3.2.1 單調性與最大(小)值透課堂-2021-2022學年高一數(shù)學【考題透析】滿分計劃系列(人教A版2019必修第一冊)

2021-2022學年高一數(shù)學【考題透析】滿分計劃系列(人教A版2019必修第一冊)函數(shù)的概念與性質3.2函數(shù)的基本性質3.2.1單調性與最大(小)值【知識導學】考點一：增函數(shù)與減函數(shù)的定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：(1)如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調遞增，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們稱它是增函數(shù)．(2)如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調遞減，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們稱它是減函數(shù)．考點二：二函數(shù)的單調區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調區(qū)間．重難點：函數(shù)的最大(小)值考點一函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義最值條件幾何意義最大值①對于?x∈I，都有f(x)≤M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M函數(shù)y＝f(x)圖象上最高點的縱坐標最小值①對于?x∈I，都有f(x)≥M，②?x0∈I，使得f(x0)＝M函數(shù)y＝f(x)圖象上最低點的縱坐標規(guī)律與方法：1．圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點與最低點，最高(低)點的縱坐標即為函數(shù)的最大(小)值．2．運用已學函數(shù)的值域．3．運用函數(shù)的單調性：(1)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個．【考題透析】透析題組一：函數(shù)單調性的判定與證明1．（2021·全國高一課時練習）若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增2．（2020·金華市云富高級中學高一月考）（1）求證：y=-x2+1在區(qū)間[0，+∞)上為減函數(shù).（2）畫出函數(shù)y=-x2+2|x|+3的圖像，并指出函數(shù)的單調區(qū)間.3．（2021·廣東高一期末）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）確定函數(shù)的解析式；（2）用定義證明在上是增函數(shù).透析題組二：根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)范圍4．（2020·內蒙古杭錦后旗奮斗中學高一期中）若函數(shù)在上是單調遞減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2021·全國高一單元測試）已知函數(shù)，是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．6．（2021·全國高一專題練習）函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．透析題組三：復合函數(shù)的單調性7．（2020·四川省綿陽江油中學高一期中）函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．8．（2020·黑龍江鶴崗一中高一期中）函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A． B．，C． D．9．（2021·全國高一）函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．透析題組四：根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式10．（2021·云南省玉溪第一中學）已知函數(shù)是定義上的減函數(shù)，，是其圖象上的兩點，那么的解集的補集是（）A． B．C． D．11．（2021·全國高一專題練習）已知函數(shù)則不等式的解集為（）A． B．C． D．12．（2020·滄源佤族自治縣民族中學高一月考）設，已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．透析題組五：根據(jù)函數(shù)的單調性求值域13．（2021·江西高安中學高一月考）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A． B． C．1 D．-114．（2021·浙江高一單元測試）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)（）A． B． C． D．或15．（2021·全國）已知函數(shù)，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．3 C．4 D．5透析題型六：根據(jù)函數(shù)的值域求參數(shù)范圍16．（2021·滄源佤族自治縣民族中學）已知函數(shù)的最小值為2，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．17．（2020·湖北高一期中）已知函數(shù)有最小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．18．（2020·四川成都七中）已知函數(shù)在上單調遞減，且在上的最小值為，則實數(shù)的值為（）A． B． C．或 D．或透析題型七：函數(shù)不等式恒成立問題19．（2021·江西高安中學高一月考）若函數(shù)對任意有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．20．（2021·全國）設函數(shù)，若對于，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．21．（2020·黑龍江哈爾濱三中高一期中）已知函數(shù)的定義域為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．透析題型八：函數(shù)單調性與最值的綜合性問題22．（2021·全國高一專題練習）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式；（2）設，若存在使成立，求實數(shù)的取值范圍．23．（2020·浙江瑞安中學）已知函數(shù).