高中數(shù)學基礎(chǔ)知識要點解析及配套習題

高中數(shù)學根底學問要點解析第一章集合及簡易邏輯1．集合中元素具有確定性、無序性、互異性．2．集合的性質(zhì)：=1\*GB3①任何一個集合是它本身的子集，記為；=2\*GB3②空集是任何集合的子集，記為；=3\*GB3③空集是任何非空集合的真子集；假如，同時，則A=B．假如．[留意]：=1\*GB3①Z={整數(shù)}〔√〕Z={全體整數(shù)}〔×〕=2\*GB3②集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集．〔×〕〔例：S=N；A=，則sA={0}〕空集的補集是全集．=4\*GB3④假設集合A=集合B，則S〔．3．①{〔x，y〕|xy=0，x∈R，y∈R}坐標軸上的點集．②{〔x，y〕|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的點集．③{〔x，y〕|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的點集．[注]：①對方程組解的集合應是點集．例：解的集合{(2，1)}．②點集及數(shù)集的交集是．〔例：A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}則A∩B=〕4．①n個元素的子集有2n個．②n個元素的真子集有2n－1個．③n個元素的非空真子集有2n－2個．5．=1\*GB2〔1〕①一個命題的否命題為真，它的逆命題確定為真．否命題逆命題．=2\*GB3②一個命題為真，則它的逆否命題確定為真．原命題逆否命題．例：①假設應是真命題．解：逆否：a=2且b=3，則a+b=5，成立，所以此命題為真．=2\*GB3②．解：逆否：x+y=3x=1或y=2．,故是的既不是充分，又不是必要條件．=2\*GB2〔2〕小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍．例：假設．6．集合的運算．DeMorgan公式7．容斥原理：對隨意集合AB有．．第二章函數(shù)1．函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應法則．2．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的一部分．對于詳細的函數(shù)來說可能有單調(diào)區(qū)間，也可能沒有單調(diào)區(qū)間，假如函數(shù)在區(qū)間〔0，1〕上為減函數(shù)，在區(qū)間〔1，2〕上為減函數(shù)，就不能說函數(shù)在上為減函數(shù)．3．反函數(shù)定義：只有滿意，函數(shù)才有反函數(shù)．例：無反函數(shù)．函數(shù)的反函數(shù)記為，習慣上記為．在同一坐標系，函數(shù)及它的反函數(shù)的圖象關(guān)于對稱．[注]：一般地，的反函數(shù)．是先的反函數(shù)，在左移三個單位．是先左移三個單位，在的反函數(shù)．4．=1\*GB2〔1〕單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，但并非反函數(shù)存在時確定是單調(diào)的．因此，全部偶函數(shù)不存在反函數(shù)．=2\*GB2〔2〕假如一個函數(shù)有反函數(shù)且為奇函數(shù)，則它的反函數(shù)也為奇函數(shù)．=3\*GB2〔3〕設函數(shù)y=f〔x〕定義域，值域分別為X、Y．假如y=f〔x〕在X上是增〔減〕函數(shù)，則反函數(shù)在Y上確定是增〔減〕函數(shù)，即互為反函數(shù)的兩個函數(shù)增減性一樣．=4\*GB2〔4〕一般地，假如函數(shù)有反函數(shù)，且，則．這就是說點〔〕在函數(shù)圖象上，則點〔〕在函數(shù)的圖象上．5．指數(shù)函數(shù)：〔〕，定義域R，值域為〔〕．=1\*GB2〔1〕=1\*GB3①當，指數(shù)函數(shù)：在定義域上為增函數(shù)；=2\*GB3②當，指數(shù)函數(shù)：在定義域上為減函數(shù)．=2\*GB2〔2〕當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反．6．對數(shù)函數(shù)：假如〔〕的次冪等于，就是，數(shù)就叫做以為底的的對數(shù)，記作〔，負數(shù)和零沒有對數(shù)〕；其中叫底數(shù)，叫真數(shù)．=1\*GB2〔1〕對數(shù)運算：〔以上〕留意1：當時，．留意2：當時，取“+〞，當是偶數(shù)時且時，，而，故取“—〞．例如：中x＞0而中x∈R〕．=2\*GB2〔2〕〔〕及互為反函數(shù)．當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反．7．奇函數(shù)，偶函數(shù)：=1\*GB2〔1〕偶函數(shù)：設〔〕為偶函數(shù)上一點，則〔〕也是圖象上一點．偶函數(shù)的斷定：兩個條件同時滿意=1\*GB3①定義域確定要關(guān)于軸對稱，例如：在上不是偶函數(shù)．=2\*GB3②滿意，或，假設時，．=2\*GB2〔2〕奇函數(shù)：設〔〕為奇函數(shù)上一點，則〔〕也是圖象上一點．奇函數(shù)的斷定：兩個條件同時滿意=1\*GB3①定義域確定要關(guān)于原點對稱，例如：在上不是奇函數(shù)．=2\*GB3②滿意，或，假設時，．8．對稱變換：①y=f〔x〕②y=f〔x〕③y=f〔x〕9．推斷函數(shù)單調(diào)性〔定義〕作差法：對帶根號的確定要分子有理化，例如：再進展探討．10．外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域．例如：函數(shù)f〔x〕=1+的定義域為A，函數(shù)f[f〔x〕]的定義域是B，則集合A及集合B之間的關(guān)系是．解：的值域是的定義域，的值域，故，而A，故．11．常用變換：①．證：②證：12．=1\*GB2〔1〕熟識常用函數(shù)圖象：例：→關(guān)于軸對稱．→→→關(guān)于軸對稱．=2\*GB2〔2〕熟識分式圖象：例：定義域，值域→值域前的系數(shù)之比．等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；；通項公式〔〕中項〔〕〔〕前項和重要性質(zhì)第三章數(shù)列1．=1\*GB2〔1〕等差、等比數(shù)列：=2\*GB2〔2〕看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：=1\*GB3①=2\*GB3②2()=3\*GB3③(為常數(shù))．=3\*GB2〔3〕看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：=1\*GB3①=2\*GB3②(，)=1\*GB3①注=1\*GB3①：=1\*romani．，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數(shù)列．ii．〔ac＞0〕→為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要．iii．→為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分．=4\*romaniv．且→為a、b、c等比數(shù)列的充要．留意：隨意兩數(shù)a、c不確定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項確定有兩個．=3\*GB3③(為非零常數(shù))．=4\*GB3④正數(shù)列{}成等比的充要條件是數(shù)列{}〔〕成等比數(shù)列．=4\*GB2〔4〕數(shù)列{}的前項和及通項的關(guān)系：[注]：=1\*GB3①〔可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件〔即常數(shù)列也是等差數(shù)列〕→假設不為0，則是等差數(shù)列充分條件〕．=2\*GB3②等差{}前n項和→可以為零也可不為零→為等差的充要條件→假設為零，則是等差數(shù)列的充分條件；假設不為零，則是等差數(shù)列的充分條件．=3\*GB3③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列．〔不是非零，即不行能有等比數(shù)列〕2．①等差數(shù)列依次每k項的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍；②假設等差數(shù)列的項數(shù)為2，則；=3\*GB3③假設等差數(shù)列的項數(shù)為，則，且，．3．常用公式：①1+2+3…+n=②=3\*GB3③[注]：熟識常用通項：9，99，999，…；5，55，555，…．4．等比數(shù)列的前項和公式的常見應用題：=1\*GB2〔1〕消費部門中有增長率的總產(chǎn)量問題．例如，第一產(chǎn)量為，增長率為，則每的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為．其中第產(chǎn)量為，且過后總產(chǎn)量為：=2\*GB2〔2〕銀行部門中按復利計算問題．例如：一中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復利計算，則每月的元過個月后便成為元．因此，第二初可存款：=．=3\*GB2〔3〕分期付款應用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為利率．5．