三角形每邊作垂直平分線所交的點(diǎn)，稱為三角形的外心。右圖中，Q

點(diǎn)是

ABC的外心。三角形的外心由三角形每邊的中點(diǎn)與對(duì)角頂點(diǎn)連線所交的點(diǎn)，稱為三角形的形心。右圖中，R

點(diǎn)是

ABC的形心。ABCR三角形的形心ABCS由三角形每個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線所交的點(diǎn)，稱為三角形的垂心。右圖中，S

點(diǎn)是

ABC的垂心。三角形的垂心三角形各中心的關(guān)係對(duì)任何三角形

ABC，上述的三角形內(nèi)心P、外心Q、形心R

和垂心S，哪三個(gè)必定會(huì)成一直線？幾何的三大問(wèn)題化圓為方三分任意角倍立方化圓為方即求作一正方形使面積等於一給定的圓。abca=b=c三分任意角即求作兩分角線使一給定的角分成三等份。倍立方即求作一正方體使其體積是一給定正方體的兩倍。這些問(wèn)題困擾數(shù)學(xué)家一千多年都不得其解。幾何的三大問(wèn)題謎底解開(kāi)了自從笛卡兒創(chuàng)建坐標(biāo)幾何後(見(jiàn)第十二章)，很多幾何問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。1837年凡齊爾(PierreWantzel,

1814

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1848)運(yùn)用代數(shù)方法證明了三等分角是一個(gè)不可能用尺