（1）若，試確定的解析式；（2）在（1）的條件下，判斷在上的單調性，并用定義證明；（3）若，記為在上的最大值，求的解析式．24．（2020·慈溪中學高一月考）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若任意的，當時，總有.（1）判斷函數(shù)在上的單調性，并證明你的結論；（2）解不等式；（3）若對所有的恒成立，其中(是常數(shù))，試用常數(shù)表示實數(shù)的取值范圍.【考點同練】一、單選題25．（2021·全國高一課時練習）已知函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A．，， B．C．，， D．，，26．（2021·全國高一課時練習）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調遞增的是（）A． B． C． D．27．（2021·全國高一課時練習）函數(shù)y＝2x＋，則（）A．有最大值，無最小值 B．有最小值，無最大值C．有最小值，最大值 D．既無最大值，也無最小值28．（2021·全國）函數(shù)f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3，3]的值域是（）A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20，5] D．[4，5]29．（2021·全國高一專題練習）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．30．（2021·全國高一專題練習）設函數(shù)為單調函數(shù)，且時，均有，則（）A．-3 B．-2 C．-1 D．031．（2021·全國高一專題練習）甲：函數(shù)是上的單調遞減函數(shù)；乙：，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件32．（2021·全國高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、多選題33．（2021·全國高一課時練習）如果函數(shù)f（x）在[a，b]上是增函數(shù)，那么對于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列結論中正確的是（）A．>0 B．（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0C．f（a）<f（x1）<f（x2）<f（b） D．>034．（2021·全國高一課時練習）下列函數(shù)中滿足“對任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”的是（）A．f（x）＝－ B．f（x）＝－3x＋1C．f（x）＝x2＋4x＋3 D．f（x）＝x－35．（2021·江蘇）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．函數(shù)在上是增函數(shù)B．函數(shù)的圖象關于點中心對稱C．函數(shù)的圖象上存在兩點，，使得直線軸D．函數(shù)的圖象關于直線對稱36．（2021·全國高一專題練習）已知函數(shù)，則下列x的范圍滿足不等式的是（）A． B． C． D．37．（2021·全國高一課時練習）設函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結論不一定正確的是（）A．y=在R上為減函數(shù) B．y=|f(x)|在R上為增函數(shù)C．y=在R上為增函數(shù) D．y=f(x)在R上為減函數(shù)三、填空題38．（2022·云南昆明·）已知函數(shù)，則不等式的解集為____________．39．（2021·廣東潮州·）已知函數(shù)在區(qū)間是單調遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______．40．（2021·全國高一專題練習）函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_________.41．（2021·上海市南洋模范中學）已知函數(shù)，若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為___________.四、解答題42．（2021·江西省靖安中學高一月考）函數(shù)（1）畫出函數(shù)的圖像（2）說出函數(shù)的單調區(qū)間（不用證明）（3）當時，求函數(shù)的值域43．（2021·四川成都·（理））已知函數(shù)，，.（1）若關于的不等式的解集為，求實數(shù)的值；（2）若關于的不等式在上能成立，求實數(shù)的取值范圍.44．（2021·全國高一專題練習）若是定義在上的增函數(shù)，且對一切，滿足．（1）求的值；（2）若，求不等式的解集．45．（2021·上海高一專題練習）已知關于不等式，若存在，該不等式能成立，求實數(shù)的取值范圍.46．（2021·全國高一專題練習）定義在上的函數(shù)滿足，且當時，．（1）求；（2）證明在上單調遞減；（3）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案精講】1．A【詳解】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當a<b時，f(a)<f(b)，或當a>b時，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).故選：A.2．【詳解】（1）證明：設任意0x<x2，則y?y=x?x=(x?x)(x+x)>0，∴y>y，∴函數(shù)y=?x2+1在區(qū)間[0，+∞)上是減函數(shù).（2）作出函數(shù)圖象如圖所示：增區(qū)間為：(?∞，?1)，(0，1)，減區(qū)間為：(?1，0)，(1，+∞).3．【詳解】解：（1）依題意得∴∴∴（2）證明：任取，∴∵，∴，，，由知，，∴.∴.∴在上單調遞增.4．B函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，依題意得，于是得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B5．C解：若是上的增函數(shù)，則應滿足，解得，即.故選：C6．B，依題意有，即，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：B.7．B解：因為，所以，解得或，即函數(shù)的定義域為，令，其對稱軸方程為，圖象是開口向上的拋物線，在上單調遞增，在上單調遞減，由是定義域內的增函數(shù)，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為．故選：B8．B【詳解】由，可知函數(shù)開口向上，對稱軸，且．