數(shù)列常見的幾種形式：=1\*GB2〔1〕〔p、q為二階常數(shù)〕用特證根方法求解．詳細步驟：①寫出特征方程〔對應，x對應〕，并設二根②假設可設，假設可設；③由初始值確定．=2\*GB2〔2〕〔P、r為常數(shù)〕用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項選代；③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為的形式，再用特征根方法求；④〔公式法〕，由確定．①轉(zhuǎn)化等差，等比：．②選代法：．③用特征方程求解：④由選代法推導結(jié)果：6．幾種常見的數(shù)列的思想方法：=1\*GB2〔1〕等差數(shù)列的前項和為，在時，有最大值．如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值．=2\*GB2〔2〕假如數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列及一個等比數(shù)列的對應項乘積，求此數(shù)列前項和可按照等比數(shù)列前項和的推倒導方法：錯位相減求和．例如：=3\*GB2〔3〕兩個等差數(shù)列的一樣項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個一樣項，公差是兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．第四章三角函數(shù)1．=1\*GB3①及〔0°≤＜360°〕終邊一樣的角的集合〔角及角的終邊重合〕：=2\*GB3②終邊在x軸上的角的集合：=3\*GB3③終邊在y軸上的角的集合：=4\*GB3④終邊在坐標軸上的角的集合：=5\*GB3⑤終邊在y=x軸上的角的集合：=6\*GB3⑥終邊在軸上的角的集合：=7\*GB3⑦假設角及角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角及角的關(guān)系：=8\*GB3⑧假設角及角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角及角的關(guān)系：=9\*GB3⑨假設角及角的終邊在一條直線上，則角及角的關(guān)系：=10\*GB3⑩角及角的終邊互相垂直，則角及角的關(guān)系：2．角度及弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0．017451=57．30°=57°18′留意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零．3．三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)定義域sinxcosxtanxcotxsecxcscx4．三角函數(shù)的公式：〔一〕根本關(guān)系公式組二公式組三 公式組四公式組五公式組六〔二〕角及角之間的互換公式組一公式組二,,,5．正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：〔A、＞0〕定義域RRR值域RR周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當非奇非偶當奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)〔〕；上為增函數(shù)上為減函數(shù)〔〕上為增函數(shù)〔〕上為減函數(shù)〔〕上為增函數(shù)；上為減函數(shù)〔〕留意：=1\*GB3①及的單調(diào)性正好相反；及的單調(diào)性也同樣相反．一般地，假設在上遞增〔減〕，則在上遞減〔增〕．=2\*GB3②及的周期是．=3\*GB3③或〔〕的周期．的周期為2〔，如圖，翻折無效〕．=4\*GB3④的對稱軸方程是〔〕，對稱中心〔〕；的對稱軸方程是〔〕，對稱中心〔〕；的對稱中心〔〕．=5\*GB3⑤當·；·．=6\*GB3⑥及是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則．=7\*GB3⑦函數(shù)在上為增函數(shù)．〔×〕[只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增．假設在整個定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯誤的]．=8\*GB3⑧定義域關(guān)于原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件．〔奇偶性的兩個條件：一是定義域關(guān)于原點對稱〔奇偶都要〕，二是滿意奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：〕奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反．例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶．〔定義域不關(guān)于原點對稱〕奇函數(shù)特有性質(zhì)：假設的定義域，則確定有．〔的定義域，則無此性質(zhì)〕=9\*GB3⑨不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)〔〕；是周期函數(shù)〔如圖〕；為周期函數(shù)〔〕；的周期為〔如圖〕，并非全部周期函數(shù)都有最小正周期，例如：．=10\*GB3⑩有．6、反三角函數(shù)．1．反三角函數(shù)：=1\*GB2〔1〕反正弦函數(shù)是奇函數(shù)，故，〔確定要注明定義域，假設，沒有及一一對應，故無反函數(shù)〕注：，，．=2\*GB2〔2〕反余弦函數(shù)非奇非偶，但有，．注：=1\*GB3①，，．=2\*GB3②是偶函數(shù)，非奇非偶，而和為奇函數(shù)．=3\*GB2〔3〕反正切函數(shù)：，定義域，值域〔〕，是奇函數(shù)，，．注：，．=4\*GB2〔4〕反余切函數(shù)：，定義域，值域〔〕，是非奇非偶．，．注：=1\*GB3①，．=2\*GB3②及互為奇函數(shù)，同理為奇而及非奇非偶但滿意，．2．正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：的取值范圍解集的取值范圍解集①的解集②的解集＞1＞1=1=1＜1＜1③的解集：③的解集：7、三角恒等式．組一組二組三三角函數(shù)不等式＜＜在上是減函數(shù)假設，則第五章平面對量1．長度相等且方向一樣的兩個向量是相等的量．留意：=1\*GB3①假設為單位向量，則．〔〕單位向量只表示向量的模為1，并未指明向量的方向．=2\*GB3②假設，則∥．〔√〕2．=1\*GB3①==2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④設〔向量的模，針對向量坐標求?！?5\*GB3⑤平面對量的數(shù)量積：=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦⑧留意：=1\*GB3①不確定成立；．=2\*GB3②向量無大小〔“大于〞、“小于〞對向量無意義〕，向量的模有大?。?3\*GB3③長度為0的向量叫零向量，記，及隨意向量平行，的方向是隨意的，零向量及零向量相等，且．=4\*GB3④假設有一個三角形ABC，則0；此結(jié)論可推廣到邊形．=5\*GB3⑤假設〔〕，則有．〔〕當?shù)扔跁r，，而不確定相等．=6\*GB3⑥·=，=〔針對向量非坐標求模〕，≤．=7\*GB3⑦當時，由不能推出，這是因為任一及垂直的非零向量，都有·=0．⑧假設∥，∥，則∥〔×〕當?shù)扔跁r，不成立．3．=1\*GB3①向量及非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得〔平行向量或共線向量〕．當及共線同向：當及共線反向；當則為及任何向量共線．留意：假設共線，則〔×〕假設是的投影，夾角為，則，〔√〕=2\*GB3②設=，∥⊥=3\*GB3③設，則A、B、C三點共線∥=〔〕〔〕=〔〕〔〕〔〕·〔〕=〔〕·〔〕=4\*GB3④兩個向量、的夾角公式：=5\*GB3⑤線段的定比分點公式：〔和〕設=〔或=〕，且的坐標分別是，則推廣1：當時，得線段的中點公式：推廣2：則〔對應終點向量〕．三角形重心坐標公式：△ABC的頂點，重心坐標：留意：在△ABC中，假設0為重心，則，這是充要條件．=6\*GB3⑥平移公式：假設點P按向量=平移到P‘，則4．=1\*GB2〔1〕正弦定理：設△ABC的三邊為a、b、c，所對的角為A、B、C，則．=2\*GB2〔2〕余弦定理：=3\*GB2〔3〕正切定理：=4\*GB2〔4〕三角形面積計算公式：設△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長為P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r．=1\*GB3①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc=2\*GB3②S△=Pr=3\*GB3③S△=abc/4R=4\*GB3④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA=5\*GB3⑤S△=[海倫公式]=6\*GB3⑥S△=1/2〔b+c-a〕ra[如以下圖]=1/2〔b+a-c〕rc=1/2〔a+c-b〕rb[注]：到三角形三邊的間隔相等的點有4個，一個是內(nèi)心，其余3個是旁心．如圖：圖1中的I為S△ABC的內(nèi)心，S△=Pr，圖2中的I為S△ABC的一個旁心，S△=1/2〔b+c-a〕ra附：三角形的五個“心〞；重心：三角形三條中線交點．