高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.1 構(gòu)成空間幾何體的基本元素 1.1.2 棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征學(xué)案 新人教B版必修

1、1.1.1構(gòu)成空間幾何體的基本元素1.1.2棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征學(xué)習(xí)目標(biāo)1.以長方體的構(gòu)成為例，認(rèn)識構(gòu)成幾何體的基本元素，同時在運(yùn)動變化的觀點(diǎn)下，體會空間中的點(diǎn)、線、面與幾何體之間的關(guān)系.2.理解平面的無限延展性，學(xué)會判斷平面的方法.3.能根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的定義和結(jié)構(gòu)特征，掌握它們的相關(guān)概念、分類和表示方法.知識鏈接觀察下列圖片，你知道這些圖片所表示的物體在幾何中分別叫什么名稱嗎？答(1)、(8)為圓柱；(2)為長方體；(3)、(6)為圓錐；(4)、(10)為圓臺；(5)、(7)、(9)為棱柱；(11)、(12)為球；(13)、(16)為棱臺；(14)、(15)為棱錐.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.幾

2、何體只考慮一個物體占有空間部分的形狀和大小，而不考慮其他因素，則這個空間部分叫做一個幾何體.2.構(gòu)成空間幾何體的基本元素(1)點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素.線有直線(段)和曲線(段)之分，面有平面(部分)和曲面(部分)之分.(2)在立體幾何中，平面是無限延展的，通常畫一個平行四邊形表示一個平面；平面一般用希臘字母，來命名，還可以用表示它的平行四邊形的對角頂點(diǎn)的字母來命名.3.空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系(1)空間兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面.(2)直線和平面的位置關(guān)系：平行、相交、在平面內(nèi).(3)兩個平面的位置關(guān)系：平行、相交.4.多面體(1)多面體是由若干個平面多邊形所圍成的幾何體.

3、(2)把一個多面體的任意一個面延展為平面，如果其余的各面都在這個平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體.5.幾種常見的多面體多面體定義圖形及表示相關(guān)概念棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱如圖可記作：棱柱ABCDEF-ABCDEF底面(底)：兩個互相平行的面.側(cè)面：其余各面.側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐如圖可記作，棱錐S-ABCD底面(底)：多邊形面.側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個三角形面. 側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

4、.頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)棱臺用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺如圖可記作：棱臺ABCD-ABCD上底面：原棱錐的截面.下底面：原棱錐的底面.側(cè)面：其余各面.側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)要點(diǎn)一長方體中基本元素間的位置關(guān)系例1如圖所示，在長方體ABCDABCD中，如果把它的12條棱延伸為直線，6個面延伸為平面，那么在這12條直線與6個平面中，回答下列問題：(1)與直線BC平行的平面有哪幾個？(2)與直線BC垂直的平面有哪幾個？(3)與平面BC平行的平面有哪幾個？(4)與平面BC垂直的平面有哪幾個？解(1)與直線BC平行的平面有：平面AD，平面

5、AC.(2)與直線BC垂直的平面有：平面AB，平面CD.(3)與平面BC平行的平面有：平面AD.(4)與平面BC垂直的平面有：平面AB，平面AC，平面CD，平面AC.規(guī)律方法1.解決此類問題的關(guān)鍵在于識圖，根據(jù)圖形識別直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直.2.長方體和正方體是立體幾何中的重要幾何體，對其認(rèn)識有助于進(jìn)一步認(rèn)識立體幾何中的點(diǎn)、線、面的基本關(guān)系.跟蹤演練1若本例中的題干不變，將問題(1)(2)中的“直線BC”改為“直線BC”，再去解答前兩個小題.解(1)與直線BC平行的平面有：平面AD.(2)所給6個平面中，與直線BC垂直的平面不存在.要點(diǎn)二棱柱的結(jié)構(gòu)特征例2下列關(guān)于棱柱的說法

6、：(1)所有的面都是平行四邊形；(2)每一個面都不會是三角形；(3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱.其中正確說法的序號是_.答案(3)(4)解析(1)錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；(2)錯誤，棱柱的底面可以是三角形；(3)正確，由棱柱的定義易知；(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，所以說法正確的序號是(3)(4).規(guī)律方法棱柱的結(jié)構(gòu)特征：(1)兩個面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行.求解時，首先看是否有兩個平行的面作為底面，再看是否滿足其他特征.跟蹤演練2下列關(guān)于棱柱的說法錯誤的是()A.所有的棱柱

