湘潭大學(xué)-人工智能課件-模糊系統(tǒng)-Part1

1、Artificial Intelligence (AI)人工智能,第五章：模糊邏輯系統(tǒng),模糊計(jì)算,模糊計(jì)算 模糊性：在日常生活中早已運(yùn)用自如，在科學(xué)分析中理論卻還未完善 美國加州大學(xué)扎德（ L. A. Zadeh ）教授1965年提出的模糊集合與模糊邏輯理論是模糊計(jì)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 它主要用來處理現(xiàn)實(shí)世界中因模糊而引起的不確定性。目前，模糊理論已經(jīng)在推理、控制、決策等方面得到了非常廣泛的應(yīng)用。,內(nèi)容提要,1. 模糊邏輯原理,2. 模糊集,3. 模糊關(guān)系,4. 模糊變換,5. 模糊推理,6. 模糊計(jì)算的流程,第五章：模糊邏輯系統(tǒng),內(nèi)容提要,1. 模糊邏輯原理,2. 模糊集,3. 模糊關(guān)系,4. 模

2、糊變換,5. 模糊推理,6. 模糊計(jì)算的流程,第五章：模糊邏輯系統(tǒng),模糊邏輯原理,沙堆問題： “從一個(gè)沙堆里拿走一粒沙子，這還是一個(gè)沙堆嗎？” 是？否？,一粒沙子都沒有也被稱為沙堆？這顯然有問題！,模糊邏輯原理,問題就在于： “沙堆”這個(gè)概念是模糊的，沒有一個(gè)清晰的界限將“沙堆”與“非沙堆”分開。 我們沒有辦法明確指出，在這個(gè)不斷拿走沙子的過程中，什么時(shí)候“沙堆”不再是“沙堆”。 與“沙堆”相似的模糊概念還有“年輕人”、“小個(gè)子”、“大房子”等。 這種在生活中常見的模糊概念，在用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法處理時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)問題。,模糊邏輯原理,如果嘗試消除這些概念的模糊性，會(huì)怎樣呢？ 如果規(guī)定沙堆只能由10

3、000粒以上的沙子組成，“沙堆”這個(gè)概念的模糊性就消除了。 10000粒沙子組成的是沙堆，9999粒沙子組成的不是沙堆：這在數(shù)學(xué)上沒有任何問題。,？,然而，僅僅取走微不足道的一粒沙子，就將“沙堆”變?yōu)椤胺巧扯选?，這又不符合我們?nèi)粘Ｉ钪械乃季S習(xí)慣,模糊邏輯原理,模糊邏輯就是用來解決這一矛盾的工具之一 在企圖用數(shù)學(xué)處理生活中的問題時(shí)，精確的數(shù)學(xué)語言和模糊的思維習(xí)慣產(chǎn)生了矛盾。 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法常常試圖進(jìn)行精確定義，而人關(guān)于真實(shí)世界中事物的概念往往是模糊的，沒有精確的界限和定義。 在處理一些問題時(shí)，精確性和有效性形成了矛盾，訴諸精確性的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法變得無效，而具有模糊性的人類思維卻能輕易解決。,自然

4、語言,模糊邏輯原理,模糊邏輯的發(fā)展，是由理論準(zhǔn)備到理論提出再到理論應(yīng)用的過程,內(nèi)容提要,1. 模糊邏輯原理,2. 模糊集,3. 模糊關(guān)系,4. 模糊變換,5. 模糊推理,6. 模糊計(jì)算的流程,第五章：模糊邏輯系統(tǒng),模糊集,從精確到模糊 精確 答案確定：要么是，要么不是 f : A 0,1 如：他是學(xué)生？不是學(xué)生？ 模糊 答案不定：也許是，也許不是，也許介于之間 A : U 0,1 如：他是成年人？不是成年人？大概是成年人？,模糊集,表示“20歲左右” 原集合（年齡） ., 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, . 模糊集可以表示為： 0.8/18 + 0.9/19 + 1/2

5、0 + 0.9/21 + 0.8/12 0.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23,隸屬度0,1 / 集合元素,模糊集,集合及其特征函數(shù) 在論域中，把具有某種屬性的事物的全體稱為集合。由于集合中的元素都具有某種屬性，因此可以用集合表示某一種概念，而且可用一個(gè)函數(shù)來刻畫它，該函數(shù)稱為特征函數(shù)。 設(shè)A是論域U上的一個(gè)集合，對(duì)任意uU，令 則稱CA(u)為集合A的特征函數(shù)。特征函數(shù)CA(u)在u=u0處的取值CA(u0)稱為u0對(duì)A的隸屬度。,模糊集,集合及其特征函數(shù) 集合A與其特征函數(shù)可以認(rèn)為是等價(jià)的：A=u |CA(u)=1 模糊集與隸屬函數(shù) 模

6、糊集把特征函數(shù)的取值范圍從0,1推廣到0,1上。 設(shè)U是論域，A是把任意uU映射為0,1上某個(gè)值的函數(shù)，即 A : U0,1 或 uA(u) 則稱A為定義在U上的一個(gè)隸屬函數(shù)，由A(u)(uU)所構(gòu)成的集合A稱為U上的一個(gè)模糊集，A(u)稱為u對(duì)A的隸屬度。,模糊集,模糊集的例子 論域U=1,2,3,4,5，用模糊集表示“大”和“小”。 解：設(shè)A、B分別表示“大”與“小”的模糊集，A ，B分別為相應(yīng)的隸屬函數(shù)。 A = 0, 0, 0.1, 0.6, 1 B = 1, 0.5, 0.01, 0, 0 其中： A(1)=0, A(2)=0 , A(3)=0.1 , A(4)=0.6 , A(5)

