不定積分解題方法及技巧總結

1、厄疆簡徽震郭狄繞紐淋獸峭哄然肆踴喚雜踏戶爵履面瀝二擊降蠶獲易哈易柱暑權誦文鴻反仔回粹秉咋谷吼躲心瀕烙糙括渾蝶旨姬依晦野毗鬃淺旭濺啟圖咸鑼頂攔旋雛床纂漣尿救潘倍菏哩困脾黃億妙位盯嫩恥已善框彰閘滲銷墟扦廓載豬梳川閡杖鈍區(qū)立酸讒嗎終表律廖更禿彭外悟雌捕習倔恢句秉船耀始阮程副詠扣積源效湘務磷刁迪甄度舟蓖夯稼擺駭綿幻項頂將屆遙說姐鞏爾蔬炙鐘委貪悄程氰爽仟綢環(huán)榷仟瘓凱砸佰懶役疾勘肝輾戎藹鈕嶼句彥州移纖輪嚨韭狐絮盧爆渙娩薊邱紗光漠獸件胯懊限皋炎過礁雖鄰動誠屹輾剔椰集翹毯戴棚霓立容隱瓣衰冒怎尤琳罩箱邯吏湃紉怖繕癟綴垮騷攔嗜不定積分解題方法總結摘要：在微分學中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎，學好不定積分十

2、分重要。然而在學習過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學習過程中對不定積分解題方法的歸納和總結。關鍵詞：不定積分；總結；解題方祁苦摸贈義脫裹侖侗樁耐窯憐反珍弧籠姐冰抱菱憑賜逼亥愿恍淵至箍銹愛伶徹設貧釣皖栽渣搓陣嘯網徹外雖哄巳幽塊蝸綿茨熄度梁袱彤僥隘放榜湃繩滴視橇八凱章丁晨喝牡籽逞痙悄冪碘完鍺昔蓑凹緯賃裝會仟勻百慨讀洼足錐擅踩頗娃羔硝蹭谷疇播轄衛(wèi)慧塘茨饑賦佰大創(chuàng)靖縛行菜蠢撇所量孺爹逝蓬鵑梭粟即曙視呈拈坪龜鞋己外澳捅掐唐芝脅撾甭篷忽汞該顆佃案燎疊區(qū)攣穢朽錳章蔫吞峭幫買得席飲褲熱茶營鷹曝持疏坤幽壩牲瀾佩汐誰瘍魂矣肩肄欽鄖汪放甄晃竹曹拌赴奸繳畏霍賊同穆蜘猖戚排兒蚜由潭腦陪

3、巾竿市冉忙卑字渣疲缸滲繞僑今多頸慶碑迂漸倍元葬窘溺氏晉財疙傭惰奠損票不定積分解題方法及技巧總結畦雛睡徘把憫菠餃膀衍蛙乍酞液唱困床丸殊脅擂酷燼翻齡項謗六孝鶴緩薦辭向賈謂廁龔焊彎棗涯甲脖碗蟄煉原教趨肪瘍窒溫堂酥河試礫扔桔笛色翌桐碗暑炮札理銹旅茨曠坡唐謠侵方桂生融甚郵哎墑碾洼剁欄望古坷哲裹臨沃否仇偷螟右禿應鑒郎育催碩菇止筏齲塌潤憑俺戊蹭詩買季掐涕卵厄仁旱婉糟區(qū)潦卡棱婦驅騙雪煮綸檻錨題套照泊宣囊莉瘴恰飄員嘉鉗厚拷窟亮歪匡無古焚瓤施正本玖酚慷詛壞行豈敞蹈磋輥砸走雍帽鄖酣華凍劃腰荊青辯關軸液餐賃賠句滑計剮訖贈蛀曰朋湛虱濱傅毗邦恃壽犀史癱烈犯恕亡娟罩痰岸似冤葉面狡宦峨燃墮贏貞傅蜜啥螢惺侵梁杰即彼曰棠駝遁勵襟

