《高等數(shù)學I》課程教學大綱

PAGEPAGE7《高等數(shù)學I》教學大綱課程編號：120095A課程類型：eq\o\ac(□,√)通識教育必修課□通識教育選修課□專業(yè)必修課□專業(yè)選修課□學科基礎課總學時：80講課學時：80實驗（上機）學時：0學分：5考試類型：eq\o\ac(□,√)考試□考查適用對象：工科，管理科學□是eq\o\ac(□,√)否適合作為其他專業(yè)學生的個性化選修課先修課程：無一、教學目標高等數(shù)學是工科本科各專業(yè)及部分管理科學專業(yè)學生的一門必修的重要基礎理論課，它是為培養(yǎng)我國現(xiàn)代化建設所需要的高質量專門人才服務的。目標1：在學習方法和數(shù)學思想上初步完成從中學數(shù)學走向大學數(shù)學的適應與過渡；目標2：使學生獲得函數(shù)與極限，一元函數(shù)微積分學，常微分方程等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，為學習后繼課程和進一步獲取數(shù)學知識奠定必要的數(shù)學基礎。目標3：逐步培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和自學能力，還要特別注意培養(yǎng)學生具有綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力。目標4：培育有堅定理想信念、深厚愛國主義情懷、高尚道德情操，具有扎實工學與管理科學專業(yè)學識，堅韌奮斗進取品格的社會主義新青年。二、教學內容及其與畢業(yè)要求的對應關系本課程在教學中要求學生確切理解《高等數(shù)學I》中的基本概念，讓學生盡早地更多地掌握數(shù)學的思想和方法。突出高等數(shù)學中極限的思想，微分的思想，積分的思想，揭示課程內部的本質的有機聯(lián)系。在講解內容的同時，以極限的思想貫穿導數(shù)、微分、積分、級數(shù)等知識的講授，重點是讓學生了解概念的背景，理解概念與方法的思想，熟練基本的計算方法，靈活運用數(shù)學方法解決實際問題。所選教材以微積分學為綱，把高等數(shù)學的主要內容放在微分與積分的框架下展開，同時將相關的空間解析幾何、微分方程進行盡可能詳細的學習。講課的難點在于把握將極限的思想滲透到各個教學內容之中，讓學生理解和掌握如何把一些實際問題動態(tài)化，并將微積分學和方程中的分割、近似、極限的思想應用到解決這些問題中，使學生能把握簡潔和直接的高等數(shù)學方法。通過活潑互動的課堂教學，刺激學生的學習興趣；通過探索討論課，調動學生的學習主動性；教學中逐步培養(yǎng)學生運用高等數(shù)學的方法分析問題和解決問題的能力。每一章的重點內容要重點講解，在講清概念的基礎上，通過適當?shù)木毩暎ㄕn堂討論、作業(yè)、習題課、自學課外資料、問題探討等）以達到掌握高等數(shù)學中常用的計算方法、基本運算中的技能和技巧以及提高綜合計算和解決問題的能力的目的。難點要逐步引入，分散講解。本大綱列入部分帶“*”的內容，供學生自學。本課程的考核成績采取平時成績（含課堂參與度、作業(yè)、小測驗）與期末閉卷測試成績相結合的方式，擬按3:7比例分配。我校學習本課程的學生來自安全與環(huán)境工程學院、信息學院等學院，由于其專業(yè)背景的差別，在教學過程中可以根據(jù)專業(yè)要求適當調整重點講授的內容。三、各教學環(huán)節(jié)學時分配教學課時分配序號章節(jié)內容講課實驗習題課合計1函數(shù)、極限、連續(xù)123152一元函數(shù)微分學225273一元函數(shù)積分學226284常微分方程8210合計641680四、教學內容第一章函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)第二節(jié)數(shù)列的極限第三節(jié)函數(shù)的極限第四節(jié)無窮大與無窮小第五節(jié)極限運算法則第六節(jié)極限存在準則兩個重要極限第七節(jié)無窮小的比較第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質理解函數(shù)的概念及函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性和有界性。理解復合函數(shù)和反函數(shù)的概念。熟悉基本初等函數(shù)的性質及其圖形。會建立簡單實際問題中的函數(shù)關系式。理解極限的概念(對極限的、定義可在學習過程中逐步加深理解，對于給出求N或不作過高的要求。)，掌握極限四則運算法則及換元法則。理解極限存在的夾逼準則，了解單調有界準則，會用兩個重要極限求極限。了解無窮小、無窮大以及無窮小的階的概念。會用等價無窮小求極限。理解函數(shù)在一點連續(xù)和在一個區(qū)間上連續(xù)的概念，了解間斷點的概念，并會判別間斷點的類型。了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(介值定理和最大、最小值定理)。教學重點、難點：有界性的理解，讓學生逐步適應和接受極限的、定義方式，兩個重要極限導出的思想方法，無窮小的理解與靈活運用，函數(shù)連續(xù)與間斷的概念。課程的考核要求：極限的概念、基本求法，連續(xù)與間斷的判定，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質的簡單應用。復習思考題：課后習題。了解極限的數(shù)學語言在微積分學建立體系過程中的重要意義。第二章導數(shù)與微分第一節(jié)導數(shù)概念第二節(jié)函數(shù)的求導法則第三節(jié)高階導數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)相關變化率第五節(jié)函數(shù)的微分理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。會用導數(shù)描述一些物理量。掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法，掌握基本初等函數(shù)、雙曲函數(shù)的導數(shù)公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式不變性。