五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)培優(yōu)奧數(shù)講義-第15講 余數(shù)定理

第15講余數(shù)定理知識(shí)與方法余數(shù)在計(jì)算時(shí)有三個(gè)主要性質(zhì)，也被稱為三個(gè)定理，余數(shù)問(wèn)題中非常重要的同余問(wèn)題以及中國(guó)剩余定理，其實(shí)就是根據(jù)這三個(gè)性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題的，所以這三個(gè)性質(zhì)非常重要。余數(shù)主要有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）可加性：a與b的和除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之和。（2）可減性：a與b的差除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之差。（3）可乘性：a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之積（或這個(gè)積除以c的余數(shù)）。初級(jí)挑戰(zhàn)1（1）23÷5＝4……（）（2）108÷4＝2716÷5＝3……（）214÷4＝53……（）39÷5＝7……（）322÷4＝80……（）（3）155÷3＝51……（）230÷3＝76……（）385÷3＝128……（）觀察以上每組算式中的被除數(shù)和余數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？思維點(diǎn)撥：余數(shù)定理一：a與b的和除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之（）。如果余數(shù)之和大于除數(shù)，那么可以繼續(xù)除以這個(gè)除數(shù)得到余數(shù)。答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1發(fā)現(xiàn)：三個(gè)數(shù)除以一個(gè)相同的數(shù)，如果一個(gè)數(shù)是其它兩個(gè)數(shù)的和，那么所得的余數(shù)也是其它兩個(gè)數(shù)除得的余數(shù)的和。能力探索11、快速計(jì)算：（234＋123＋732）÷3的余數(shù)。2、甲數(shù)除以9，商12余3；乙數(shù)除以9，商28余6；丙數(shù)除以9，商31余5。（甲數(shù)＋乙數(shù)＋丙數(shù)）÷9的余數(shù)是多少？答案：1、02、（3＋6＋5）÷9＝1……5，所以余數(shù)是5。初級(jí)挑戰(zhàn)2（1）129÷7＝18……3（2）237÷5＝47……（）71÷7＝10……1200÷5＝4058÷7＝8……237÷5＝7……（）（3）93÷4＝23……（）30÷4＝7……（）63÷4＝15……（）觀察以上每組算式中的被除數(shù)和余數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？思維點(diǎn)撥：余數(shù)定理二：a與b的差除以c的余數(shù)，等于a、b分別除以c的余數(shù)之（）。當(dāng)不夠減時(shí)，可先加上除數(shù)再減。答案：（2）2、2；（3）1、2、3發(fā)現(xiàn)：三個(gè)數(shù)除以一個(gè)相同的數(shù)，如果一個(gè)數(shù)是其它兩個(gè)數(shù)的差，那么所得的余數(shù)也是其它兩個(gè)數(shù)除得的余數(shù)的差。能力探索21、快速計(jì)算：（1583－634）÷9的余數(shù)。答案：42、甲數(shù)除以19的余數(shù)是7，乙數(shù)除以19的余數(shù)是13，那么甲數(shù)減去乙數(shù)的差再除以19的余數(shù)是多少？答案：13中級(jí)挑戰(zhàn)1（1）已知：17÷5＝3……212÷5＝2……2計(jì)算：（17×12）÷5的余數(shù)。（2）已知：125÷7＝17……6345÷7＝49……2計(jì)算：（125×345）÷7的余數(shù)。思維點(diǎn)撥：余數(shù)定理三：a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之（）。如果余數(shù)之積大于除數(shù)，繼續(xù)除以除數(shù)得到余數(shù)。答案：（1）2×2＝4；（2）（6×2）÷7＝1……5能力探索31、已知512÷11＝46……6346÷11＝31……5計(jì)算：（512×346）÷11的余數(shù)。答案：（6×5）÷11＝2……8，所以余數(shù)是8。2、計(jì)算：17×354×409×672除以3所得的余數(shù)。答案：03、求（53×53×53×53）÷5的余數(shù)。答案：1中級(jí)挑戰(zhàn)2計(jì)算：（785×259－1824＋73）÷7的余數(shù)。思維點(diǎn)撥：根據(jù)余數(shù)定理一、二、三，分別算出每個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)，再將余數(shù)按照運(yùn)算符號(hào)進(jìn)行計(jì)算求得結(jié)果。答案：6能力探索4計(jì)算：（64×567＋25－234）÷6的余數(shù)。答案：1聰明泉婚禮五歲的女兒第一次參加婚禮，看到新娘穿著白色的禮服，她好奇地問(wèn)我：“新娘穿白色的衣服代表著什么？”我告訴她：“白色代表幸福和快樂(lè)，今天是她一生中最幸福的日子。”女兒沉思了片刻，不解的問(wèn)道：“那么新郎穿著黑色的衣服又代表了什么呢？”拓展挑戰(zhàn)÷5的余數(shù)是多少？思路引領(lǐng)：表示2013個(gè)18相乘，要求除以5的余數(shù)，因?yàn)?8÷5的余數(shù)是3，根據(jù)余數(shù)定理三，本題實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為求÷5的余數(shù)。因?yàn)椋骸?余3÷5余4÷5余2÷5余1÷5余3÷5余4÷5余2÷5余1……所以這些被除數(shù)除以5后，余數(shù)是3、4、2、1循環(huán)，每4個(gè)數(shù)循環(huán)一次，2013÷4＝503……1所以÷5的余數(shù)是3，那么÷5的余數(shù)為3。能力探索5÷6的余數(shù)是多少？答案：÷6的余數(shù)為2，那么÷6的余數(shù)與÷6的余數(shù)相等。又因?yàn)椋河?，余4，余2，余4……由規(guī)律可知這些被除數(shù)除以6后，余數(shù)是2、4，每2個(gè)數(shù)循環(huán)一次，50÷2＝25，所以÷6的余數(shù)是4，即÷6的余數(shù)是4。課堂小測(cè)1、已知203、109除以5的余數(shù)分別是3和4，那么203＋109除以5的余數(shù)是多少？答案：22、（34578－124）÷3的余數(shù)是多少？答案：23、甲數(shù)除以11的余數(shù)為9，乙數(shù)除以11的余數(shù)為7，丙數(shù)除以11的余數(shù)為6，那么：

①（甲數(shù)＋乙數(shù)＋丙數(shù)）÷11的余數(shù)為_________；

②（甲數(shù)＋乙數(shù)－丙數(shù)）÷11的余數(shù)為_________；

③（甲數(shù)×乙數(shù)×丙數(shù)）÷11的余數(shù)為_________；

④（甲數(shù)－乙數(shù)＋丙數(shù)）÷11的余數(shù)為_________。答案：①0；②10；③4；④84、計(jì)算：（533298×12345＋287－101）÷9的余數(shù)。答案：65、1991被7除，余數(shù)是多少？答案：1991÷7＝284……3，那么1991÷7的余數(shù)與3÷7的余數(shù)相同。3÷7余