高一上學(xué)期數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

1、高一上學(xué)期數(shù)學(xué)知識概念方法題型易誤點技巧總結(jié)一、集合與命題1.集合元素具有確定性、無序性和互異性. 在求有關(guān)集合問題時，尤其要注意元素的互異性，如（1）設(shè)為兩個非空實數(shù)集合，定義集合，若，則中元素的有_個。（答：8）（2）非空集合，且滿足“若，則”，這樣的共有_個（答：7）2.遇到時，你是否注意到“極端”情況：或；同樣當(dāng)時，你是否忘記的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，且，則實數(shù)_.（答：）3.對于含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為 如滿足集合M有_個。（答：7）4.集合的運算性質(zhì)：； ； ； ；.如設(shè)全集，若，則A_，B_.（

2、答：，）5. 研究集合問題，一定要理解集合的意義抓住集合的代表元素。如：函數(shù)的定義域；函數(shù)的值域；函數(shù)圖象上的點集，如設(shè)集合，集合N，則_ _（答：）；6. 數(shù)軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具，在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。如已知關(guān)于的不等式的解集為，若且求實數(shù)的取值范圍。（答：）7.四種命題及其相互關(guān)系。若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”；否命題為“若則” ；逆否命題為“若則”。提醒：（1）互為逆否關(guān)系的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等

3、價；（2）在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對命題的結(jié)論否定；（4）對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價關(guān)系“”判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。（5）哪些命題宜用反證法？如（1）“在ABC中，若C=900，則A、B都是銳角”的否命題為（答：在中，若，則不都是銳角）；（2）已知函數(shù)，證明方程沒有負(fù)數(shù)根。8.充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論（劃主謂賓），由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角

4、度解釋，若，則A是B的充分條件；若，則A是B的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件。如設(shè)命題p：；命題q:。若是的必要而不充分的條件，則實數(shù)a的取值范圍是 （答：）二、不等式1. 不等式的性質(zhì)：（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；（4）若，則；若，則。如（1）對于實數(shù)中，給出下列命題：； ，則。其中正確的命題是_（答：）（2）已知，則的取值范圍是_（答：）（3

5、）已知，且則的取值范圍是_ （答：）2. 不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法 ；（8）圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如設(shè)，試比較的大?。ù穑海?. 一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為的形式，若,則；若,則；若,則當(dāng)時，；當(dāng)時，。如已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_（答：）4. 一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象）。尤其當(dāng)和時的解集你會

6、正確表示嗎？設(shè),是方程的兩實根，且，則其解集如下表：或或RRR如解關(guān)于的不等式：。（答：當(dāng)時，；當(dāng)時，或；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，）5. 對于方程有實數(shù)解的問題。首先要討論最高次項系數(shù)是否為0，其次若，則一定有。對于多項式方程、不等式、函數(shù)的最高次項中含有參數(shù)時，你是否注意到同樣的情形？如：（1）對一切恒成立，則的取值范圍是_（答：）；（2）關(guān)于的方程有解的條件是什么？(答：，其中為的值域)6. 一元二次方程根的分布理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什么？（、）。根的分布理論成立的前提是開區(qū)間，若在閉區(qū)間討論方程有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間上實根分布的情況，得出

7、結(jié)果，再令和檢查端點的情況如在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使，求實數(shù)的取值范圍。（答：）7. 二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程的兩個根即為二次不等式的解集的端點值，也是二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標(biāo)。如（1）不等式的解集是，則=_（答：）；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則關(guān)于的不等式的解集為_（答：）；（3）不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_（答：）。8. 簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回

8、；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如：（1）解不等式。 （答：）（2）不等式的解集是_（答：）（3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為_（答：）（4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個的值至少滿足不等式中的一個，則實數(shù)的取值范圍是.（答：）9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。如：（1）解不等式 （答：）（2）關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集（答：）10.

