福建省福州市四校2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末聯(lián)考試卷含解析

福建省福州市四校2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末聯(lián)考試卷單選題1．“華蜜感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿足程度的指標，常用區(qū)間[0,10]內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿足度越高.現(xiàn)隨機抽取10位嘉祥縣居民，他們的華蜜感指數(shù)為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是A．7.5 B．8 C．8.5 D．9【答案】C【解析】數(shù)據(jù)3，4，5，5，6，7，7，8，9，10共10個，且，所以分位數(shù)是.2．天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為，用隨機模擬的方法估計概率，利用計算機產(chǎn)生0到9之間的取整數(shù)值的隨機數(shù)，假如我們用1，2，3，4，5，6表示下雨，用7，8，9，0表示不下雨，順次產(chǎn)生的隨機數(shù)如下：907028191925277932218478569683630278027556730189139976123034，則這三天中恰有兩天下雨的概率約為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，模擬三天中恰有兩天下雨的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)，這20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：028191925932218569683027139，共9組隨機數(shù)，所以所求概率為.3．若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，且，所以，當且僅當時等號成立，所以，的最小值為.4．，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】,5．某數(shù)學老師在統(tǒng)計班級50位同學的一次數(shù)學周測成果的平均分與方差時，計算完畢才發(fā)覺有位同學的分數(shù)還未錄入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分別為91，2700，新平均分和新方差分別為，，若此同學的得分恰好為91，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題知，，方差為.6．據(jù)《九章算術》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，將三棱錐補形為正方體，則外接球半徑.所以三棱錐外接球表面積.7．鉞（yuè）的本字其實是“戊（yuè）”，是一種斧頭．在中國古代，長江流域以南的少數(shù)民族都被稱為越人，由于民族很雜部落眾多，也稱“百越”，有學者指出，“越人”的“越”，其含義可能由“戊”而來，意指這些都是一幫拿著斧頭的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一樣，也是指斧頭．如圖是一把斧子，它的斧頭由鐵質鍛造，它的形態(tài)可以近似看做由上下兩個多面體組合而成，上部是一個長方體，下部是一個“楔（xie）形”，其尺寸如圖標注（單位：cm），已知鐵的比重為，斧頭上用作安裝斧柄的洞眼仍看作實心，這只斧頭的質量（單位：g）所在的區(qū)間為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得幾何體有一個長方體、一個三棱柱和兩個三棱錐組成，長方體的體積：；三棱柱的體積：；兩個三棱錐的體積：；所以幾何體的體積為，所以這只斧頭的質量為.8．如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵∥，∴，即，又∵，則，∴，∴，，.二、多選題9．若復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是（

）A．對應的點在第三象限 B．C．為純虛數(shù) D．的共軛復數(shù)為【答案】AB【解析】因為，對于A：的虛部為，正確；對于B：模長，正確；對于C：因為，故不是純虛數(shù)，C不正確；對于D：的共軛復數(shù)為，D不正確.10．已知，，下列結論正確的是（

）A．與同向共線的單位向量是B．與的夾角余弦值為C．向量在向量上的投影向量為D．【答案】ACD【解析】，故A正確；，故B．錯誤；向量在向量上的投影向量為，故C．正確；，故D．正確；11.正方體的棱長為分別為的中點.則（）A.直線與直線AF垂直B.直線與平面AEF平行C.平面AEF截正方體所得的截面面積為D.點和點D到平面AEF的距離相等【答案】BCD【解析】因為，而與明顯不垂直，因此與不垂直，A錯；取中點，連接，，由分別是中點，得，又，，是平行四邊形，所以，，平面，所以平面，平面，而，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．B正確；由正方體性質，連接，則截面即為四邊形，它是等腰梯形，，，等腰梯形的高為，截面面積為，C正確，設，易知是中點，所以兩點到平面的距離相等．D正確．12．在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，已知，且，則（）．A．B．角的取值范圍是C．的取值范圍是D．的取值范圍是【答案】AD【解析】因為，所以，，，則，所以或．因為，所以，所以，則，故A正確；因為，所以．因為是銳角三角形，所以，即，解得，所以，則，故B錯誤，D正確；因為，所以，所以，則C錯誤．三、填空題13．水平放置的的直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實際長度為______．【答案】2.5【解析】依據(jù)斜二測畫法的原則,由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且，所以，所以，故邊上中線長為.14．已知，為實數(shù)，是關于的方程的一個根，其中是虛數(shù)單位，則______．【答案】0【解析】是關于的方程的一個根，是關于的方程的另一個根，則，即，15．已知等邊的邊長為2，D為邊BC的中點，點是邊上的動點，則的最大值為______________.【答案】

