3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（五大題型）（原卷版）

3．3．1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能從幾何情境中認(rèn)識(shí)拋物線的幾何特征，給出拋物線的定義．（2）能類比橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，運(yùn)用坐標(biāo)法推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能用它解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，進(jìn)步體會(huì)曲線方程的建立方法．（1）理解拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程.（2）掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用.（3）了解拋物線定義的實(shí)際應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)01拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線；一個(gè)定值（2）定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上，若在上，拋物線變?yōu)檫^(guò)且垂直與的一條直線．（3）拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．【即學(xué)即練1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．拋物線 C．直線 D．雙曲線知識(shí)點(diǎn)02拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如圖，以過(guò)F且垂直于的直線為x軸，垂足為K．以F，K的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)（），那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為．設(shè)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是集合，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得．①方程①叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項(xiàng)為，故其焦點(diǎn)在軸上，且開口向負(fù)方向（向下）③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍，比如拋物線的一次項(xiàng)的系數(shù)為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)是．一般情況歸納：方程圖象的開口方向焦點(diǎn)準(zhǔn)線時(shí)開口向右時(shí)開口向左時(shí)開口向上時(shí)開口向下④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)．用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開口方向定型），然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論．⑤在求拋物線方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)，不要遺漏某一種情況．【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為；(2)準(zhǔn)線方程為：；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6.題型一：拋物線的定義例1．（2023·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（

）.A． B． C．2 D．4例2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小1，則點(diǎn)的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線例3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2，焦點(diǎn)為F，則（

）A．2 B．3 C． D．變式1．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例4．（2023·全國(guó)·高二期中）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)；(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線上；(4)焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.例5．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn).求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.例6．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為；(2)準(zhǔn)線方程為.變式2．（2023·高二課前預(yù)習(xí)）已知拋物線對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式3．（2023·高二課前預(yù)習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線如圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，如圖，已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為1m.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).

題型三：軌跡方程—拋物線例7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過(guò)B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．例8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小1，則P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中有一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為d，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）與圓：外切，又與軸相切的圓的圓心的軌跡方程是（

）A． B．（）和（）C．（） D．（）和（）變式5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式6．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

）A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝－12y變式7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓C與過(guò)點(diǎn)且垂直于x軸的直線僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且與圓外切，則點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A． B． C． D．變式8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題例10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．例11．（2023·陜西延安·高二?？计谀┮阎c(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.例12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值.變式9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值為．變式10．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為.變式11．（2023·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，為使最小，點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為．變式12．（2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)在拋物線上，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為變式13．（2023·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，直線l：，點(diǎn)為圓M：上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，則的最小值為．題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用例13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）上世紀(jì)90年代，南京江寧區(qū)和陜西洛南縣就建立了深厚的友誼，1993年江寧區(qū)出資幫助洛南修建了寧洛橋，增強(qiáng)了兩地之間的友誼.如今人行道兩側(cè)各加寬6米，建成了“彩虹橋”（圖1），非常美麗.橋上一拋物線形的拱橋（圖2）跨度，拱高，在建造時(shí)每隔相等長(zhǎng)度用一個(gè)柱子支撐，則支柱的長(zhǎng)度為.（精確到0.01）

例14．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考期中）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為cm.例15．（2023·廣東·高二統(tǒng)考期末）圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，水面寬4m，水面下降2m后，水面寬8m，則橋拱頂點(diǎn)O離水面l的距離為.變式14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）有一個(gè)隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過(guò)隧道時(shí)的限制高度為m.變式15．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當(dāng)杯中的水深為2cm時(shí)，水面寬度為6cm，當(dāng)水面再上升2cm時(shí)，水面寬度為cm.變式16．（2023·黑龍江雞西·高二雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D拋物線型拱橋，當(dāng)拱橋的頂點(diǎn)距離水面3米時(shí)，水面寬12米，則水面上升1米后，水面寬度為米.變式17．（2023·海南?？凇じ叨？计谥校┮阎粋€(gè)拋物線形拱橋在一次暴雨前后的水位之差為，暴雨后的水面寬為，暴雨來(lái)臨之前的水面寬為，則暴雨后的水面離拱頂?shù)木嚯x為.一、單選題1．（2023·湖南·高三雅禮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圓的圓心在拋物線上，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州貴陽(yáng)·高二校考期中）拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．6 B．2 C．5 D．83．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)在拋物線上，若拋物線的焦點(diǎn)恰好是的重心，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2023·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面上，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．拋物線 B．直線C．拋物線或直線 D．以上結(jié)論均不正確5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．86．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，若為線段FN的中點(diǎn)，則（

）A．2 B． C．4 D．67．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．2 B．4 C．6 D．88．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)C上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.若，則的外接圓面積為（

）.A． B． C． D．二、多選題9．（2023·貴州黔西·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線C上，若，則（

）A．F的坐標(biāo)為 B．C． D．10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線方程為（

）A． B．C． D．11．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于拋物線上，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為12．（2023·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．的坐標(biāo)為三、填空題13．（2023·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線過(guò)定點(diǎn)且該點(diǎn)在拋物線上，則的值為.14．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的2倍，則．15．（2023·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線交于點(diǎn)M，且，則．16．（2023·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，線段AB的中點(diǎn)為M，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.四、解答題17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）傾斜角為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于A，兩點(diǎn)(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.18．（2023·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)，求面積的最小值（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.19．（2023·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？计谥校膾佄锞€上各點(diǎn)向x軸作垂線段.(1)求垂線段的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線；(2)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求證：原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上.20．（2023·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k（）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)