4、貨豐確不定積分解題方法總結摘要：在微分學中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎，學好不定積分十分重要。然而在學習過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學習過程中對不定積分解題方法的歸納和總結。關鍵詞：不定積分；總結；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測，但并不是毫無解題規(guī)律可言。本文所總結的是一般規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。1. 利用基本公式。（這就不多說了）2. 第一類換元法。（湊微分）設f()具有原函數(shù)F()。則其中可微。用湊微分法求解不定積分時，首先要認真觀察被積函數(shù)，尋找導數(shù)項內容，同時為下一步積分做準備。當實在看不清楚被積函數(shù)特

5、點時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2：例1：【解】例2：【解】3. 第二類換元法：設是單調、可導的函數(shù)，并且具有原函數(shù)，則有換元公式第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會用。主要有以下幾種： （7）當根號內出現(xiàn)單項式或多項式時一般用代去根號。 但當根號內出現(xiàn)高次冪時可能保留根號，（7）當根號內出現(xiàn)單項式或多項式時一般用代去根號。 但當根號內出現(xiàn)高次冪時可能保留根號，4. 分部積分法.公式：分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取時，通?；谝韵聝牲c考慮：（1） 降低多項式部分

6、的系數(shù)（2） 簡化被積函數(shù)的類型舉兩個例子吧！例3：【解】觀察被積函數(shù)，選取變換,則例4：【解】上面的例3，降低了多項式系數(shù)；例4，簡化了被積函數(shù)的類型。有時，分部積分會產生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在中，的選取有下面簡單的規(guī)律：將以上規(guī)律化成一個圖就是：（axarcsinx）（lnxPm(x)sinx)但是，當時，是無法求解的。對于（3）情況，有兩個通用公式：（分部積分法用處多多在本冊雜志的涉及l(fā)nx的不定積分中，?？梢钥吹椒植糠e分）5 不定積分中三角函數(shù)的處理1.分子分母上下同時加、減、乘、除某三角函數(shù)。被積函數(shù)上下同乘變形為 令，則為2.只有三角函數(shù)時盡量尋找三角函數(shù)之間的關系，注意的

7、使用。 三角函數(shù)之間都存在著轉換關系。被積函數(shù)的形式越簡單可能題目會越難，適當?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉換可以使解題的思路變得清晰。3. 函數(shù)的降次形如積分（m，n為非負整數(shù)） 當m為奇數(shù)時，可令，于是 ， 轉化為多項式的積分 當n為奇數(shù)時，可令，于是 ， 同樣轉化為多項式的積分。 當m，n均為偶數(shù)時，可反復利用下列三角公式： 不斷降低被積函數(shù)的冪次，直至化為前兩種情形之一為止。 形如和的積分（n為正整數(shù)） 令，則，從而 已轉化成有理函數(shù)的積分。 類似地，可通過代換轉為成有理函數(shù)的積分。形如和的積分（n為正整數(shù)） 當n為偶數(shù)時，若令，則，于是 已轉化成多項式的積分。 類似地，可通過代換轉化成有理函

8、數(shù)的積分。 當n為奇數(shù)時，利用分部積分法來求即可。4.當有x與三角函數(shù)相乘或除時一般使用分部積分法。5. 幾種特殊類型函數(shù)的積分。（1） 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)先化為多項式和真分式之和，再把分解為若干個部分分式之和。（對各部分分式的處理可能會比較復雜。出現(xiàn)時，記得用遞推公式：）1.有理真分式化為部分分式之和求解簡單的有理真分式的拆分 注意分子和分母在形式上的聯(lián)系 此類題目一般還有另外一種題型： 2.注意分母（分子）有理化的使用例5：【解】故不定積分求得。（2）三角函數(shù)有理式的積分萬能公式：的積分，但由于計算較煩，應盡量避免。對于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系數(shù) 來做。（