外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點．內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點．垂心：三角形三邊上的高相交于一點．旁心：三角形一內(nèi)角的平分線及另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點．=5\*GB2〔5〕⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，假設BC=a，AC=b，AB=c[注：s為△ABC的半周長,即]，則：=1\*GB3①AE==1/2〔b+c-a〕=2\*GB3②BN==1/2〔a+c-b〕=3\*GB3③FC==1/2〔a+b-c〕綜合上述：由得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊〔如圖4〕．特例：在Rt△ABC，c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=〔如圖3〕．=6\*GB2〔6〕在△ABC中，有以下等式成立．證明：因為所以，所以，結(jié)論！=7\*GB2〔7〕在△ABC中，D是BC上隨意一點，則．證明：在△ABCD中，由余弦定理，有①在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化簡可得，〔斯德瓦定理〕=1\*GB3①假設AD是BC上的中線，；=2\*GB3②假設AD是∠A的平分線，，其中為半周長；=3\*GB3③假設AD是BC上的高，，其中為半周長．=8\*GB2〔8〕△ABC的斷定：△ABC為直角△∠A+∠B=＜△ABC為鈍角△∠A+∠B＜＞△ABC為銳角△∠A+∠B＞附：證明：，得在鈍角△ABC中，=9\*GB2〔9〕平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和．第六章不等式1．=1\*GB2〔1〕平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均〔a、b為正數(shù)〕：〔當a=b時取等〕特殊地，〔當a=b時，〕冪平均不等式：=2\*GB2〔2〕含立方的幾個重要不等式〔a、b、c為正數(shù)〕：=1\*GB3①=2\*GB3②〔，〕；〔〕=3\*GB2〔3〕確定值不等式：=4\*GB2〔4〕算術(shù)平均≥幾何平均〔a1、a2…an為正數(shù)〕：〔a1=a2…=an時取等〕=5\*GB2〔5〕柯西不等式：設則等號成立當且僅當時成立．〔約定時，〕例如：．=6\*GB2〔6〕常用不等式的放縮法：=1\*GB3①=2\*GB3②2．常用不等式的解法舉例〔x為正數(shù)〕：=1\*GB3①=2\*GB3②類似于=3\*GB3③第七章直線和圓的方程一、直線方程．1．直線的傾斜角：一條直線向上的方向及軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線及軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是．注：=1\*GB3①當或時，直線垂直于軸，它的斜率不存在．=2\*GB3②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除及軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率確定時，其傾斜角也對應確定．2．直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式．特殊地，當直線經(jīng)過兩點，即直線在軸，軸上的截距分別為時，直線方程是：．注：假設是始終線的方程，則這條直線的方程是，但假設則不是這條線．附：直線系：對于直線的斜截式方程，當均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，假如改變時，對應的直線也會改變．①當為定植，改變時，它們表示過定點〔0，〕的直線束．②當為定值，改變時，它們表示一組平行直線．3．=1\*GB2〔1〕兩條直線平行：∥兩條直線平行的條件是：①和是兩條不重合的直線．②在和的斜率都存在的前提下得到的．因此，應特殊留意，抽掉或無視其中任一個“前提〞都會導致結(jié)論的錯誤．〔一般的結(jié)論是：對于兩條直線，它們在軸上的縱截距是，則∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且〕推論：假如兩條直線的傾斜角為則∥．=2\*GB2〔2〕兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：①設兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在．②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在．〔即是垂直的充要條件〕4．直線的交角：=1\*GB2〔1〕直線到的角〔方向角〕；直線到的角，是指直線繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到及重合時所轉(zhuǎn)動的角，它的范圍是，當時．=2\*GB2〔2〕兩條相交直線及的夾角：兩條相交直線及的夾角，是指由及相交所成的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當，則有．5．過兩直線的交點的直線系方程為參數(shù)，不包括在內(nèi)〕6．點到直線的間隔：=1\*GB2〔1〕點到直線的間隔公式：設點，直線到的間隔為，則有．=2\*GB2〔2〕兩條平行線間的間隔公式：設兩條平行直線，它們之間的間隔為，則有．7．關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：=1\*GB2〔1〕關(guān)于點對稱的兩條直線確定是平行直線，且這個點到兩直線的間隔相等．=2\*GB2〔2〕關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：假設兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線間隔相等．假設兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線．=3\*GB2〔3〕點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上〔方程=1\*GB3①〕，過兩對稱點的直線方程及對稱直線方程垂直〔方程=2\*GB3②〕=1\*GB3①=2\*GB3②可解得所求對稱點．注：=1\*GB3①曲線、直線關(guān)于始終線〔〕對稱的解法：y換x，x換y．例：曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x–2對稱曲線方程是f(y+2,x–2)=0．=2\*GB3②曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線方程是f(a–x,2b–y)=0．二、圓的方程．1．=1\*GB2〔1〕曲線及方程：在直角坐標系中，假如某曲線上的及一個二元方程的實數(shù)建立了如下關(guān)系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解．②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．則這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線〔圖形〕．=2\*GB2〔2〕曲線和方程的關(guān)系，本質(zhì)上是曲線上任一點其坐標及方程的一種關(guān)系，曲線上任一點是方程的解；反過來，滿意方程的解所對應的點是曲線上的點．注：假如曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02．圓的標準方程：以點為圓心，為半徑的圓的標準方程是．特例：圓心在坐標原點，半徑為的圓的方程是：．注：特殊圓的方程：①及軸相切的圓方程②及軸相切的圓方程③及軸軸都相切的圓方程3．圓的一般方程：．當時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑．當時，方程表示一個點．當時，方程無圖形〔稱虛圓〕．注：=1\*GB3①圓的參數(shù)方程：〔為參數(shù)〕．=2\*GB3②方程表示圓的充要條件是：且且．=3\*GB3③圓的直徑或方程：〔用向量可征〕．4．點和圓的位置關(guān)系：給定點及圓．①在圓內(nèi)②在圓上③在圓外5．直線和圓的位置關(guān)系：設圓圓：；直線：；圓心到直線的間隔．①時，及相切；附：假設兩圓相切，則相減為公切線方程．②時，及相交；附：公共弦方程：設有兩個交點，則其公共弦方程為．③時，及相離．附：假設兩圓相離，則相減為圓心的連線的中及線方程．由代數(shù)特征推斷：方程組用代入法，得關(guān)于〔或〕的一元二次方程，其判別式為，則：及相切；及相交；及相離．注：假設兩圓為同心圓則，相減，不表示直線．6．圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過圓上一點的切線方程為：．①一般方程假設點(x0,y0)在圓上，則(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2．特殊地，過圓上一點的切線方程為．②假設點(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程．7．