7、兩個底面都平行B.所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面每相鄰面的公共邊互相平行C.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱D.棱柱至少有五個面答案C解析對于A、B、D，顯然是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱.如圖所示的幾何體就不是棱柱.所以C錯誤.要點(diǎn)三棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征例3下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：(1)用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱

8、臺；(2)棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；(3)棱錐的側(cè)面只能是三角形；(4)由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；(5)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐，其中正確說法的序號是_.答案(2)(3)(4)解析(1)錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺；(2)正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；(3)正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；(4)正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；(5)錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.規(guī)律方法判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱

9、臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.(2)直接法：棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)跟蹤演練3棱臺不具有的性質(zhì)是()A.兩底面相似 B.側(cè)面都是梯形C.側(cè)棱長都相等 D.側(cè)棱延長后相交于一點(diǎn)答案C解析由棱臺的概念(棱臺的產(chǎn)生過程)可知A，B，D都是棱臺具有的性質(zhì)，而側(cè)棱長不一定相等.要點(diǎn)四多面體的表面展開圖例4畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖.解表面展開圖如圖所示：規(guī)律方法多面體表面展開圖問題的解題策略：(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過程中，常常給多面

10、體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖.(2)已知展開圖：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推.同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖.跟蹤演練4一個無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖，A、B、C是展開圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，ABC_.答案60解析將平面圖形翻折，折成空間圖形，如圖.1.三棱錐的四個面中可以作為底面的有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個答案D解析由于三棱錐的每一個面均可作為底面，應(yīng)選D.2.棱柱的側(cè)面都是()A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.

11、矩形答案B解析由棱柱的性質(zhì)可知，棱柱的側(cè)面都是四邊形.3.如圖所示，不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是()A. B.C. D.答案C解析可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)可折成正四面體，不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體.4.下列幾何體中，_是棱柱，_是棱錐，_是棱臺(僅填相應(yīng)序號).答案解析結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知是棱柱，是棱錐，是棱臺.5.線段AB長為5 cm，在水平面上向右移動4 cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動3 cm后記為CD，再將CD沿水平方向向左移動4 cm后記為AB，依次連接構(gòu)成長方體ABCDABCD.(1)該長方體的高為_；(2)

12、平面ABBA與平面CDDC間的距離為_；(3)點(diǎn)A到平面BCCB的距離為_.答案(1)3 cm(2)4 cm(3)5 cm解析如圖，在長方體ABCDABCD中，AB5 cm，BC4 cm，CC3 cm，長方體的高為3 cm；平面ABBA與平面CDDC之間的距離為4 cm；點(diǎn)A到平面BCCB的距離為5 cm.1.空間幾何體的本質(zhì)(1)幾何體不僅包括它的外表面，還包括外表面圍起的內(nèi)部部分，如長方體形的盒子外表面不是長方體，而外表面加上它所占據(jù)的空間才是長方體.(2)數(shù)學(xué)上的幾何體是一個抽象概念，只需考慮它的形狀和大小，研究它的結(jié)構(gòu)特征和構(gòu)成元素間的邏輯關(guān)系等.2.兩個特殊的空間位置關(guān)系(1)直線與

13、平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形；(2)平面和平面垂直是兩個平面相交的特殊情形.3.(1)點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)連線中最短的一條線段的長度.特別地，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時，點(diǎn)到平面的距離為0.(2)兩個平行平面間的距離，可轉(zhuǎn)化為其中一個平面內(nèi)任一點(diǎn)到另一個平面的距離.4.棱柱、棱錐、棱臺的關(guān)系在運(yùn)動變化的觀點(diǎn)下，棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例).5.各種棱柱之間的關(guān)系(1)棱柱的分類棱柱(2)常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系6.棱柱、棱錐、棱臺在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見下表：名稱底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧咂叫杏诘酌娴慕孛胬庵崩庵叫星胰鹊膬蓚€多邊形平行四邊形平行且相等與底面全等直