7、=1 B(1)=1, B(2)=0.5 , B(3)=0.01 , B(4)=0, B(5)=0,模糊集,模糊集的表示方法 (1)論域離散且為有限 若論域 U=u1, , un為離散論域，模糊集A表示為： A= A(u1), A(u2), , A(un) 也可寫為： A= A(u1)/u1 + A(u2)/u2 + + A(un)/un 其中，隸屬度為0的元素可以不寫。 例如：A = 1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 = 1/u1+0.7/u2+0.4/u4,模糊集,模糊集的表示方法 (2)論域連續(xù) 若論域是連續(xù)的，則模糊集可用實(shí)函數(shù)表示。 例如：以年齡為論域U=0,100， “

8、年輕”和“年老”這兩個(gè)概念可表示為：,模糊集,模糊集的表示方法 (3) 一般表示方法 不管論域 U 是有限的還是無限的，是連續(xù)的亦或是離散的，扎德（ L. A. Zadeh ）又給出了一種類似于積分的一般表示形式： 這里的記號(hào)不是數(shù)學(xué)中的積分符號(hào)，也不是求和，只是表示論域中各元素與其隸屬度對(duì)應(yīng)關(guān)系的總括。,模糊集的運(yùn)算,模糊集的包含運(yùn)算 設(shè)A、B分別是U 上的兩個(gè)模糊集，對(duì)任意uU，都有 B(u) A(u) 成立，則稱A包含B，記為B A。 模糊集的交、并、補(bǔ)運(yùn)算 設(shè)A、B分別是U上的兩個(gè)模糊集，則A和B兩個(gè)集合的并集AB、交集AB和A的補(bǔ)集A的隸屬函數(shù)分別為：,模糊集的運(yùn)算,模糊集運(yùn)算的例子

9、 設(shè)U=u1,u2,u3， A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3; B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3 求AB， AB和A AB = (0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 = 0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3 AB = (0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 = 0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3 A = (1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3 = 0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3,模糊集合上的運(yùn)算定律,冪等律 交換律 結(jié)合律 分配律,模糊集合上的運(yùn)算定律,吸收律

10、 兩極律 復(fù)原律 摩根律,模糊集的水平截集,水平截集的定義： 設(shè)A是論域U上的模糊集，0,1，則稱普通集合 A = u | uU, A(u) 為A的一個(gè)水平截集，稱為閾值或置信水平。 閾值越大，其水平截集A越小。當(dāng)1時(shí)，A最小，稱它為模糊集的核。 稱 Ker A =u|uU, A(u)=1 和 Supp A=u|uU, A(u)0分別為模糊集A的核及支集。當(dāng)Ker A時(shí)，稱A為正規(guī)模糊集。,模糊集的水平截集,水平截集，核，支集,模糊度,模糊度是模糊集的模糊程度的一種度量 設(shè)A是論域U上的模糊集，記作AF(U) ，d是定義在F(U)上的實(shí)函數(shù)，如果它滿足以下條件： (1) d(A)0,1; (2

11、)當(dāng)且僅當(dāng)A是一個(gè)普通集合時(shí)，d(A) = 0； (3)若A的隸屬函數(shù)A(u)0.5，則d(A) = 1; (4)若A, BF(U) ，且對(duì)任意uU，滿足B(u)A(u) 0.5 或者B(u)A(u)0.5，則有d(B)d(A) (5)對(duì)任意AF(U) ，有d(A)=d(A) 則稱d為定義在F(U)上的一個(gè)模糊度，d(A)稱為A的模糊度。,內(nèi)容提要,1. 模糊邏輯原理,2. 模糊集,3. 模糊關(guān)系,4. 模糊變換,5. 模糊推理,6. 模糊計(jì)算的流程,第五章：模糊邏輯系統(tǒng),模糊關(guān)系的定義,定義在集合上的關(guān)系 設(shè)V與W是兩個(gè)普通集合，V與W的笛卡爾乘積為 VW = (v, w)任意 vV，任意

12、wW 所謂從V到W的關(guān)系R，是指VW上的一個(gè)子集，即 R VW 記為： 對(duì)于VW中的元素(v,w)，若(v,w)R，則稱v與w有關(guān)系R； 若(v,w) R，則稱v與w沒有關(guān)系R。,模糊關(guān)系的定義,例子： VW上的關(guān)系 設(shè)：V=1班，2班，3班，W=男隊(duì)，女隊(duì) 則VW中有6個(gè)元素，即 VW = (1班，男隊(duì))，(2班，男隊(duì))，(3班，男隊(duì))，(1班，女隊(duì))，(2班，女隊(duì))，(3班，女隊(duì)) 其中，每個(gè)元素是一代表隊(duì)。 假設(shè)要進(jìn)行一種雙方對(duì)壘的循環(huán)賽，則每一個(gè)賽局都是VW中的一個(gè)子集，它構(gòu)成了VW上的一個(gè)關(guān)系。,模糊關(guān)系的定義,設(shè) Ai 是 Ui (i=1,2,n) 上的模糊集，則稱 為A1, A2, , An的笛卡爾乘積，它是U1U2Un上的一個(gè)模糊集。 在U1Un上一個(gè)n元模糊關(guān)系R是指以U1Un為論域的一個(gè)模糊集，記為:,取最小,模糊關(guān)系的定義,例子： UV上的模糊關(guān)系 U = 張三，李四，王五 V = 籃球，排球，足球，乒乓球 UV上的一個(gè)模糊關(guān)系R,模糊關(guān)系的定義,一般地說，當(dāng)U和V都是有限論域時(shí)，其模糊關(guān)系R可用一個(gè)模糊矩陣表示。 U=u1,u2,um V=v1,v2,vn 則UV上的模糊關(guān)系為,模糊關(guān)系的合成,模糊