第十一章立體幾何初步章末總結(jié)提升課件高一數(shù)學(xué)人教B版

第十一章立體幾何初步章末總結(jié)提升人教B版

數(shù)學(xué)

必修第四冊網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升專題一幾何體的表面積與體積1.主要考查多面體、旋轉(zhuǎn)體的表面積,旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖,柱體、錐體、臺體的體積,球的表面積和體積,不規(guī)則幾何體常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)型法等進(jìn)行求解.2.利用公式求解表面積、體積,提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【例1】

(1)(多選題)[2023四川翠屏校級期中]《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬.已知四棱錐P-ABCD為陽馬,底面ABCD是邊長為2的正方形,其中兩條側(cè)棱長都為3,則(

)ABD解析

如圖,設(shè)PA⊥底面ABCD,AB=AD,所以PA,AD,AB兩兩互相垂直,則AD⊥平面PAB,AB⊥平面PAD.因為PB?平面PAB,PD?平面PAD,所以AD⊥PB,AB⊥PD.又BC∥AD,AB∥CD,所以PB⊥BC,PD⊥CD.由題可知,內(nèi)切球的大圓半徑其實是△PAB的內(nèi)切圓半徑,根據(jù)內(nèi)切圓半徑

(2)[2023安徽宿州期中]如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB⊥AD,AB=BC=2,B=120°,AD=.①求tan∠ACD的值;②將四邊形ABCD繞著邊AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為Ω,求Ω的體積.由題知,∠BAC=30°.又AB⊥AD,則∠DAC=60°.又AC=AD,則△ADC為正三角形,規(guī)律方法

空間幾何體表面積、體積的求解策略(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵,熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,然后再依據(jù)題意判定.(2)求不規(guī)則幾何體的表面積(體積)時,通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體,先求這些柱、錐、臺體的表面積(體積),再通過求和或作差求得幾何體的表面積(體積),即切割法的應(yīng)用.變式訓(xùn)練1(1)[2023廣東揭陽期中]在三棱錐S-ABC中,SA=BC=5,

A.50π

B.100π C.150π

D.200πA解析

對棱相等的三棱錐可以補(bǔ)為長方體(各個對面的面對角線),故外接球的表面積S=4πR2=50π.故選A.(2)[2023甘肅張掖四模]如圖,仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱的組合體,其口徑為15.5cm,足徑為9.2cm,頂部到底部的高為4.1cm,底部圓柱高為0.7cm,則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積約為(

)(參考數(shù)據(jù):π的值取3,≈4.6)A.143.1cm2

B.151.53cm2

C.155.42cm2

D.170.43cm2D解析

設(shè)該圓臺的母線長為l,高為h,兩底面圓的半徑分別為R,r(其中R>r),則2R=15.5

cm,2r=9.2

cm,h=4.1-0.7=3.4

cm,故圓臺部分的側(cè)面積為S1=π(R+r)×1≈3×(7.75+4.6)×4.6=170.43

cm2.故選D.專題二空間中的平行關(guān)系1.空間中的平行主要有線線平行、線面平行、面面平行.平行關(guān)系中線面平行是考查的重點(diǎn).2.掌握空間中的平行關(guān)系提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【例2】

如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在線段PB上是否存在一點(diǎn)F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,請確定點(diǎn)F的位置;若不存在,請說明理由.

解當(dāng)點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時,平面AFC∥平面PMD.證明如下:如圖,連接BD和AC交于點(diǎn)O,連接FO,則PF=.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴O是BD的中點(diǎn).∴OF∥PD.又OF?平面PMD,PD?平面PMD,∴OF∥平面PMD.∴四邊形AFPM是平行四邊形.∴AF∥PM.又AF?平面PMD,PM?平面PMD,∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF?平面AFC,OF?平面AFC,∴平面AFC∥平面PMD.規(guī)律方法

線線平行、線面平行、面面平行間的關(guān)系線線平行、線面平行、面面平行這三種關(guān)系是緊密相連的,可以進(jìn)行任意轉(zhuǎn)化,相互間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下:變式訓(xùn)練2如圖,BF∥平面ADE,CF∥AE.求證:AD∥BC.證明∵CF∥AE,CF?平面ADE,AE?平面ADE,∴CF∥平面ADE.∵BF∥平面ADE,BF∩CF=F,BF,CF?平面BCF,∴平面ADE∥平面BCF.又平面ADE∩平面ABCD=AD,平面BCF∩平面ABCD=BC,∴AD∥BC.專題三空間中的垂直關(guān)系1.主要考查空間中的線面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,以及線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.2.通過線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的轉(zhuǎn)化,提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【例3】

如圖,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn),且BC=CA=AA1.(1)求證:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;(2)求證:BC1⊥AB1.證明(1)設(shè)BC的中點(diǎn)為M,連接B1M.∵點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是點(diǎn)M,∴B1M⊥平面ABC.∵AC?平面ABC,∴B1M⊥AC.∵BC⊥AC,B1M∩BC=M,∴AC⊥平面B1C1CB.又AC?平面ACC1A1,∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)連接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB,∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BC=CC1,∴四邊形B1C1CB是菱形,∴B1C⊥BC1.又B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1.規(guī)律方法

線線垂直、線面垂直、面面垂直相互間的轉(zhuǎn)化變式訓(xùn)練3[北師大版教材習(xí)題]如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,且PA⊥AB,PD⊥CD.(1)判斷CD是否與平面PAD垂直,證明你的結(jié)論;(2)證明:平面PAB⊥平面ABCD.(1)解CD⊥平面PAD.證明:由∠BCD=90°,AD∥BC,可知CD⊥AD.又CD⊥PD,且AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.(2)證明由(1)得CD⊥平面PAD,又PA?平面PAD,所以CD⊥PA.又PA⊥AB,且AB,CD為相交直線,所以PA⊥平面ABCD.又PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD.專題四空間角的計算1.空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角,主要考查空間角的定義及求法,求角時要先找角,再證角,最后在三角形中求角.2.通過找角、證角、求角,提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【例4】

如圖,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜邊AB=4,Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角B-AO-C是直二面角,動點(diǎn)D在斜邊AB上.(1)求證:平面COD⊥平面AOB;(2)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時,求異面直線AO與CD所成角的正切值;(3)求CD與平面AOB所成角的正切值的最大值.(1)證明由題意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,又二面角B-AO-C是直二面角,∴CO⊥BO.∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB.∵CO?平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.(2)解作DE⊥OB,垂足為點(diǎn)E,連接CE(如圖),則DE∥AO.∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角.規(guī)律方法

1.求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角).2.求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影).3.二面角的平面角的作法常有三種:(1)定義法;(2)三垂線法;(3)垂面法.(1)證明:AC⊥平面POD;(2)求二面角P-AC-O的正弦值.(1)證明連接OC(圖略),因為OA=OC