《高等數(shù)學(xué)I》課程教學(xué)大綱

PAGEPAGE7《高等數(shù)學(xué)I》教學(xué)大綱課程編號：120095A課程類型：eq\o\ac(□,√)通識教育必修課□通識教育選修課□專業(yè)必修課□專業(yè)選修課□學(xué)科基礎(chǔ)課總學(xué)時：80講課學(xué)時：80實(shí)驗(yàn)（上機(jī)）學(xué)時：0學(xué)分：5考試類型：eq\o\ac(□,√)考試□考查適用對象：工科，管理科學(xué)□是eq\o\ac(□,√)否適合作為其他專業(yè)學(xué)生的個性化選修課先修課程：無一、教學(xué)目標(biāo)高等數(shù)學(xué)是工科本科各專業(yè)及部分管理科學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課，它是為培養(yǎng)我國現(xiàn)代化建設(shè)所需要的高質(zhì)量專門人才服務(wù)的。目標(biāo)1：在學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思想上初步完成從中學(xué)數(shù)學(xué)走向大學(xué)數(shù)學(xué)的適應(yīng)與過渡；目標(biāo)2：使學(xué)生獲得函數(shù)與極限，一元函數(shù)微積分學(xué)，常微分方程等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲取數(shù)學(xué)知識奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。目標(biāo)3：逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生具有綜合運(yùn)用所學(xué)知識去分析問題和解決問題的能力。目標(biāo)4：培育有堅(jiān)定理想信念、深厚愛國主義情懷、高尚道德情操，具有扎實(shí)工學(xué)與管理科學(xué)專業(yè)學(xué)識，堅(jiān)韌奮斗進(jìn)取品格的社會主義新青年。二、教學(xué)內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系本課程在教學(xué)中要求學(xué)生確切理解《高等數(shù)學(xué)I》中的基本概念，讓學(xué)生盡早地更多地掌握數(shù)學(xué)的思想和方法。突出高等數(shù)學(xué)中極限的思想，微分的思想，積分的思想，揭示課程內(nèi)部的本質(zhì)的有機(jī)聯(lián)系。在講解內(nèi)容的同時，以極限的思想貫穿導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級數(shù)等知識的講授，重點(diǎn)是讓學(xué)生了解概念的背景，理解概念與方法的思想，熟練基本的計(jì)算方法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題。所選教材以微積分學(xué)為綱，把高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容放在微分與積分的框架下展開，同時將相關(guān)的空間解析幾何、微分方程進(jìn)行盡可能詳細(xì)的學(xué)習(xí)。講課的難點(diǎn)在于把握將極限的思想滲透到各個教學(xué)內(nèi)容之中，讓學(xué)生理解和掌握如何把一些實(shí)際問題動態(tài)化，并將微積分學(xué)和方程中的分割、近似、極限的思想應(yīng)用到解決這些問題中，使學(xué)生能把握簡潔和直接的高等數(shù)學(xué)方法。通過活潑互動的課堂教學(xué)，刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過探索討論課，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性；教學(xué)中逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的方法分析問題和解決問題的能力。每一章的重點(diǎn)內(nèi)容要重點(diǎn)講解，在講清概念的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)（課堂討論、作業(yè)、習(xí)題課、自學(xué)課外資料、問題探討等）以達(dá)到掌握高等數(shù)學(xué)中常用的計(jì)算方法、基本運(yùn)算中的技能和技巧以及提高綜合計(jì)算和解決問題的能力的目的。難點(diǎn)要逐步引入，分散講解。本大綱列入部分帶“*”的內(nèi)容，供學(xué)生自學(xué)。本課程的考核成績采取平時成績（含課堂參與度、作業(yè)、小測驗(yàn)）與期末閉卷測試成績相結(jié)合的方式，擬按3:7比例分配。我校學(xué)習(xí)本課程的學(xué)生來自安全與環(huán)境工程學(xué)院、信息學(xué)院等學(xué)院，由于其專業(yè)背景的差別，在教學(xué)過程中可以根據(jù)專業(yè)要求適當(dāng)調(diào)整重點(diǎn)講授的內(nèi)容。三、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配教學(xué)課時分配序號章節(jié)內(nèi)容講課實(shí)驗(yàn)習(xí)題課合計(jì)1函數(shù)、極限、連續(xù)123152一元函數(shù)微分學(xué)225273一元函數(shù)積分學(xué)226284常微分方程8210合計(jì)641680四、教學(xué)內(nèi)容第一章函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)第二節(jié)數(shù)列的極限第三節(jié)函數(shù)的極限第四節(jié)無窮大與無窮小第五節(jié)極限運(yùn)算法則第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限第七節(jié)無窮小的比較第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)理解函數(shù)的概念及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。理解復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念。熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。會建立簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式。理解極限的概念(對極限的、定義可在學(xué)習(xí)過程中逐步加深理解，對于給出求N或不作過高的要求。)，掌握極限四則運(yùn)算法則及換元法則。理解極限存在的夾逼準(zhǔn)則，了解單調(diào)有界準(zhǔn)則，會用兩個重要極限求極限。了解無窮小、無窮大以及無窮小的階的概念。會用等價無窮小求極限。理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和在一個區(qū)間上連續(xù)的概念，了解間斷點(diǎn)的概念，并會判別間斷點(diǎn)的類型。了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(介值定理和最大、最小值定理)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：有界性的理解，讓學(xué)生逐步適應(yīng)和接受極限的、定義方式，兩個重要極限導(dǎo)出的思想方法，無窮小的理解與靈活運(yùn)用，函數(shù)連續(xù)與間斷的概念。課程的考核要求：極限的概念、基本求法，連續(xù)與間斷的判定，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的簡單應(yīng)用。復(fù)習(xí)思考題：課后習(xí)題。