生產(chǎn)與銷售的協(xié)調(diào)數(shù)學(xué)建?？荚囆≌撐?大學(xué)開(kāi)放性作業(yè))

從生產(chǎn)與存貯的協(xié)調(diào)談起——用變分法建立動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型作者05級(jí)班級(jí)學(xué)號(hào)目錄目錄 2摘要 3一、引言 3二、模型 3（一）問(wèn)題的化簡(jiǎn)和假設(shè) 3（二）模型的建立 3三、分析 4（一）泛函極值問(wèn)題 4（二）最優(yōu)解及生產(chǎn)率與貯存量之間的關(guān)系 4四、結(jié)論 5（一）變分法的基本概念 5（二）泛函的變分 5（三）泛函的極值 5五、進(jìn)一步的探討 6（一）模型推廣——生產(chǎn)計(jì)劃模型 6（二）假設(shè) 6（三）建模 7五、參考文獻(xiàn) 7摘要本文將從分析生產(chǎn)和銷售的關(guān)系出發(fā)，研究如何能使生產(chǎn)率和存貯量都盡量穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的水平上。這個(gè)模型是用變分法建立的動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型。本文先從一個(gè)實(shí)例開(kāi)始討論，以在一定時(shí)間T內(nèi)生產(chǎn)率和存貯量與設(shè)定值誤差的（加權(quán)）平方和最小為目標(biāo)，給出了泛函極值問(wèn)題。在設(shè)銷售量為常數(shù)的條件下，求出了最優(yōu)解，并在T很大的情況下給出了生產(chǎn)率和存貯量之間的關(guān)系。本文最后推廣出了生產(chǎn)計(jì)劃制定的一般模型。關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型、變分法、生產(chǎn)量、存貯量、生產(chǎn)計(jì)劃制定一、引言如今，國(guó)家工業(yè)化和商業(yè)化的步伐越來(lái)越快，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的浪潮下，如何以最小的成本獲得最大的經(jīng)濟(jì)的利潤(rùn)無(wú)疑是人們現(xiàn)在最關(guān)注的問(wèn)題。公司的負(fù)責(zé)人都希望生產(chǎn)出的產(chǎn)品能夠達(dá)到預(yù)期最好的銷售業(yè)績(jī)，不要在貨倉(cāng)里過(guò)多的積壓，但也不希望產(chǎn)品會(huì)脫銷，這就要求人們考慮如何協(xié)調(diào)好生產(chǎn)和銷售這兩個(gè)商品流通的環(huán)節(jié)。制定一個(gè)科學(xué)合理的生產(chǎn)計(jì)劃是解決這個(gè)問(wèn)題的最好辦法。二、模型（一）問(wèn)題的化簡(jiǎn)和假設(shè)本文先討論一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例。一家集生產(chǎn)、銷售于一體的公司，希望生產(chǎn)率和存貯量都盡量穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的水平上，如果銷售量可以預(yù)測(cè)，公司需要制定一個(gè)根據(jù)存貯量控制生產(chǎn)率的策略。（二）模型的建立可以用變分法建立這個(gè)實(shí)例的動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型。這個(gè)數(shù)學(xué)模型的主要符號(hào)說(shuō)明如下：x（t）——t時(shí)刻的存貯量u（t）——單位時(shí)間產(chǎn)量（即生產(chǎn)率）v（t）——單位時(shí)間銷量u0——預(yù)先給定的生產(chǎn)率x0——預(yù)先給定的存貯量J(u(t))——在時(shí)間T內(nèi)u（t）和x（t）與u0和x0誤差的（加權(quán)α）平方和最小的泛函極值三、分析（一）泛函極值問(wèn)題記時(shí)刻t的存貯量x（t），單位時(shí)間產(chǎn)量（即生產(chǎn)率）和銷售量分別為u（t）和v（t），則x（t）=u（t）-v（t）（1）式設(shè)預(yù)先給定的生產(chǎn)率和存貯量分別為u0和x0，則在時(shí)間T內(nèi)u（t）和x（t）與u0和x0誤差的（加權(quán)α）平方和最小的泛函極值為J（u（t））=（2）式若設(shè)t=0和T=0時(shí)存貯量為0，則x（0）=x（T）=0(3)式將（1）式代入（2）式得J（u（t））=(4)式(3)式和（4）式構(gòu)成一個(gè)固定端點(diǎn)的泛函數(shù)極值問(wèn)題。