求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程．如圖：ABCD四類共圓．的方程…①又以ABCD為圓為方程為…②…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求．第八章圓錐曲線一、橢圓方程．1．橢圓方程的第確定義：=1\*GB2〔1〕=1\*GB3①橢圓的標準方程：=1\*romani．中心在原點，焦點在x軸上：．=2\*romanii．中心在原點，焦點在軸上：．=2\*GB3②一般方程：．=3\*GB3③橢圓的標準參數(shù)方程：的參數(shù)方程為〔一象限應是屬于〕．=2\*GB2〔2〕=1\*GB3①頂點：或．=2\*GB3②軸：對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長．③焦點：或．=4\*GB3④焦距：．=5\*GB3⑤準線：或．=6\*GB3⑥離心率：．=7\*GB3⑦焦點半徑：=1\*romani．設為橢圓上的一點，為左、右焦點，則由橢圓方程的第二定義可以推出．=2\*romanii．設為橢圓上的一點，為上、下焦點，則由橢圓方程的第二定義可以推出．由橢圓第二定義可知：歸結(jié)起來為“左加右減〞．留意：橢圓參數(shù)方程的推導：得方程的軌跡為橢圓．=8\*GB3⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng)．坐標：和=3\*GB2〔3〕共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程．=5\*GB2〔4〕假設P是橢圓：上的點．為焦點，假設，則的面積為〔用余弦定理及可得〕．假設是雙曲線，則面積為．二、雙曲線方程．2．雙曲線的第確定義：=1\*GB2〔1〕雙曲線標準方程：．一般方程：．=2\*GB2〔2〕①=1\*romani．焦點在x軸上：頂點：，焦點：，準線方程，漸近線方程：或=2\*romanii．焦點在軸上：頂點：．焦點：．準線方程：．漸近線方程：或，參數(shù)方程：或．②軸為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c．=3\*GB3③離心率．=4\*GB3④準線距〔兩準線的間隔〕；通徑．=5\*GB3⑤參數(shù)關(guān)系．=6\*GB3⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方程〔分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點〕“長加短減〞原則：構(gòu)成滿意〔及橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號〕=3\*GB2〔3〕等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率．=4\*GB2〔4〕共軛雙曲線：以雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做雙曲線的共軛雙曲線．及互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：．=5\*GB2〔5〕共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為假如雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為．例如：假設雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得．=6\*GB2〔6〕直線及雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域①：無切線，2條及漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條及漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域③：2條切線，2條及漸近線平行的直線，合計4條；區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條及漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無及漸近線平行的直線．小結(jié)：過定點作直線及雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條．假設直線及雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法及漸近線求交和兩根之和及兩根之積同號．=7\*GB2〔7〕假設P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點的間隔為m=n，則P到兩準線的間隔比為m︰n．簡證：=．常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的間隔等于b．三、拋物線方程．3．設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點〔0，0〕離心率焦點注：①頂點．②則焦點半徑;則焦點半徑為．=3\*GB3③通徑為2p，這是過焦點的全部弦中最短的．=4\*GB3④〔或〕的參數(shù)方程為〔或〕〔為參數(shù)〕．四、圓錐曲線的統(tǒng)確定義．．4．圓錐曲線的統(tǒng)確定義：平面內(nèi)到定點F和定直線的間隔之比為常數(shù)的點的軌跡．當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線；當時，軌跡為圓〔，當時〕．5．圓錐曲線方程具有對稱性．例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線及雙曲線的交點是關(guān)于原點對稱的．因為具有對稱性，所以欲證AB=CD,即證AD及BC的中點重合即可．第九章立體幾何一、平面．1．經(jīng)過不在同一條直線上的三點確定一個面．注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi)．2．兩個平面可將平面分成3或4部分．〔①兩個平面平行，②兩個平面相交〕3．過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面．〔①三條直線在一個平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個平面內(nèi)平行〕[注]：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個．4．三個平面最多可把空間分成8部分．〔X、Y、Z三個方向〕二、空間直線．1．空間直線位置分三種：相交、平行、異面．相交直線—共面有反且有一個公共點；平行直線—共面沒有公共點；異面直線—不同在任一平面內(nèi)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影確定是相交的兩條直線．〔×〕〔可能兩條直線平行，也可能是點和直線等〕②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交③假設直線a、b異面，a平行于平面，b及的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi)．=4\*GB3④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點．=5\*GB3⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形確定是直線．〔×〕〔射影不確定只有直線，也可以是其他圖形〕=6\*GB3⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等．〔×〕〔并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段〕=7\*GB3⑦是夾在兩平行平面間的線段，假設，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面．2．異面直線斷定定理：過平面外一點及平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．〔不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線〕3．平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．4．等角定理：假如一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向一樣，則這兩個角相等〔如以下圖〕．〔二面角的取值范圍〕〔直線及直線所成角〕〔斜線及平面成角〕〔直線及平面所成角〕〔向量及向量所成角推論：假如兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成銳角〔或直角〕相等．5．兩異面直線的間隔：公垂線的長度．空間兩條直線垂直的狀況：相交〔共面〕垂直和異面垂直．是異面直線，則過外一點P，過點P且及都平行平面有一個或沒有，但及間隔相等的點在同一平面內(nèi)．〔或在這個做出的平面內(nèi)不能叫及平行的平面〕三、直線及平面平行、直線及平面垂直．1．空間直線及平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi)．2．直線及平面平行斷定定理：假如平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，則這條直線和這個平面平行．