因為函數(shù)在區(qū)間，上單調遞減，所以原函數(shù)的單調遞增區(qū)間，．故選:B．9．A因為，所以或，所以定義域為，又的對稱軸為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故選：A.10．A解：不等式可變形為，，是函數(shù)圖象上的兩點，，，等價于不等式，又函數(shù)是上的減函數(shù)，等價于，解得，不等式的解集為．那么的解集的補集是．故選：．11．A【詳解】易得函數(shù)在R上單調遞增，則由可得，解得，故不等式的解集為.故選：A．12．C∵函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，∴，解得，故選：C．13．A【詳解】∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴.故選：A.14．B【詳解】函數(shù)，即，，當時，不成立；當，即時，在遞減，可得為最大值，即，解得成立；當，即時，在遞增，可得為最大值，即，解得不成立；綜上可得．故選：．15．C【詳解】在單調遞減，.故選：C.16．D【詳解】由作出圖象，如圖，由圖象可得要取得最小值2，則；∵在區(qū)間上單調遞減，則時，取得最小值為2，即，可得，∴a的取值范圍為故選：D17．C如圖所示可得：或，解得：，故選：C.18．B【詳解】由函數(shù)在上單調遞減可知，當時，函數(shù)有最小值，即：，解得：，當時，，函數(shù)單調遞減，滿足題意．故選：B．19．A【詳解】由題意，函數(shù)對任意有（1）當時，成立；（2）當時，函數(shù)為二次函數(shù)，若滿足對任意有，則綜上：故選：A20．B【詳解】當時，，由，得，不符合題意；當時，函數(shù)的對稱軸為，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，此時函數(shù)，要使，恒成立，只需，解得，所以；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，此時函數(shù)，要使，恒成立，只需，解得，不符合題意；綜上：實數(shù)的取值范圍是.故選：B21．C【詳解】由題意得：在上恒成立.即時，恒成立，符合題意，時，只需，解得：，綜上：，故選：C.22．（1）；（2）．【詳解】（1）解法一：∵，∴．又，∴．解法二：令，則．由于，所以．代入原式有，所以．（2）∵，∴．∵存在使成立，∴在時有解．令，由，得，設．則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，∴當時，函數(shù)取得最小值．∴，即的取值范圍為．23．（1）；（2）單調遞增，證明見解析；（3）.【詳解】（1）由，則，解得，所以.（2）在上單調遞增，任取，且，，由，且，所以，，，，所以，即，所以函數(shù)在上單調遞增.（3），設，當時，函數(shù)在上單調遞增，所以，當時，函數(shù)在上單調遞減；在上單調遞增；所以，當時，函數(shù)在上單調遞減，所以，所以24．（1）在上是增函數(shù)，證明如下.任取，且，則，于是有，故，故在上是增函數(shù).（2）由在上是增函數(shù)知：，即，解得：.故不等式的解集為.（3）由（1）知最大值為，所以要使對所有的恒成立，只需成立，即.①當時，的取值范圍為；②當時，的取值范圍為；③當時，的取值范圍為.25．C解：根據(jù)題意，函數(shù)，若在區(qū)間上單調遞減，必有，解可得：或，即的取值范圍為，，，故選：C．26．A對于，，在區(qū)間上，，是增函數(shù)，符合題意；對于，，是反比例函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)，不符合題意；對于，，是二次函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)，不符合題意；對于，，是一次函數(shù)，在上是減函數(shù)，不符合題意；故選：.27．A解：設＝t（t≥0），則x＝，所以y＝1－t2＋t＝－2＋（t≥0），對稱軸t＝，所以y在上遞增，在上遞減，所以y在t＝處取得最大值，無最小值.故選：A.28．C解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5在（-3，-2）上單調遞增，在（-2，3）上單調遞減∴當x＝－2時，函數(shù)在[-3,3]上有最大值，且最大值為；當x＝3時，函數(shù)在[-3,3]上有最小值，且最小值為，選項ABD錯誤，選項C正確故選：C.29．A函數(shù)的對稱軸為，由于在上是減函數(shù)，所以.故選:A30．D解：函數(shù)為單調函數(shù)，且，為常數(shù)，不妨設，則，原式化為（a），即，解得或（舍去），故，（1），故選：D．31．A函數(shù)是R上的單調遞減函數(shù)，則，由減函數(shù)定義知，此命題是真命題，即命題：“若甲則乙”是真命題；反之，，則函數(shù)是上的單調遞減函數(shù)，條件與減函數(shù)定義不符，即命題：“若乙則甲”是假命題，所以甲是乙的充分不必要條件.故選：A32．C【詳解】因為，可知在上單調遞減，所以不等式成立，即.故選：C.33．ABD因為f（x）在[a，b]上是增函數(shù)，對于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2與f（x1）－f（x2）的符號相同，故A，B，D都正確，而C中應為若x1<x2，則f（a）≤f（x1）<f（x2）≤f（b）.故選：ABD34．ACD因為“對任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”所以不妨設0<x1<x2,都有,所以f（x）為（0，＋∞）上的增函數(shù).對于A：f（x）＝－在（0，＋∞）上為增函數(shù),故A正確;對于B：f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上為減函數(shù),故B錯誤;對于C：f（x）＝x2＋4x＋3對稱軸為x=-2,開口向上,所以在（0，＋∞）上為增函數(shù),故C正確;對于D：f（x）＝x－,因為在（0，＋∞）上為增函數(shù),在（0，＋∞）上為增函數(shù),所以f（x）＝x－在（0，＋∞）上為增函數(shù),故D正確;故選:ACD35．AC【詳解】，其大致圖象如下，結合函數(shù)圖象可得AC正確，BD錯誤.故選：AC36．BCD因為函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如圖所示：所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，即解得，故選：BCD．37．ABC對于A，若f(x)=x，則y==，在R上不是減函數(shù)，A錯誤；對于B，若f(x)=x，則y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函數(shù)，