2025屆湖南省懷化市洪江市數(shù)學(xué)八上期末調(diào)研試題含解析

2025屆湖南省懷化市洪江市數(shù)學(xué)八上期末調(diào)研試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．下列各組線段，能構(gòu)成三角形的是()A． B．C． D．3．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形對(duì)角線的條數(shù)是（）A．6 B．9 C．12 D．184．下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（）A． B． C． D．5．我國(guó)的紙傘工藝十分巧妙,如圖,傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng),傘不論張開(kāi)還是縮攏,傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)所成的角∠BAC,為了證明這個(gè)結(jié)論,我們的依據(jù)是A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA6．如圖是5×5的正方形網(wǎng)絡(luò)，以點(diǎn)D，E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的格點(diǎn)三角形，使所作的格點(diǎn)三角形與△ABC全等，這樣的格點(diǎn)三角形最多可以畫(huà)出（）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂線交AC于D，P是BD的中點(diǎn)，若BC＝4，AC＝8，則S△PBC為（）A．3 B．3.3 C．4 D．4.58．計(jì)算（）A．7 B．-5 C．5 D．-79．如圖所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且，DE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、交BC于點(diǎn)F，若∠D=30°，EF=2，則DF的長(zhǎng)是（）A．5 B．4 C．3 D．210．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若BC=7，AC=6，則△ACE的周長(zhǎng)為（）A．8 B．11 C．13 D．15二、填空題(每小題3分,共24分)11．命題“在中，如果，那么是等邊三角形”的逆命題是_____.12．計(jì)算5個(gè)數(shù)據(jù)的方差時(shí)，得s2＝[（5﹣）2+（8﹣）2+（7﹣）2+（4﹣）2+（6﹣）2]，則的值為_(kāi)____．13．如圖，中，，的平分線與邊的垂直平分線相交于，交的延長(zhǎng)線于，于，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的有________．（填寫(xiě)序號(hào)）14．已知長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16，面積為15，則__________．15．不等式組的解集為_(kāi)_________16．已知，函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，則根據(jù)圖象可得關(guān)于的方程組的解是_______．17．我縣屬一小為了師生繼承瑤族非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的長(zhǎng)鼓舞，決定購(gòu)買(mǎi)一批相關(guān)的長(zhǎng)鼓．據(jù)了解，中長(zhǎng)鼓的單價(jià)比小長(zhǎng)鼓的單價(jià)多20元，用10000元購(gòu)買(mǎi)中長(zhǎng)鼓與用8000元購(gòu)買(mǎi)小長(zhǎng)鼓的數(shù)量相同，則中長(zhǎng)鼓為_(kāi)______元，小長(zhǎng)鼓的單價(jià)為_(kāi)______元．18．分解因式：．三、解答題(共66分)19．（10分）墊球是排球隊(duì)常規(guī)訓(xùn)練的重要項(xiàng)目之一，下列圖表中的數(shù)據(jù)是運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙三人每人10次墊球測(cè)試的成績(jī)，測(cè)試規(guī)則為每次連續(xù)接球10個(gè)，每墊球到位1個(gè)記1分，已知運(yùn)動(dòng)員甲測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)都是1．運(yùn)動(dòng)員甲測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表測(cè)試序號(hào)12345618910成績(jī)（分）16816868（1）填空：______；______．（2）要從他們?nèi)酥羞x擇一位墊球較為穩(wěn)定的接球能手，你認(rèn)為選誰(shuí)更合適？為什么？20．（6分）（1）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為，求△ABC的周長(zhǎng)；（2）計(jì)算：．21．（6分）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)的坐標(biāo)是.（1）將沿軸正方向平移3個(gè)單位得到，畫(huà)出，并寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).22．（8分）有兩棵樹(shù)，一棵高9米，另一棵高4米，兩樹(shù)相距12米.一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢（最高點(diǎn)）飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢（最高點(diǎn)），問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行多少米？23．（8分）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12cm，點(diǎn)P、Q分別是邊BC、CA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為3cm/s．（1）如圖1，連接PQ，求經(jīng)過(guò)多少秒后，△PCQ是直角三角形；（2）如圖2，連接AP、BQ交于點(diǎn)M，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AMQ的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．24．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．（1）判斷∠D是否是直角，并說(shuō)明理由．（2）求四邊形ABCD的面積.25．（10分）已知：如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC交于點(diǎn)O．（1）請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)合適的條件，證明：AC=BD；（2）在（1）的前提下請(qǐng)用無(wú)刻度直尺作出△OAB的角平分線OM．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）26．（10分）如圖，在中，∠．（1）尺規(guī)作圖：作的平分線交于點(diǎn)；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）已知，求的度數(shù)．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】先由∠1=∠2得到∠CAB=∠DAE，然后分別利用“SAS”、“ASA”和“AAS”對(duì)各添加的條件進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵∠1=∠2，