了解極限的數(shù)學(xué)語言在微積分學(xué)建立體系過程中的重要意義。第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率第五節(jié)函數(shù)的微分理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量。掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)、雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式不變性。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。會求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：結(jié)合幾何和物理背景理解導(dǎo)數(shù)的概念，熟練基本求導(dǎo)數(shù)規(guī)則，特別是掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，理解反函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。課程的考核要求：導(dǎo)數(shù)的定義、各種基本求導(dǎo)方法，微分的應(yīng)用。復(fù)習(xí)思考題：課后習(xí)題。第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達(dá)法則第三節(jié)泰勒公式第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪第七節(jié)曲率*第八節(jié)方程的近似解理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。會用洛必達(dá)(L’Hospital)法則求不定式的極限。理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。會求解較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求拐點(diǎn)，會描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸進(jìn)線)。了解有向弧與弧微分的概念。了解曲率和曲率半徑的概念并會計(jì)算曲率和曲率半徑。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：中值定理的背景與關(guān)聯(lián)，洛必達(dá)法則求極限時與已有方法的結(jié)合，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性、求最值，描繪函數(shù)圖形，弧微分、曲率的了解和應(yīng)用。課程的考核要求：中值定理的理解與應(yīng)用、運(yùn)用洛必達(dá)法則求解未定式的極限，單調(diào)與極值、凹凸與拐點(diǎn)的求法，簡單的最值應(yīng)用問題，計(jì)算曲率。復(fù)習(xí)思考題：課后習(xí)題。深入了解導(dǎo)數(shù)在科技社會領(lǐng)域的應(yīng)用，樹立努力學(xué)好數(shù)學(xué)的信念。第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)換元積分法第三節(jié)分部積分法第四節(jié)有理函數(shù)的積分第五節(jié)積分表的使用理解原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)。掌握不定積分的基本公式、換元法和分部積分法。會求簡單的有理函數(shù)的積分。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：不定積分的概念與性質(zhì)，熟練掌握不定積分的基本求法。課程的考核要求：計(jì)算不定積分。復(fù)習(xí)思考題：課后習(xí)題。第五章定積分第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)微積分基本公式第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法第四節(jié)反常積分*第五節(jié)反常積分的審斂法函數(shù)理解定積分的概念及性質(zhì)，了解可積條件。理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓(Newton)-萊布尼茲(Leibniz)公式。掌握定積分的換元法和分部積分法。了解廣義積分的概念以及廣義積分的換元法和分部積分法。了解定積分的近似計(jì)算法(矩形法、梯形法和拋物線法)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：定積分的概念的理解，其近似、求和、取極限的思想用于解決相關(guān)實(shí)際問題，積分上限的函數(shù)的理解及其求導(dǎo)方法，熟練掌握定積分的基本求法，一些關(guān)于奇偶函數(shù)、周期函數(shù)、三角函數(shù)的特殊結(jié)果及其應(yīng)用。函數(shù)的了解與記憶。課程的考核要求：定積分定義的應(yīng)用，積分上限的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，計(jì)算定積分，換積分上下限的靈活處理。復(fù)習(xí)思考題：課后習(xí)題。理解積分方法的完善過程，體會數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展進(jìn)程的特點(diǎn)。第六章定積分的應(yīng)用第一節(jié)定積分的元素法第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功、引力等)的方法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：定積分表達(dá)和求解一些幾何量與物理量。課程的考核要求：定積分計(jì)算面積、體積、弧長、功、引力等。復(fù)習(xí)思考題：課后習(xí)題。深入了解積分在科技社會領(lǐng)域的應(yīng)用，樹立努力學(xué)好數(shù)學(xué)的信念。第七章微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念第二節(jié)可分離變量的微分方程第三節(jié)齊次方程第四節(jié)一階線性微分方程第五節(jié)可降階的高階微分方程第六節(jié)高階線性微分方程第七節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程第八節(jié)常系數(shù)非齊次線性微分方程*第九節(jié)歐拉方程*第十節(jié)常系數(shù)線性微分方程組解法舉例了解微分方程、解、階、通解、初始條件和特解等概念。掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法。會解齊次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用變量代換求方程的思想。會解全微分方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并了解高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。會求自由項(xiàng)形如、的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。會用微分方程解一些簡單的幾何和物理問題。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：微分方程的思想，對實(shí)際問題建立微分方程，微分方程于微分與積分問題中的應(yīng)用，微分方程解的結(jié)構(gòu)的理解與運(yùn)用，二階常系數(shù)非齊次方程的求解。課程的考核要求：對簡單的數(shù)學(xué)或物理問題建立一階或二階微分方程