〔“線線平行，線面平行〞〕[注]：①直線及平面內(nèi)一條直線平行，則∥．〔×〕〔平面外一條直線〕②直線及平面內(nèi)一條直線相交，則及平面相交．〔×〕〔平面外一條直線〕③假設直線及平面平行，則內(nèi)必存在多數(shù)條直線及平行．〔√〕〔不是隨意一條直線，可利用平行的傳遞性證之〕=4\*GB3④兩條平行線中一條平行于一個平面，則另一條也平行于這個平面．〔×〕〔可能在此平面內(nèi)〕=5\*GB3⑤平行于同始終線的兩個平面平行．〔×〕〔兩個平面可能相交〕=6\*GB3⑥平行于同一個平面的兩直線平行．〔×〕〔兩直線可能相交或者異面〕=7\*GB3⑦直線及平面、所成角相等，則∥．〔×〕〔、可能相交〕3．直線和平面平行性質(zhì)定理：假如一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，則這條直線和交線平行．〔“線面平行，線線平行〞〕4．直線及平面垂直是指直線及平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直．假設⊥，⊥，得⊥〔三垂線定理〕，得不出⊥．因為⊥，但不垂直O(jiān)A．三垂線定理的逆定理亦成立．直線及平面垂直的斷定定理一：假如一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這兩條直線垂直于這個平面．〔“線線垂直，線面垂直〞〕直線及平面垂直的斷定定理二：假如平行線中一條直線垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．推論：假如兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行．[注]：①垂直于同一平面的兩個平面平行．〔×〕〔可能相交，垂直于同一條直線的兩個平面平行〕②垂直于同始終線的兩個平面平行．〔√〕〔一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面〕③垂直于同一平面的兩條直線平行．〔√〕5．=1\*GB2〔1〕垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短．[注]：垂線在平面的射影為一個點．[一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線．〔×〕]=2\*GB2〔2〕射影定理推論：假如一個角所在平面外一點到角的兩邊的間隔相等，則這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上四、平面平行及平面垂直．1．空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行．2．平面平行斷定定理：假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行．〔“線面平行，面面平行〞〕推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行．[注]：一平面間的任始終線平行于另一平面．3．兩個平面平行的性質(zhì)定理：假如兩個平面平行同時和第三個平面相交，則它們交線平行．〔“面面平行，線線平行〞〕4．兩個平面垂直性質(zhì)斷定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直．兩個平面垂直性質(zhì)斷定二：假如一個平面及一條直線垂直，則經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面．〔“線面垂直，面面垂直〞〕注：假如兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系．5．兩個平面垂直性質(zhì)定理：假如兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面．推論：假如兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面．證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因為則．6．兩異面直線隨意兩點間的間隔公式：〔為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有〕7．=1\*GB2〔1〕最小角定理：〔為最小角，如圖〕=2\*GB2〔2〕最小角定理的應用〔∠PBN為最小角〕簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，確定有4條．成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，確定有2條．成角比交線夾角一半大，又及交線夾角相等，確定有3條或者2條．成角比交線夾角一半小，又及交線夾角一半小，確定有1條或者沒有．五、棱錐、棱柱．1．棱柱．=1\*GB2〔1〕=1\*GB3①直棱柱側(cè)面積：〔為底面周長，是高〕該公式是利用直棱柱的側(cè)面綻開圖為矩形得出的．=2\*GB3②斜棱住側(cè)面積：〔是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長〕該公式是利用斜棱柱的側(cè)面綻開圖為平行四邊形得出的．=2\*GB2〔2〕{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}．{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}．=3\*GB2〔3〕棱柱具有的性質(zhì)：=1\*GB3①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，全部的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形．=2\*GB3②棱柱的兩個底面及平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形．=3\*GB3③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形．注：=1\*GB3①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推想是直棱柱．〔×〕〔直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖〕=2\*GB3②〔直棱柱定義〕棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直．=4\*GB2〔4〕平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分．[注]：四棱柱的對角線不確定相交于一點．定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和．推論一：長方體一條對角線及同一個頂點的三條棱所成的角為，則．推論二：長方體一條對角線及同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則．[注]：=1\*GB3①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱．〔×〕〔斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形〕=2\*GB3②各側(cè)面都是正方形的棱柱確定是正棱柱．〔×〕〔應是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行〕=3\*GB3③對角面都是全等的矩形的直四棱柱確定是長方體．〔×〕〔只能推出對角線相等，推不出底面為矩形〕=4\*GB3④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱及底面的兩條邊垂直．〔兩條邊可能相交，可能不相交，假設兩條邊相交，則應是充要條件〕2．棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形．[注]：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形．②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以．=1\*GB2〔1〕①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心．[注]：=1\*romani．正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形．〔不是等邊三角形〕=2\*romanii．正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱及底棱不確定相等iii．正棱錐定義的推論：假設一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形〔即側(cè)棱相等〕；底面為正多邊形．②正棱錐的側(cè)面積：〔底面周長為，斜高為〕=3\*GB3③棱錐的側(cè)面積及底面積的射影公式：〔側(cè)面及底面成的二面角為〕附：⊥，，為二面角．則=1\*GB3①，=2\*GB3②，=3\*GB3③=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③得．注：S為隨意多邊形的面積〔可分別多個三角形的方法〕．=2\*GB2〔2〕棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等〔它叫做正棱錐的斜高〕．②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形．