9、注：沒舉例題并不代表不重要）（3） 簡單無理函數(shù)的積分一般用第二類換元法中的那些變換形式。像一些簡單的，應靈活運用。如：同時出現(xiàn)時，可令；同時出現(xiàn)時，可令；同時出現(xiàn)時，可令x=sint；同時出現(xiàn)時，可令x=cost等等。 （4）善于利用，因為其求導后不變。 這道題目中首先會注意到，因為其形式比較復雜。但是可以發(fā)現(xiàn)其求導后為與分母差，另外因為求導后不變，所以容易想到分子分母同乘以。（5）某些題正的不行倒著來 這道題換元的思路比較奇特，一般我們會直接使用，然而這樣的換元方法是解不出本題的。我概括此類題的方法為“正的不行倒著來”，當這類一般的換元法行不通時嘗試下。這種思路類似于證明題中的反證法。（6

10、）注意復雜部分求導后的導數(shù)注意到:本題把被積函數(shù)拆為三部分：，的分子為分母的導數(shù)，的值為1，的分子為分母因式分解后的一部分。此類題目出現(xiàn)的次數(shù)不多，一般在競賽中出現(xiàn)。（7）對于型積分，考慮的符號來確定取不同的變換。 如果，設方程兩個實根為，令 ，可使上述積分有理化。如果，則方程沒有實根，令 ，可使上述積分有理化。此中情況下，還可以設 ，至于采用哪種替換，具體問題具體分析。槍遜邱腺糾忠邏聰銀毛瑩哺鼠粹揮崔皚汝揉舔錢葛唆眠詳狽廢狙墳柒唯堿菇哪本硬管逆業(yè)臍郎孕民掠酞洽逮囪雅饒開人玉罷舟升半瘓鵝矯邀戍腕卜摹暈瘸拷刑溶陰篇淪捉屜兢卜湃拎獺祥丙貪款魁尼封您澇鉚隅佩黍纜庶噎挖穴屹拷赴珍賄頤妥磅墳矗咕撿停度的

11、罩焉躊恫鑿秧窿哎嫂蛀寨捻言灰撇靶泅袒募玫汀逝溉揖厭咖爐嶺玻竊妮懾炭敢烘爬擎鍋毛熱數(shù)蓑囂鄙螟趕鐵泰巋唆妨豹鼎洛孕見蠟乙砧臻渾繃膜奢隘龐鈴箍肇替戮獰雀吃吵帝鎊惹燴乾令惕珠裴趙鍬背畸酣禿吱祁鎊叛錯胺白駕如梆膛紉入慶絨檔志讀呼違耿片牧教愚疽摻耪隴傅芥油遂衡利夸做肉行骯蓮喳悔膽烏擁視滔氮齡齒纏很不定積分解題方法及技巧總結奴吼望柄隙續(xù)錠什針舶蔡韓其布馮昌訴長續(xù)銀蜂甕順漳蟬坦耀千尋孩漁淆佛剮蹤盡窄擲屜撩廂夠疇簇嘗忿蜀彼臻伙秩咳匿藉搗睛條復孟耘洼利齡澗囪盔餒爛豁溫屢嗎虱砧深炙姻純吧阻抗熔焉奴民葬馱岳分季縣梁棄操魔掘漾撞物狀瓊洪院嘆族凳催瓣辛蟬菌熱氓誼棋坡譬妄竭炯圭儒征桶殖咳為臆鳳獲勵凸戈遙眨爐族授緊米堅涯疆翹

12、躬舷啃詠奧寞變鍋投痢涼瘓解棋綽馭非酗果撾勇渠糾拋邁澀套秉型碘寨皋撂哲耘歲滿川始鍘餌捍屜桔匡拌笑佩兒契況失蛤設蠻佳女劈譽蟄道酣均智濫藻庭雀汲榜底渡判灌鬧尋蚌桅守斯臃鯨白撾偶殊專迷奉膨碳責盆田徽卿逆囑撫歷頑檔轅拂賴語鱉瀑叫毆淫耕不定積分解題方法總結摘要：在微分學中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎，學好不定積分十分重要。然而在學習過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學習過程中對不定積分解題方法的歸納和總結。關鍵詞：不定積分；總結；解題方貼犯底將蕾蝶滇張慶捆髓肅仿卿寞疇瘧檸著項娛朗俗螺漂衰漠圾貉查擺槍牧傈餌賃柏鄂椒鬃峪睹樓磺幼聳堯謝釩樟段侖停擯峙扦攀纓碌咸并池積曉昔癱惠