三反證法與放縮法.pptx

1、三反證法與放縮法,【自主預(yù)習(xí)】 1.反證法 (1)方法:先假設(shè)_,以此為出發(fā)點,結(jié) 合已知條件,應(yīng)用_等,進行正 確的推理,得到和_(或已證明的定理、性,要證的命題不成立,公理、定義、定理、性質(zhì),命題的條件,質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正 確,從而證明_,我們把它稱為反證法. (2)適用范圍:對于那些直接證明比較困難的否定性命 題,唯一性命題或含有“至多”“至少”等字句的問 題,常常用反證法證明.,原命題成立,2.放縮法 (1)方法:證明不等式時,通過把不等式中的某些部分 的值_或_,簡化不等式,從而達到證明的目 的,我們把這種方法稱為放縮法. (2)關(guān)鍵:放大(縮小)要適當

2、.,放大,縮小,【即時小測】 1.應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中,可把下列哪些作為條件使用() (1)結(jié)論的反設(shè).(2)已知條件.(3)定義、公理、定理等.(4)原結(jié)論. A.(1)(2)B.(2)(3) C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(4),【解析】選C.根據(jù)反證法的定義可知,用反證法證明過程中,可應(yīng)用(1)結(jié)論的反設(shè).(2)已知條件.(3)定義、公理、定理等推出矛盾.,【知識探究】 探究點反證法與放縮法 1.用反證法證明時,導(dǎo)出矛盾有哪幾種可能? 提示:與原命題的條件矛盾; 與假設(shè)矛盾; 與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾; 與客觀事實矛盾.,2.用反證法證明命題“若p則q”時, q假,

3、q即為真嗎? 提示:是的.在證明數(shù)學(xué)問題時,要證明的結(jié)論要么正確,要么錯誤,二者中居其一, q是q的反面,若q為假,則q必為真.,【歸納總結(jié)】 1.常見的涉及反證法的文字語言及其相對應(yīng)的否定假設(shè),2.放縮法證明不等式的理論依據(jù) (1)不等式的傳遞性. (2)等量加不等量為不等量. (3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較.,3.放縮法證明不等式常用的技巧 (1)增項或減項. (2)在分式中增大或減小分子或分母. (3)應(yīng)用重要不等式放縮,如a2+b22ab, (4)利用函數(shù)的單調(diào)性等.,類型一利用反證法證明否定性命題 【典例】設(shè)0a2,0b2,0c2,求證:(2-a)c, (2-

4、b)a,(2-c)b不可能同時大于1. 【解題探究】典例中待證結(jié)論的反面是什么? 提示:待證結(jié)論的反面為,【證明】假設(shè)(2-a)c1,(2-b)a1,(2-c)b1, 則(2-a)c(2-b)a(2-c)b1, 因為0a2,0b2,0c2, 所以(2-a)a =1. 同理:(2-b)b1,(2-c)c1.,所以(2-a)a(2-b)b(2-c)c1, 這與式矛盾. 所以假設(shè)不成立. 即:(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同時大于1.,【方法技巧】 1.用反證法證明的一般步驟 (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立. (2)從這個假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證,得出矛盾. (3)由

5、矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.,2.否定性不等式的證法及關(guān)注點 當待證不等式的結(jié)論為否定性命題時,常采用反證法來證明,對結(jié)論的否定要全面不能遺漏,最后的結(jié)論可以與已知的定義、定理、已知條件、假設(shè)矛盾.,【變式訓(xùn)練】1.用反證法證明命題“如果ab,那么 ”時,假設(shè)的內(nèi)容是(),【解析】選C.結(jié)論 的否定是 或 成立.,2.已知三個正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,但不成等差數(shù)列. 求證: 不成等差數(shù)列. 【證明】假設(shè) 成等差數(shù)列,則 即a+c+ =4b, 又三個正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,即b= .,所以a+c+2 =4 ,即a+c-2 =0, 所以( )2=0,所以 ,即a

6、=c. 從而a=b=c,這與已知中a,b,c不成等差數(shù)列矛盾, 所以原假設(shè)錯誤,故 不成等差數(shù)列.,類型二利用反證法證明“至少”“至多”型問題 【典例】已知f(x)=x2+px+q,求證: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=2. (2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于 .,【解題探究】典例(2)中待證結(jié)論的反設(shè)是什么? 提示:反設(shè)是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 .,【證明】(1)由于f(x)=x2+px+q, 所以f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. (2)假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|

7、f(3)|都小于 , 則有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,(*),又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2. 所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2與(*)矛盾,假設(shè)不 成立. 故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于 .,【方法技巧】“至多”“至少”型問題的證明方法 (1)在證明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時,若正面難以找到解題的突破口,可轉(zhuǎn)換視角,用反證法證明.,(2)在用反證法證明的過程中,由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè),相當于增加了題設(shè)條件,因此

8、在證明過程中必須使用這個增加的條件,否則將無法推出矛盾.,【變式訓(xùn)練】若a,b,c均為實數(shù),且a=x2-2y+ ,b=y2- 2z+ ,c=z2-2x+ ,求證:a,b,c中至少有一個大于零.,【證明】假設(shè)a,b,c都不大于零,則a0,b0,c0, 所以a+b+c0. 而a+b+c= =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3,所以a+b+c0,這與 a+b+c0矛盾.故a,b,c中至少有一個大于零.,類型三利用放縮法證明不等式 【典例】求證: (nN+且n2). 【解題探究】典例中如何將 中的分母適 當放大或縮小轉(zhuǎn)化為求和的形式? 提

9、示: (nN+且n2).,【證明】因為k(k+1)k2k(k-1), 所以 即 (kN+且k2). 分別令k=2,3,n得,將這些不等式相加得,所以 即 (nN+且n2)成立.,【方法技巧】放縮法證明不等式的技巧 放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個中間量,如將A放大成C,即AC,后證CB.常用的放縮技巧有:,(1)舍掉(加進)一些項. (2)在分式中放大(縮小)分子(分母). (3)應(yīng)用基本不等式進行放縮.,【變式訓(xùn)練】已知S= (n是大于2的自然數(shù)),則有() A.S1B.2S3 C.1S2D.3S4,【解析】選C.由 又因為S= 1.,【補償訓(xùn)練】已知an=4n-2n,Tn= 求證:T1+T2+T3+Tn,【證明】因為a1+a2+an=41+42+43+4n- (21+