=3\*GB2〔3〕特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：=1\*GB3①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心．=2\*GB3②棱錐的側(cè)棱及底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心．=3\*GB3③棱錐的各側(cè)面及底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心．=4\*GB3④棱錐的頂點究竟面各邊間隔相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心．=5\*GB3⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心．=6\*GB3⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心．=7\*GB3⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的間隔等于球半徑；=8\*GB3⑧每個四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的間隔等于半徑．[注]：=1\*romani．各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐．〔×〕〔各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等〕=2\*romanii．假設一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必定垂直．簡證：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD．令得，則．=3\*romaniii．空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形確定是矩形．=4\*romaniv．假設是四邊長及對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是確定是正方形．簡證：取AC中點，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形．假設對角線等，則為正方形．3．球：=1\*GB2〔1〕球的截面是一個圓面．①球的外表積公式：．②球的體積公式：．=2\*GB2〔2〕緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點的緯度是指經(jīng)過點的球半徑及赤道面所成的角的度數(shù)．②經(jīng)度：地球上兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線及地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特殊地，當經(jīng)過點的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是點的經(jīng)度．附：①圓柱體積：〔為半徑，為高〕②圓錐體積：〔為半徑，為高〕=3\*GB3③錐形體積：〔為底面積，為高〕4．=1\*GB3①內(nèi)切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a，，，得．注：球內(nèi)切于四面體：=2\*GB3②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式．六．空間向量．1．〔1〕共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合．注：①假設及共線，及共線，則及共線．〔×〕[當時，不成立]②向量共面即它們所在直線共面．〔×〕[可能異面]③假設∥，則存在小任一實數(shù)，使．〔×〕[及不成立]④假設為非零向量，則．〔√〕[這里用到之積仍為向量]〔2〕共線向量定理：對空間隨意兩個向量，∥的充要條件是存在實數(shù)〔具有唯一性〕，使．〔3〕共面對量：假設向量使之平行于平面或在內(nèi)，則及的關(guān)系是平行，記作∥．〔4〕①共面對量定理：假如兩個向量不共線，則向量及向量共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y使．②空間任一點O和不共線三點A、B、C，則是PABC四點共面的充要條件．〔簡證：P、A、B、C四點共面〕注：①②是證明四點共面的常用方法．2．空間向量根本定理：假如三個向量不共面，則對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使．推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使(這里隱含x+y+z≠1)．注：設四面體ABCD的三條棱，其中Q是△BCD的重心，則向量用即證．3．〔1〕空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸〔對應為橫坐標〕，y軸是縱軸〔對應為縱軸〕，z軸是豎軸〔對應為豎坐標〕．①令=(a1,a2,a3),，則∥(用到常用的向量模及向量之間的轉(zhuǎn)化：)=2\*GB3②空間兩點的間隔公式：．〔2〕法向量：假設向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，假如則向量叫做平面的法向量．〔3〕用向量的常用方法：=1\*GB3①利用法向量求點到面的間隔定理：如圖，設n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的間隔為．=2\*GB3②利用法向量求二面角的平面角定理：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小〔方向一樣，則為補角，反方，則為其夾角〕．=3\*GB3③證直線和平面平行定理：直線平面，，且CDE三點不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使．〔常設求解假設存在即證畢，假設不存在，則直線AB及平面相交〕．II．競賽學問要點一、四面體．1．比照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)：=1\*GB3①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點，這一點叫做此四面體的外接球的球心；=2\*GB3②四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點，這一點叫做此四面體的內(nèi)接球的球心；=3\*GB3③四面體的四個面的重心及相對頂點的連接交于一點，這一點叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3︰1；=4\*GB3④12個面角之和為720°，每個三面角中任兩個之和大于另一個面角，且三個面角之和為180°．2．直角四面體：有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當于平面幾何的直角三角形．〔在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、外表積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高〕，則有空間勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD．3．等腰四面體：對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形．依據(jù)定義不難證明以長方體的一個頂點的三條面對角線的端點為頂點的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補成一個長方體．〔在等腰四面體ABCD中，記BC=AD=a，AC=BD=b，AB=CD=c，體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，高為h〕，則有=1\*GB3①等腰四面體的體積可表示為；=2\*GB3②等腰四面體的外接球半徑可表示為；=3\*GB3③等腰四面體的四條頂點和對面重心的連線段的長相等，且可表示為；=4\*GB3④h=4r．二、空間正余弦定理．空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D第十章排列組合二項式定理一、兩個原理．1．乘法原理、加法原理．2．可以有重復元素的排列．從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復出現(xiàn)，依據(jù)確定的依次排成一排，則第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重復排列數(shù)m·m·…m=mn．．例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？〔解：種〕二、排列．1．=1\*GB2〔1〕對排列定義的理解．定義：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，依據(jù)確定依次排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．=2\*GB2〔2〕一樣排列．假如；兩個排列一樣，不僅這兩個排列的元素必需完全一樣，而且排列的依次也必需完全一樣．