∴∠CAB=∠DAE，

∵AC=AD，

∴當(dāng)AB=AE時(shí)，可根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△AED；

當(dāng)BC=ED時(shí)，不能判斷△ABC≌△AED；

當(dāng)∠C=∠D時(shí)，可根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△AED；

當(dāng)∠B=∠E時(shí)，可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△AED．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．2、C【分析】判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，只需讓兩個(gè)較短的線段長(zhǎng)度相加，其和若大于最長(zhǎng)線段長(zhǎng)度，則可以構(gòu)成三角形，否則不能構(gòu)成三角形.逐一判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，1+3<5，不能構(gòu)成三角形；B選項(xiàng)，2+4=6，不能構(gòu)成三角形；C選項(xiàng)，1+4>4，可以構(gòu)成三角形；D選項(xiàng)，8+8<20，不能構(gòu)成三角形，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)成三角形的條件，掌握構(gòu)成三角形的判斷方法是解題的關(guān)鍵.3、B【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和是360°即可求得多邊形的內(nèi)角和，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和求得邊數(shù)，進(jìn)而求得對(duì)角線的條數(shù)．【詳解】設(shè)這個(gè)多邊形有條邊，由題意，得解得∴這個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是故選：B.【點(diǎn)睛】此題比較簡(jiǎn)單，只要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系來(lái)尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解．4、D【分析】可以用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是完全平方式，符合結(jié)構(gòu)，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、兩平方項(xiàng)符號(hào)相反，不能用完全平方公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、缺少乘積項(xiàng)，不能用完全平方公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、乘積項(xiàng)不是這兩數(shù)積的兩倍，不能用完全平方公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用完全公式進(jìn)行因式分解的能力，解題的關(guān)鍵了解完全平方式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，準(zhǔn)確記憶公式，會(huì)根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)判定多項(xiàng)式是否是完全平方式．5、B【分析】根據(jù)確定三角形全等的條件進(jìn)行判定即可得解．【詳解】解：根據(jù)傘的結(jié)構(gòu)，AE=AF，傘骨DE=DF，AD是公共邊，

