經(jīng)濟數(shù)學基礎（第六版）（上冊）課件 第17講4.3換元積分法

經(jīng)濟應用數(shù)學輔導第17講顧靜相4.3換元積分法教學要求

掌握計算不定積分的換元積分法．第一換元積分法

本講介紹的換元積分法是把復合函數(shù)求導法則反過來用于不定積分，通過適當?shù)淖兞刻鎿Q(換元)，將某些不定積分化為基本積分表中所列的形式，再計算出最終結果．第一換元積分法

例

因為

，所以不定積分

．在教材中的基本積分表中沒有“

”形式的公式，要計算這個積分必須另尋途徑．第一換元積分法

例

因為

，所以不定積分

．在教材中的基本積分表中沒有“

”形式的公式，要計算這個積分必須另尋途徑．

因為

，所以

．第一換元積分法

一般地，若積分

不能直接用基本積分表中的公式計算，而被積表達式

可以表示成：

則通過變換

u=

(x)

將不定積分化為

，且

容易計算．第一換元積分法不妨設

，即

(17.1)u=

(x)利用公式(17.1)來計算不定積分，就是第一換元法，亦稱為湊微分法．第一換元積分法例1求不定積分

．第一換元積分法例1求不定積分

．解被積函數(shù)可以寫成

，設

u=3-2x，則du=-2dx，即

．因此

再將u=3-2x

代入，得

．

第一換元積分法

由例1還可以看出：一般，對于不定積分

，總可以把dx湊為

，于是

，實際上，所做的變換是

u=ax+b，只是不寫出這一步而已．第一換元積分法例2求不定積分

．第一換元積分法例2求不定積分

．解方法1

第一換元積分法例2求不定積分

．解方法1

方法2

第一換元積分法

方法1和方法2所得結果一樣嗎？由倍角公式其中

C1仍是任意常數(shù)．第一換元積分法

方法1和方法2所得結果一樣嗎？由倍角公式其中

C1仍是任意常數(shù)．

在求不定積分時，有時會遇到用不同方法求出的原函數(shù)是不同的結果，大家可以通過求導來驗證所求結果是否正確．第一換元積分法例3求不定積分

．第一換元積分法例3求不定積分

．解

第一換元積分法例4求不定積分

．第一換元積分法例4求不定積分

．解

．第一換元積分法例4求不定積分

．解

類似地，有

．

．第一換元積分法例5求不定積分

．第一換元積分法例5求不定積分

．解

(利用例4的結果)

第一換元積分法例5求不定積分

．解

(利用例4的結果)

類似地，有

．第一換元積分法

為了熟練地掌握求積分的第一換元積分法，大家應該把教材146頁中給出的用第一換元積分法時常用的湊微分方法記熟，并通過練習熟練掌握這些方法．第二換元積分法

用第一換元積分法能夠求出許多不定積分，但如不定積分

卻不能用第一換元積分法求解．因此，我們引入另一種積分法——第二換元積分法．第二換元積分法

用第一換元積分法能夠求出許多不定積分，但如不定積分

卻不能用第一換元積分法求解．因此，我們引入另一種積分法——第二換元積分法．

第一換元積分法是用中間變量

u

替代可微函數(shù)

(x)，而第二換元積分法是引入新變量

t，并選擇代換

x

=

(t)，從而簡化計算求出不定積分．第二換元積分法例如，設

x

=2sint，則

dx

=2costdt，于是有第二換元積分法例如，設

x

=2sint，則

dx

=2costdt，于是有再將

t

還原成

x

的函數(shù)，由

，sin2t=

，得．第二換元積分法

一般地，當不定積分

不易計算時，可設

x

=

(t)，則原積分化為

第二換元積分法

一般地，當不定積分

不易計算時，可設

x

=

(t)，則原積分化為

假如

(t)，

(t)都是連續(xù)函數(shù)，且

(t)

0，x

=

(t)的反函數(shù)

t=

-1(x)

存在且可導，并且有

則

．

(17.2)這類求不定積分的方法，稱為第二換元法．第二換元積分法

被積函數(shù)含有二次根式

、

或其他根式形式的積分問題，常用第二換元積分法．第二換元積分法例6

求不定積分

(a>0)．第二換元積分法例6

求不定積分

(a>0)．解設

x=asint，則

dx

=acostdt，且

，于是有

．第二換元積分法例6

求不定積分

(a>0)．解……，

為了還原積分變量

x，由

x=asint

作直角三角形(見右圖)，可知

，代入上式，得第二換元積分法例7

求不定積分

(a>0)．第二換元積分法例7

求不定積分

(a>0)．解設

x=asect，則

，且

，第二換元積分法例7

求不定積分

(a>0)．解設

x=asect，則

，且

，于是有

．第二換元積分法例7

求不定積分

(a>0)．解……，

為了還原積分變量

x，由

x=asect

作直角三角形如右圖，可知

，代入上式，得第二換元積分法例8

求不定積分

(a>0)．第二換元積分法例8

求不定積分

(a>0)．解設

x=atant，則

，且

，第二換元積分法例8

求不定積分

(a>0)．解設

x=atant，則

，且

，于是有

(由15講例5得)

第二換元積分法例8

求不定積分

(a>0)．解……于是有

(由15講例5得)

第二換元積分法例8

求不定積分

(a>0)．解……，

為了還原積分變量

x，由x=atant

作直角三角形如右圖，可知

，

，代入上式，得第二換元積分法例9