=3\*GB2〔3〕排列數(shù)．從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號表示．=4\*GB2〔4〕排列數(shù)公式：留意：規(guī)定0!=1規(guī)定2．含有可重元素的排列問題．對含有一樣元素求排列個數(shù)的方法是：設重集S有k個不同元素a1，a2,…．．．a(chǎn)n其中限重復數(shù)為n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,則S的排列個數(shù)等于．例如：數(shù)字3、2、2，求其排列個數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個數(shù)？其排列個數(shù)．三、組合．1．=1\*GB2〔1〕組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．=2\*GB2〔2〕組合數(shù)公式：=3\*GB2〔3〕兩個公式：①②①從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合．〔或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有〕②依據(jù)組合定義及加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取及不取兩種可能，假如取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C，假如不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有．=4\*GB2〔4〕排列及組合的聯(lián)絡及區(qū)分．聯(lián)絡：都是從n個不同元素中取出m個元素．區(qū)分：前者是“排成一排〞，后者是“并成一組〞，前者有依次關(guān)系，后者無依次關(guān)系．=5\*GB2〔5〕=1\*GB3①幾個常用組合數(shù)公式=2\*GB3②常用的證明組合等式方法例．=1\*romani．裂項求和法．如：〔利用〕=2\*romanii．導數(shù)法．=3\*romaniii．數(shù)學歸納法．=4\*romaniv．倒序求和法．=5\*romanv．遞推法〔即用遞推〕如：．=6\*romanvi．構(gòu)造二項式．如：證明：這里構(gòu)造二項式其中的系數(shù)，左邊為，而右邊四、排列、組合綜合．1．=1\*ROMANI．排列、組合問題幾大解題方法及題型：=1\*GB3①干脆法．=2\*GB3②解除法．=3\*GB3③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“部分〞的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題〞，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某個元素必相鄰的排列有個．其中是一個“整體排列〞，而則是“部分排列〞．又例如①有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數(shù)為．②有n件不同商品，假設其中A、B排在一起有．③有n件不同商品，假設其中有二件要排在一起有．注：①③區(qū)分在于①是確定的座位，有種；而③的商品地位一樣，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性．=4\*GB3④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題〞．例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？〔插空法〕，當n–m+1≥m,即m≤時有意義．=5\*GB3⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置．即采納“先特殊后一般〞的解題原則．=6\*GB3⑥調(diào)序法：當某些元素次序確定時，可用此法．解題方法是：先將n個元素進展全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序確定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即假設n個元素排成一列，其中m個元素次序確定，共有種排列方法．例如：n個元素全排列，其中m個元素依次不變，共有多少種不同的排法？解法一：〔逐步插空法〕〔m+1〕〔m+2〕…n=n！/m?。唤夥ǘ骸脖壤才欧ā常?7\*GB3⑦平均法：假設把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有．例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有〔平均分組就用不著管組及組之間的依次問題了〕又例如將200名運發(fā)動平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？〔〕留意：分組及插空綜合．例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且依次不變，共有多少種排法？有，當n–m+1≥m,即m≤時有意義．=8\*GB3⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題．例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全一樣的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組．每一種方法所得球的數(shù)目依次為明顯，故〔〕是方程的一組解．反之，方程的任何一組解，對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式〔如下圖〕故方程的解和插板的方法一一對應．即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù)．留意：假設為非負數(shù)解的x個數(shù)，即用中等于，有，進而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個數(shù)為．⑨定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個指定位置則有．例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必需固定在〔或不固定在〕某一位置上，共有多少種排法？固定在某一位置上：；不在某一位置上：或〔一類是不取出特殊元素a，有，一類是取特殊元素a，有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元素中取m-1，這及用插空法解決是一樣的〕=10\*GB3⑩指定元素排列組合問題．=1\*romani．從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列〔或組合〕，規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)。先C后A策略，排列；組合．=2\*romanii．從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列〔或組合〕，規(guī)定某r個元素都不包含在內(nèi)。先C后A策略，排列；組合．=3\*romaniii．從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列〔或組合〕，規(guī)定每個排列〔或組合〕都只包含某r個元素中的s個元素。先C后A策略，排列；組合．=2\*ROMANII．排列組合常見解題策略：=1\*GB3①特殊元素優(yōu)先支配策略；=2\*GB3②合理分類及精確分步策略；=3\*GB3③排列、組合混合問題先選后排的策略〔處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列〕；=4\*GB3④正難則反，等價轉(zhuǎn)化策略；=5\*GB3⑤相鄰問題插空處理策略；=6\*GB3⑥不相鄰問題插空處理策略；=7\*GB3⑦定序問題除法處理策略；=8\*GB3⑧分排問題直排處理的策略；=9\*GB3⑨“小集團〞排列問題中先整體后部分的策略；=10\*GB3⑩構(gòu)造模型的策略．2．組合問題中分組問題和安排問題．①勻稱不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為〔其中A為非勻稱不編號分組中分法數(shù)〕．假如再有K組勻稱分組應再除以．例：10人分成三組，各組元素個數(shù)為2、4、4，其分法種數(shù)為．假設分成六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數(shù)為②非勻稱編號分組:n個不同元素分組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的依次，其分法種數(shù)為例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參與不同的勞動，其支配方法為：種．假設從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4，參與不同的勞動，則支配方法有種③勻稱編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數(shù)一樣且考慮各組間的依次，其分法種數(shù)為．