∵在△ADE和△ADF中，∴△ADE≌△ADF（SSS），

∴∠DAE=∠DAF，

即AP平分∠BAC．

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，理解題意確定出全等的三角形以及全等的條件是解題的關(guān)鍵．6、B【解析】試題分析：觀察圖形可知：DE與AC是對(duì)應(yīng)邊，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在DE上方兩個(gè)，在DE下方兩個(gè)共有4個(gè)滿(mǎn)足要求的點(diǎn)，也就有四個(gè)全等三角形．根據(jù)題意，運(yùn)用SSS可得與△ABC全等的三角形有4個(gè)，線段DE的上方有兩個(gè)點(diǎn)，下方也有兩個(gè)點(diǎn)．故選B．考點(diǎn)：本題考查三角形全等的判定方法點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是按照順序分析，要做到不重不漏．7、A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，根據(jù)勾股定理求出BD，得到CD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，解得，BD＝5，∴CD＝8﹣5＝3，∴△BCD的面積＝×CD×BC＝×3×4＝6，∵P是BD的中點(diǎn)，∴S△PBC＝S△BCD＝3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．8、C【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)算即可得.【詳解】故答案為C【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，掌握同類(lèi)二次根式的運(yùn)算法則及分母有理化是解題的關(guān)鍵.9、B【分析】求出∠B=30°，結(jié)合EF=2，得到BF，連接AF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到FA=FB=4，再證明∠DAF=∠D，得到DF=AF=4即可．【詳解】解：∵DE⊥AB，則在△AED中，∵∠D=30°，∴∠DAE=60°，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2，∴BF=4，連接AF，∵DE是AB的垂直平分線，∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAF=30°，∵∠D=30°，∴∠DAF=∠D，∴DF=AF=4，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)定理，構(gòu)造線段AF．10、C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝BE，然后利用等線段代換即可得到△ACE的周長(zhǎng)＝AC＋BC，再把BC=7，AC=6代入計(jì)算即可．【詳解】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周長(zhǎng)＝AC＋CE＋AE＝AC＋CE＋BE＝AC＋BC＝6＋7＝1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．二、填空題(每小題3分,共24分)11、如果是等邊三角形，那么.【解析】把原命題的題設(shè)與結(jié)論進(jìn)行交換即可．【詳解】“在中，如果，那么是等邊三角形”的逆命題是“如果是等邊三角形，那么”.故答案為：如果是等邊三角形，那么.【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱(chēng)為定理．也考查了逆命題．12、1【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算即可．【詳解】解：故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的求法，掌握平均數(shù)的公式是解題的關(guān)鍵.13、①②④【分析】①由角平分線的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=AD，DF=AD，從而可證明②正確；③若DM平分∠EDF，則∠EDM=90°，從而得到∠ABC為直角三角形，條件不足，不能確定，故③錯(cuò)誤；④連接BD、DC，然后證明△EBD≌△DFC，從而得到BE=FC，從而可證明④．【詳解】如圖所示：連接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．故①正確．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=AD．同理：DF=AD．∴DE+DF=AD．故②正確．③由題意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假設(shè)MD平分∠ADF，則∠ADM=30°．則∠EDM=90°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=90°．∴∠ABC=90°．∵∠ABC是否等于90°不知道，∴不能判定MD平分∠EDF．故③錯(cuò)誤．④∵DM是BC的垂直平分線，∴DB=DC．在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD．∴BE=FC．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF，BE=FC，∴AB+AC=2AE．故④正確．故答案為①②④【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．14、1【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式和面積公式可得2（a+b）=16，ab=15，從而求出a+b=8，然后將多項(xiàng)式因式分解，最后代入求值即可．【詳解】解：∵長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16，面積為15∴2（a+b）=16，ab=15∴a+b=8∴故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查的是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式、面積公式和因式分解，掌握長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式、面積公式和用提公因式法因式分解是解決此題的關(guān)鍵．15、【分析】由題意分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解，確定不等式組的解集即可．【詳解】解：，解得，所以不等式組的解集為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)以及熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.16、【分析】先把P（m，-1）代入y=2x中解出m的值，再根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組的解作答即可.