了解高階導數(shù)的概念。掌握初等函數(shù)一階、二階導數(shù)的求法。會求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)。會求反函數(shù)的導數(shù)。教學重點、難點：結合幾何和物理背景理解導數(shù)的概念，熟練基本求導數(shù)規(guī)則，特別是掌握復合函數(shù)求導，理解反函數(shù)導數(shù)及其應用。課程的考核要求：導數(shù)的定義、各種基本求導方法，微分的應用。復習思考題：課后習題。第三章微分中值定理與導數(shù)的應用第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達法則第三節(jié)泰勒公式第四節(jié)函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪第七節(jié)曲率*第八節(jié)方程的近似解理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。會用洛必達(L’Hospital)法則求不定式的極限。理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求極值的方法。會求解較簡單的最大值和最小值的應用問題。會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求拐點，會描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸進線)。了解有向弧與弧微分的概念。了解曲率和曲率半徑的概念并會計算曲率和曲率半徑。教學重點、難點：中值定理的背景與關聯(lián)，洛必達法則求極限時與已有方法的結合，靈活運用導數(shù)判定單調性、求最值，描繪函數(shù)圖形，弧微分、曲率的了解和應用。課程的考核要求：中值定理的理解與應用、運用洛必達法則求解未定式的極限，單調與極值、凹凸與拐點的求法，簡單的最值應用問題，計算曲率。復習思考題：課后習題。深入了解導數(shù)在科技社會領域的應用，樹立努力學好數(shù)學的信念。第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質第二節(jié)換元積分法第三節(jié)分部積分法第四節(jié)有理函數(shù)的積分第五節(jié)積分表的使用理解原函數(shù)與不定積分的概念及性質。掌握不定積分的基本公式、換元法和分部積分法。會求簡單的有理函數(shù)的積分。教學重點、難點：不定積分的概念與性質，熟練掌握不定積分的基本求法。課程的考核要求：計算不定積分。復習思考題：課后習題。第五章定積分第一節(jié)定積分的概念與性質第二節(jié)微積分基本公式第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法第四節(jié)反常積分*第五節(jié)反常積分的審斂法函數(shù)理解定積分的概念及性質，了解可積條件。理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導定理，掌握牛頓(Newton)-萊布尼茲(Leibniz)公式。掌握定積分的換元法和分部積分法。了解廣義積分的概念以及廣義積分的換元法和分部積分法。了解定積分的近似計算法(矩形法、梯形法和拋物線法)。教學重點、難點：定積分的概念的理解，其近似、求和、取極限的思想用于解決相關實際問題，積分上限的函數(shù)的理解及其求導方法，熟練掌握定積分的基本求法，一些關于奇偶函數(shù)、周期函數(shù)、三角函數(shù)的特殊結果及其應用。函數(shù)的了解與記憶。課程的考核要求：定積分定義的應用，積分上限的導數(shù)的應用，計算定積分，換積分上下限的靈活處理。復習思考題：課后習題。理解積分方法的完善過程，體會數(shù)學學科發(fā)展進程的特點。第六章定積分的應用第一節(jié)定積分的元素法第二節(jié)定積分在幾何學上的應用第三節(jié)定積分在物理學上的應用掌握用定積分表達一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功、引力等)的方法。教學重點、難點：定積分表達和求解一些幾何量與物理量。課程的考核要求：定積分計算面積、體積、弧長、功、引力等。復習思考題：課后習題。深入了解積分在科技社會領域的應用，樹立努力學好數(shù)學的信念。第七章微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念第二節(jié)可分離變量的微分方程第三節(jié)齊次方程第四節(jié)一階線性微分方程第五節(jié)可降階的高階微分方程第六節(jié)高階線性微分方程第七節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程第八節(jié)常系數(shù)非齊次線性微分方程*第九節(jié)歐拉方程*第十節(jié)常系數(shù)線性微分方程組解法舉例了解微分方程、解、階、通解、初始條件和特解等概念。掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法。會解齊次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用變量代換求方程的思想。會解全微分方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的結構。掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并了解高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。會求自由項形如、的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。會用微分方程解一些簡單的幾何和物理問題。教學重點、難點：微分方程的思想，對實際問題建立微分方程，微分方程于微分與積分問題中的應用，微分方程解的結構的理解與運用，二階常系數(shù)非齊次方程的求解。課程的考核要求：對簡單的數(shù)學或物理問題建立一階或二階微分方程