例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參與三種不同勞動，分法種數(shù)為=4\*GB3④非勻稱不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數(shù)目均不一樣，且不考慮各組間依次，不管是否分盡，其分法種數(shù)為…例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5，其分法種數(shù)為假設從10人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3，其分法種數(shù)為．五、二項式定理．1．=1\*GB2〔1〕二項式定理：．綻開式具有以下特點：項數(shù)：共有項；①系數(shù)：依次為組合數(shù)②每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，綻開式依a的降幕排列，b的升幕排列綻開．=2\*GB2〔2〕二項綻開式的通項．綻開式中的第項為：．=3\*GB2〔3〕二項式系數(shù)的性質(zhì)．①在二項綻開式中及首未兩項“等間隔〞的兩項的二項式系數(shù)相等；②二項綻開式的中間項二項式系數(shù)最大．=1\*ROMANI．當n是偶數(shù)時，中間項是第項，它的二項式系數(shù)最大；=2\*ROMANII．當n是奇數(shù)時，中間項為兩項，即第項和第項，它們的二項式系數(shù)最大．=3\*GB3③系數(shù)和：附：一般來說為常數(shù)〕在求系數(shù)最大的項或最小的項時均可干脆依據(jù)性質(zhì)二求解．當時，一般采納解不等式組的系數(shù)或系數(shù)的確定值〕的方法來求解．=4\*GB2〔4〕如何來求綻開式中含的系數(shù)呢？其中且把視為二項式，先找出含有的項，另一方面在中含有的項為，故在中含的項為．其系數(shù)為．2．近似計算的處理方法．當a的確定值及1相比很小且n不大時，常用近似公式，因為這時綻開式的后面部分很小，可以忽視不計。類似地，有但運用這兩個公式時應留意a的條件，以及對計算精確度的要求．第十一章概率及統(tǒng)計一、概率．1．概率：隨機事務A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值．2．等可能事務的概率：假如一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，且全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，則，每一個根本事務的概率都是，假如某個事務A包含的結(jié)果有m個，則事務A的概率．3．=1\*GB3①互斥事務：不行能同時發(fā)生的兩個事務叫互斥事務．假如事務A、B互斥，則事務A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事務A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：．=2\*GB3②對立事務：兩個事務必有一個發(fā)生的互斥事務叫對立事務．例如：從1～52張撲克牌中任取一張抽到“紅桃〞及抽到“黑桃〞互為互斥事務，因為其中一個不行能同時發(fā)生，但又不能保證其中一個必定發(fā)生，故不是對立事務．而抽到“紅色牌〞及抽到黑色牌“互為對立事務，因為其中一個必發(fā)生．留意：=1\*romani．對立事務的概率和等于1：．=2\*romanii．互為對立的兩個事務確定互斥，但互斥不確定是對立事務．=3\*GB3③互相獨立事務：事務A(或B)是否發(fā)生對事務B(或A)發(fā)生的概率沒有影響．這樣的兩個事務叫做互相獨立事務．假如兩個互相獨立事務同時發(fā)生的概率，等于每個事務發(fā)生的概率的積，即P(A·B)=P(A)·P(B)．由此，當兩個事務同時發(fā)生的概率P〔AB〕等于這兩個事務發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事務為獨立事務．例如：從一副撲克牌〔52張〕中任抽一張設A：“抽到老K〞；B：“抽到紅牌〞則A應及B互為獨立事務[看上去A及B有關(guān)系很有可能不是獨立事務，但．又事務AB表示“既抽到老K對抽到紅牌〞即“抽到紅桃老K或方塊老K〞有，因此有．推廣：假設事務互相獨立，則．留意：=1\*romani．一般地，假如事務A及B互相獨立，則A及及B，及也都互相獨立．=2\*romanii．必定事務及任何事務都是互相獨立的．=3\*romaniii．獨立事務是對隨意多個事務來講，而互斥事務是對同一試驗來講的多個事務，且這多個事務不能同時發(fā)生，故這些事務互相之間必定影響，因此互斥事務確定不是獨立事務．=4\*GB3④獨立重復試驗：假設n次重復試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依靠于其他各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨立的．假如在一次試驗中某事務發(fā)生的概率為P，則在n次獨立重復試驗中這個事務恰好發(fā)生k次的概率：．4．對任何兩個事務都有二、隨機變量．1．隨機試驗的構(gòu)造應當是不確定的．試驗假如滿意下述條件：=1\*GB3①試驗可以在一樣的情形下重復進展；=2\*GB3②試驗的全部可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；=3\*GB3③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果．它就被稱為一個隨機試驗．2．離散型隨機變量：假如對于隨機變量可能取的值，可以按確定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．假設ξ是一個隨機變量，a，b是常數(shù)．則也是一個隨機變量．一般地，假設ξ是隨機變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機變量．也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量．設離散型隨機變量ξ可能取的值為：ξ取每一個值的概率，則表稱為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列．……P……有性質(zhì)①；②．留意：假設隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量．例如：即可以取0～5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù)．3．=1\*GB2〔1〕二項分布：假如在一次試驗中某事務發(fā)生的概率是P，則在n次獨立重復試驗中這個事務恰好發(fā)生k次的概率是：[其中]于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量ξ聽從二項分布，記作～B〔n·p〕，其中n，p為參數(shù)，并記．=2\*GB2〔2〕二項分布的推斷及應用．=1\*GB3①二項分布，實際是對n次獨立重復試驗．關(guān)鍵是看某一事務是否是進展n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結(jié)果，假如不滿意此兩條件，隨機變量就不聽從二項分布．=2\*GB3②當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列．4．幾何分布：“〞表示在第k次獨立重復試驗時，事務第一次發(fā)生，假如把k次試驗時事務A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為，則．依據(jù)互相獨立事務的概率乘法分式：于是得到隨機變量ξ的概率分布列．123…k…Pqqp……我們稱ξ聽從幾何分布，并記，其中5．=1\*GB2〔1〕超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M〔M＜N〕件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)ξ是一離散型隨機變量，分布列為．〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，假如規(guī)定＜時，則k的范圍可以寫為k=0，1，…，n．〕=2\*GB2〔2〕超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件〔1≤n≤a+b〕，則次品數(shù)ξ的分布列為．=3\*GB2〔3〕超幾何分布及二項分布的關(guān)系．設一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)ξ聽從超幾何分布．假設放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個產(chǎn)品編號，則抽取n次共有個可能結(jié)果，等可能：含個結(jié)果，故，即～．[我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法]可以證明：當產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣．三、數(shù)學期望及方差．1．期望的含義：一般地，假設離散型隨機變量ξ的概率分布為……P……則稱為ξ的數(shù)學期望或平均數(shù)、均值．數(shù)學期望又簡稱期望．數(shù)學期望反映了離散型隨機變量取值的平均程度．2．=1\*GB2〔1〕隨機變量的數(shù)學期望：=1\*GB3①當時，，即常數(shù)的數(shù)學期望就是這個常數(shù)