【詳解】解：將點(diǎn)P（m，-1）代入，得2m=-1，解得m=，∴的解即為的解，即為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，從函數(shù)的角度看，就是尋求兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.17、100；1【分析】設(shè)小長(zhǎng)鼓的單價(jià)為x元，則中長(zhǎng)鼓的單價(jià)為（x＋20）元，根據(jù)“用10000元購(gòu)買(mǎi)中長(zhǎng)鼓與用8000元購(gòu)買(mǎi)小長(zhǎng)鼓的數(shù)量相同”列出分式方程，并解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)鼓的單價(jià)為x元，則中長(zhǎng)鼓的單價(jià)為（x＋20）元根據(jù)題意可得解得：x=1經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是原方程的解中長(zhǎng)鼓的單價(jià)為1＋20=100元故答案為：100；1．【點(diǎn)睛】此題考查的是分式方程的應(yīng)用，掌握實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．18、．【解析】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有公因式，則把它提取出來(lái)，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，先提取公因式后繼續(xù)應(yīng)用平方差公式分解即可：．考點(diǎn)：提公因式法和應(yīng)用公式法因式分解．三、解答題(共66分)19、（1）1，1；（2）選乙運(yùn)動(dòng)員更合適，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）觀察表格，根據(jù)眾數(shù)的定義即可求解；（2）先分別求出三人的方差，再根據(jù)方差的意義求解即可．【詳解】解：（1）∵運(yùn)動(dòng)員甲測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)是1，∴數(shù)據(jù)1出現(xiàn)的次數(shù)最多，∵甲測(cè)試成績(jī)中6分與8分均出現(xiàn)了3次，而一共測(cè)試10次，∴甲測(cè)試成績(jī)中1分出現(xiàn)的次數(shù)為4次，而1分已經(jīng)出現(xiàn)2次，∴．故答案為：1，1；（2）甲成績(jī)重新排列為：6、6、6、1、1、1、1、8、8、8，∴，，，，，，∵，，∴選乙運(yùn)動(dòng)員更合適.【點(diǎn)睛】本題考查方差、條形圖、折線圖、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)等知識(shí)，熟練掌握基本概念以及運(yùn)用公式求出平均數(shù)和方差是解題的關(guān)鍵．20、（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)三角形ABC的周長(zhǎng)=a+b+c，利用二次根式加減法法則計(jì)算即可得答案；（2）根據(jù)0指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可得答案．【詳解】（1）的周長(zhǎng)=a+b+c=．原式．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的加減及0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．21、作圖見(jiàn)解析，（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圖象平移的規(guī)律，只需要把、、三點(diǎn)坐標(biāo)向上平移即可，把平移后的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)連接起來(lái)可得所求圖形；（2）由圖象的軸對(duì)稱(chēng)性可知，把三點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)做出來(lái)，把三點(diǎn)連接后得到的圖形即為所求圖形.【詳解】（1）沿軸正方向平移3個(gè)單位得到，如圖所示：由圖可知坐標(biāo)為，故答案為：.（2）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的，如圖所示：由圖可知點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：.【點(diǎn)睛】做平移圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，注意只需要把圖形上的頂點(diǎn)進(jìn)行平移，對(duì)稱(chēng)即可，把做出的點(diǎn)連接起來(lái)就可以得到所求圖形.22、小鳥(niǎo)至少飛行13米．【分析】先畫(huà)出圖形，再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理可求出AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得最短飛行距離等于AC的長(zhǎng)，由此即可得．【詳解】畫(huà)出圖形如下所示：由題意得：米，米，米，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，則四邊形ABDE是矩形，米，米，米，在中，（米），由兩點(diǎn)之間線段最短得：小鳥(niǎo)飛行的最短距離等于AC的長(zhǎng)，即為13米，答：小鳥(niǎo)至少飛行13米．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，正確畫(huà)出圖形是解題關(guān)鍵．23、（1）經(jīng)過(guò)43秒或83秒，△PCQ是直角三角形（2）∠【解析】（1）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題；（2）由△AB≌△BCQ（SAS），推出∠BAP＝∠CBQ，可得∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°即可．【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，△PCQ是直角三角形．由題意：PC＝（12﹣3t）cm，CQ＝3t，∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝60°，當(dāng)∠PQC＝90°時(shí)，∠QPC＝30°，∴PC＝2CQ，∴12﹣3t＝6t，解得t＝43當(dāng)∠QPC＝90°時(shí)，∠PQC＝30°，∴CQ＝2PC，∴3t＝2（12﹣3t），解得t＝83∴經(jīng)過(guò)43秒或83秒，△（2）結(jié)論：∠AMQ的大小不變．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，∵點(diǎn)P，Q的速度相等，∴BP＝CQ，在△ABP和△BCQ中，AB=BC∠ABP=∠C∴△AB≌△BCQ（SAS），∴∠BAP＝∠CBQ，∴∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．24、（1）∠D是直角．理由見(jiàn)解析；（2）2.【分析】（1）連接AC，先根據(jù)勾