（二）最優(yōu)解及生產(chǎn)率與貯存量之間的關(guān)系當(dāng)銷售量v（t）=v0（常數(shù)）時(shí)，（4）式的歐拉方程為x-（x-）=0（5）式（5）式在條件（3）下的解為x（t）=-（6）式代入（1）式得u（t）=-（7）式由（6）式和（7）式可得u（t）=+（-x（t））-（8）式在T很大的情況下（8）式最后一項(xiàng)可忽略，于是u=+（-x）即生產(chǎn)率u可以由存貯量x直接確定四、結(jié)論對(duì)于動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型，其優(yōu)化目標(biāo)仍然是一個(gè)數(shù)值，而最優(yōu)策略是函數(shù)。對(duì)于連續(xù)過(guò)程可歸結(jié)為求泛函的極值，常用的方法有變分法。（一）變分法的基本概念泛函：設(shè)S為一函數(shù)集合，若對(duì)S中的每一函數(shù)都有一個(gè)確定的數(shù)J與之相對(duì)應(yīng)，則稱J為定義在S上的一個(gè)泛函，記作J[y(x)]。S稱為泛函J[y(x)]的定義域。最簡(jiǎn)泛函：設(shè)定義一個(gè)泛函J:S?R，對(duì)任意y?S，設(shè)（二）泛函的變分函數(shù)的變分:函數(shù)在的增量其中L是y的線性項(xiàng)，而是y的高階項(xiàng)泛函J在的變分：最簡(jiǎn)泛函的變分為：（三）泛函的極值泛函的極值：泛函取得極小值(極大值)是指：對(duì)于任意一個(gè)與接近的都有變分與極值的關(guān)系：泛函數(shù)極值的必要條件：定理：泛函J[y(x)]在上達(dá)到極小值（或極大值）的必要條件是＝０類比：連續(xù)光滑函數(shù)極值存在的必要條件：在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。最簡(jiǎn)泛函取得極值的必要條件：-=0或--y-此式為歐拉方程此最簡(jiǎn)泛函極值的必要條件可以推廣到含有兩個(gè)及兩個(gè)以上未知函數(shù)歐拉方程組五、進(jìn)一步的探討根據(jù)以上這個(gè)實(shí)例，我們可以推廣出生產(chǎn)計(jì)劃制定的一般模型。（一）模型推廣——生產(chǎn)計(jì)劃模型工廠與客戶簽訂了一項(xiàng)在某時(shí)刻提交一定數(shù)量產(chǎn)品的合同，在制定生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)要考慮生產(chǎn)和存貯兩種費(fèi)用。生產(chǎn)費(fèi)用通常取決于生產(chǎn)率（單位時(shí)間的產(chǎn)量），生產(chǎn)率越高費(fèi)用越大。所謂生產(chǎn)計(jì)劃這里簡(jiǎn)單地看作是到每一時(shí)刻為止的累積產(chǎn)量，它與每單位時(shí)間（如每天）的產(chǎn)量可以互相推算。建模的目的是尋求最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃，使完成合同所需的總費(fèi)用（生產(chǎn)與貯存費(fèi)用之和）最小。（二）假設(shè)開(kāi)始生產(chǎn)時(shí)刻記為t=0，按照合同應(yīng)在t=T提交數(shù)量為Q的產(chǎn)品。到時(shí)刻t為止的產(chǎn)量記作x（t），x(t)即生產(chǎn)計(jì)劃。因?yàn)闀r(shí)刻t的生產(chǎn)率表示為x（t），所以單位時(shí)間的生產(chǎn)費(fèi)用可以一般地記作f（x（t）），而單位時(shí)間的貯存費(fèi)用則應(yīng)記為g（x（t））。于是從t=0到t=T的總費(fèi)用C（x（t））是C（x(t)）=eq\o\ac(○,1)式為了確定f和g的具體形式作如下假設(shè)。1、單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)率提高一個(gè)單位所需的生產(chǎn)費(fèi)用與這時(shí)的生產(chǎn)率成正比。在需求飽滿、生產(chǎn)率很高的工廠里這個(gè)假設(shè)是合理的。2、存貯費(fèi)與存貯量（即累積產(chǎn)量）成正比。這是關(guān)于存貯費(fèi)的最常用的假設(shè)。假設(shè)1表明，生產(chǎn)費(fèi)f對(duì)生產(chǎn)率的變化率與成正比，即于是f（（t））=（t）eq\o\ac(○,2)式是比例系數(shù)，由假設(shè)2則可以直接寫出g（x（t））=x（t）eq\o\ac(○,3)式是單位數(shù)量產(chǎn)品單位時(shí)間的存貯費(fèi)。（三）建模將eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)代入eq\o\ac(○,1)式并注意到x（t）在t=0和t=T時(shí)的值，我們有C(x(t))=eq\o\ac(○,4)式x（0）=0，x(T)=Qeq\o\ac(○,5)式制定最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃歸結(jié)為在固定端點(diǎn)條件eq\o\ac(○,5)下，求x（t）使eq\o\ac(○,4)式定義的泛函C（x（t））取得最小值用變分法求解，記F（t，x，）=，根據(jù)歐拉方程可得(t,x,)-(t,x,)=0eq\o\ac(○,6)式方程eq\o\ac(○,6)在端點(diǎn)條件eq\o\ac(○,5)下的解為x（t）=