高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)題型和提分秘籍 專題11 函數(shù)與方程 文（含解析）

專題11函數(shù)與方程【高頻考點(diǎn)解讀】1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)．2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解．【熱點(diǎn)題型】題型一函數(shù)的零點(diǎn)例1．函數(shù)f(x)＝xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．4B．5C．6D．7【提分秘籍】1.若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)一定有零點(diǎn)．2．由函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．事實(shí)上，只有當(dāng)函數(shù)圖象通過零點(diǎn)(不是偶次零點(diǎn))時(shí)，函數(shù)值變號，即相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的函數(shù)值同號．3．若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)，則f(a)·f(b)<0?函數(shù)f(x)在[a，b]上只有一個(gè)零點(diǎn)．4.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．【舉一反三】函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)【熱點(diǎn)題型】題型二由函數(shù)零點(diǎn)存在情況求參數(shù)問題例2．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)－1<x≤1時(shí)，f(x)＝x3，若函數(shù)g(x)＝f(x)－loga|x|至少有5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．(1,5) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5)))∪[5，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5)))∪[5，＋∞) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1))∪(1,5]【提分秘籍】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值常用的方法和思路(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解．【舉一反三】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x>0,－x2－2x，x≤0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【熱點(diǎn)題型】題型三二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題例3．關(guān)于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，當(dāng)a為何實(shí)數(shù)時(shí)：(1)方程有兩個(gè)不同正根；(2)方程在(1,3)內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根；(3)方程有一根大于2，另一根小于2.【提分秘籍】二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題主要是構(gòu)造二次函數(shù)之后，數(shù)形結(jié)合從判別式Δ，對稱軸與區(qū)間關(guān)系及區(qū)間端點(diǎn)值符號三個(gè)方面得出條件，解決時(shí)要注意逐一方面進(jìn)行驗(yàn)證．【舉一反三】若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))【熱點(diǎn)題型】題型四判斷函數(shù)零點(diǎn)(方程根)所在的區(qū)間例4、在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))【提分秘籍】判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)的方法(1)解方程，當(dāng)對應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上；(2)利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；(3)畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．【舉一反三】函數(shù)f(x)＝log2x－eq\f(1,x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2) D．(2,3)【高考風(fēng)向標(biāo)】1．（·北京卷）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)的零點(diǎn)的區(qū)間是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)2．（·浙江卷）已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則()A．c≤3B．3＜c≤6C．6＜c≤9D．c＞93．（·重慶卷）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)－3，x∈（－1，0]，,x，x∈（0，1]，))且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,4)，－2))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))4．（·福建卷）函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x＞0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．5．（·湖北卷）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)的集合為()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－eq\r(7)，1，3}D．{－2－eq\r(7)，1，3}6．（·江蘇卷）已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，3)時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋\f(1,2))).若函數(shù)y＝f(x)－a在區(qū)間[－3，4]上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．7．（·江西卷）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·2x，x≥0，,2－x，x<0))(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，則a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2【答案】A【解析】因?yàn)閒(－1)＝21＝2，f(2)＝a·22＝4a＝1，所以a＝eq\f(1,4).8．（·浙江卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋2，x≤0，,－x2，x＞0.))若f(f(a))＝2，則a＝________.9．（·全國卷）函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)，求a的取值范圍．10．（·天津卷）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x2＋5x＋4|，x≤0，,2|x－2|，x＞0.))若函數(shù)y＝f(x)－a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【隨堂鞏固】1．若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對值不超過，則可以是（）A．B．C．D．2．用表示a，b兩個(gè)數(shù)中的最大數(shù)，設(shè)，若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．B．