角的平分線性質(zhì)的應(yīng)用

1、直角三角形全等的判定,直角三角形全等的判定,直角三角形全等的判定,直角三角形全等的判定,直角三角形全等的判定,角的平分線的性質(zhì),角的平分線的性質(zhì),如圖，是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD， BC=DC。將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿 著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE 就是角平分線。你能說明它的道理嗎？,探究,E,根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）,O,N,O,M,C,E,探究,分別以，為圓心大于 的長為半徑作弧兩弧在AOB的內(nèi)部交于,如何用尺規(guī)作角的平分線？,A,作法：,以為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于，交于,作射線OC,則射線即為所求,練習(xí),平分

2、平角AOB，通過上面的步驟得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？,A,B,O,C,D,結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角， 由此也得到過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法。,如圖：將AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形(使第 一條折痕為斜邊)，然后展開，觀察兩次折疊形成 的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？,A,O,B,A,O,B,C,D,E,P,探究,可以看出，第一條折痕OC是AOB _,第二次形成了_條折痕，分別為_, 它們是角平分線上的一點(diǎn)到AOB兩邊的_,這兩個(gè)距離_,平分線,2,PD、PE,距離,相等,相等,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩 邊的距離相等,由此我們得到角

3、平分線的性質(zhì)定理：,你能用三角形全等證明這個(gè)性質(zhì)嗎？,如何證明幾何命題？：,1、明確命題中的已知和求證；,2、根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào) 表示已知和求證；,3、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑， 寫出證明過程。,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩 邊的距離相等,已知：OC是AOB 的平分線，P在OC上， PDOA于D， PEOB于E，求證：PD=PE,分析：仔細(xì)觀察圖形，思考證明兩條線斷 相等的方法有哪些？,PDO PEO嗎？,O,A,B,E,D,思考：,如圖所示OC是AOB 的平分線,P 是OC上任意一點(diǎn),問PE=PD?為什么?,C,P,PD,PE沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)到

4、這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等,運(yùn)用角平分線的性質(zhì),角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。,1、距離指的是點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長； 2、該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)， 不需要用全等三角形； 3、使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有垂直。,已知：OC是AOB 的平分 線，P在OC上， PDOA于D， PEOB于E， 求證：PD=PE,例：如圖，ABC的角平分線BM， CN相交于點(diǎn)P。 求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC， CA的距離相等。,B,A,C,P,M,N,例題展示：,證明： 過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC， CA，垂足為D、E、F，,B,A,C,P,D,E,F,

5、M,N,BM是ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上， PDAB， PEBC,PD=PE,同理 PE=PF,PD=PE=PF,即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等,想一想，點(diǎn)P在A的平分線上嗎？ 這說明三角形的三條角平分線有 什么性質(zhì)？,B,我們知道，角平分線上的點(diǎn)到 _相等,到角兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在 角的平分線上呢？你能證明嗎？,角兩邊的距離,已知：P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，且PDOA于D， PEOB于E，PD=PE，求證：OC是AOB 的平分線。,因此：到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在 角的平分線上,想一想，點(diǎn)P在A的平分線上嗎？ 這說明三角形的三條角平分線有 什么性質(zhì)？,三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)， 并且它到三角形三邊的距離相等。,B,直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B.兩處 C.三處 D.四處,分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。,練習(xí),如圖，ABC的B的外角的平分線 BD與C的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P。 求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA 所在直線的距離相等。,C,B,A,P,D,E,如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)， 使它到公路，鐵路距離相等，離公 路與鐵路交