【解析】如圖，以所在的直線為軸，以的中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，則，，，，，，，，對稱軸為，所以在區(qū)間單調遞減，在單調遞增，當時，最大為，故答案為：.16．如圖，三個全等的三角形，，拼成一個等邊三角形ABC，且為等邊三角形，若，則的值為__________.【答案】【解析】設，，因為三角形，，互為全等三角形，且是等邊三角形，所以，，，且,在中，依據(jù)正弦定理有，所以，所以，即，.五、解答題17．已知函數(shù).(1)求其最小正周期；(2)當時，求函數(shù)的值域.【解】(1)依題意，，則所以，函數(shù)的最小正周期為.由（1）知，因，則，所以函數(shù)的值域為.18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面積．【解】(1)∵,∴,即2sinAcosB+sin（B+C）＝0，即，,;(2)由b＝，a+c＝4，可得，即12＝16﹣2ac+ac，則ac＝4，又a+c＝4，∴a＝c＝2，則△ABC的面積．19．如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面平面ABCD，，，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．求證：(1)∥平面PCD；(2)平面平面PCD．【解】(1)如圖，取PC的中點G，連接FG，DG．∵F，G分別為PB，PC的中點，∴，．∵四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，∴，．∴，．∴四邊形DEFG為平行四邊形．∴．又∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．(2)∵底面ABCD為矩形，∴．又∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，∴平面PAD，∵平面PAD，∴．又∵，，∴平面PAB．∵平面PCD，∴平面平面PCD．20．2024年秋季學期，某省在高一推動新教材，為此該省某市教化部門組織該市全體中學老師在暑假期間進行相關學科培訓，培訓后實行測試（滿分100分），從該市參與測試的數(shù)學老師中抽取了100名老師并統(tǒng)計他們的測試分數(shù)，將成果分成五組，第一組[65，70），其次組[70，75），第三組[75，80），第四組[80，85），第五組[85，90]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值以及這100人中測試成果在[80，85）的人數(shù)；(2)估計全市老師測試成果的平均數(shù)（同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間中點值代替）和中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；(3)若要從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得溝通共享，并在這6人中再抽取2人擔當共享溝通活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率．【解】(1)由題意得：，解得；這100人中測試成果在[80，85）的人數(shù)為（人）；(2)平均數(shù)為：（分），設中位數(shù)為m,且，則，解得，故第50%分數(shù)位76.67分；(3)第三組頻率為，第四組頻率為，第五組頻率為，故從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得溝通共享，三組人數(shù)為3人，2人和1人，記第三組抽取的人為,第四組抽取的人為,第五組抽取的人為,則抽取2人的全部狀況如下：共15種，其中第四組至少有1名老師被抽到的抽法有共9種，故第四組至少有1名老師被抽到的概率為.21．隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一，若某人報名參與了駕駛證考試，要順當?shù)啬玫今{駛證，須要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試．在每一次報名中，每個學員有5次參與科目二考試的機會（這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順當通過，即進入下一科目考試，若5次都沒有通過，則須要重新報名），其中前2次參與科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參與科目二考試都須要交200元的補考費，某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計，得到如下結論：男性學員參與科目二考試，每次通過的概率均為，女性學員參與科目二考試，每次通過的概率均為，現(xiàn)有這個駕校的一對夫妻學員同時報名參與駕駛證科目二考試，若這對夫妻每人每次是否通過科目二考試相互獨立，他們參與科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完全部機會為止．(1)求這對夫妻在本次報名參與科目二考試通過且都不須要交補考費的概率；(2)求這對夫妻在本次報名參與科目二考試通過且產(chǎn)生的補考費用之和為200元的概率．【解】(1)分別表示丈夫和妻子第i次通過考試的事務，則，夫妻二人都不須要交補考費的事務，則，所以這對夫妻在本次報名參與科目二考試通過且都不須要交補考費的概率是.(2)由（1）知，夫妻二人共交200元補考費的事務，則，所以這對夫妻在本次報名參與科目二考試通過且產(chǎn)生的補考費用之和為200元的概率.22．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點，為線段上的動點．（1）若平面交于點，求證：；（2）求證：平