9、絕對值不等式的解法：（1）分段討論（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式（答：）（2）利用絕對值的定義；（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式（答：）（4）兩邊平方：如若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍。（答：）11. 含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集. （見4中例題）12. 含絕對值不等式的性質(zhì)：同號或有；異號或有.如設(shè)，實數(shù)滿足，求證：13. 利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小

10、”這17字方針。如：（1）下列命題中正確的是A.的最小值是2 B.的最小值是2C.的最大值是D.的最小值是（2）若，則的最小值是_（答：）（3）正數(shù)滿足，則的最小值為_（答：）14. 常用不等式有：（1）(當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號)，根據(jù)目標(biāo)不等式左右的結(jié)構(gòu)選用；（2），（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。如果正數(shù)、滿足，則的取值范圍是_（答：）15. 證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。常用的放縮技巧有：如（1）已知，求證： ；(2) 已知，求證：；（3）已知，且，求

11、證：；(4)若，求證：；(5)已知，求證：；16. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）（1）恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上如（1）不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍（2）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍（3）若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.（2）能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.如已知不等式在實數(shù)集上的

12、解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍_（3）恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.三、函數(shù)1. 函數(shù)的定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。如（1）已知函數(shù)，那么集合中所含元素的個數(shù)有 個（答： 0或1）；（2）若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則 （答：2）2. 同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。而值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時，它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同

13、，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為，值域為4，1的“天一函數(shù)”共有_個（答：9）3. 求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則）：（1）根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，0次冪的底數(shù)不能為零。如（1）函數(shù)的定義域是_(答：)；（2）若函數(shù)的定義域為R，則_(答：)；（3）函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_(答：)； （2）根據(jù)實際問題的要求確定自變量的范圍。（3）復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域為,其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)時，求的值域（即的定義域）。如（1）若函數(shù)的定義域為，則的

14、定義域為_（答：）；（2）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_（答：1,5）4. 求函數(shù)值域（最值）的方法：（1）配方法二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系），如（1）求函數(shù)的值域（答：4,8）；（2）當(dāng)時，函數(shù)在時取得最大值，則的取值范圍是_（答：）； 特別說明：二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求法，一定要注意頂點的橫坐標(biāo)是否在定義域內(nèi)。如果是選擇、填空可以很快寫答案:先看看是否在內(nèi)，如果在的話，算三個數(shù),三數(shù)中誰最大誰就是最大值

15、，誰最小誰就是最小值。如果不在的話，只要算兩個數(shù)，大的就最大值，小的就最小值。（2）換元法通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（1）的值域為_（答：）（令，。運用換元法時，要特別要注意新元的范圍）； （3）函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域， （4）單調(diào)性法利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求的值域為_（答：）；（5）判別式法對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式

16、后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性質(zhì)，如求的值域（答：）型，先化簡，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函數(shù)的值域（答：） 型，通常用判別式法；如已知函數(shù)的定義域為R，值域為，求常數(shù)的值（答：）型，可用判別式法或均值不等式法，如求的值域（答：）（6）不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？5. 分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應(yīng)

17、關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時，一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如（1）設(shè)函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍是_（答：）；（2）已知，則不等式的解集是_（答：）6. 求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達形式有三種：一般式：；頂點式：；零點式：，要會根據(jù)已知條件的特點，靈活地選用二次函數(shù)的表達形式）。如已知為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。（答：）（2）代換（配湊）法已知形如的表達式，求的表達式。如（1）若，

18、則函數(shù)=_（答：）；（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，那么當(dāng)時，=_（答：）. 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應(yīng)是的值域。（3）方程的思想已知條件是含有及另外一個函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式的進行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個函數(shù)的方程組。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= ,則= _（答：）。7. 函數(shù)的奇偶性。（1）具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。（2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性）

19、：定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性_（答：奇函數(shù)）。利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式：或（）。如判斷的奇偶性_.（答：偶函數(shù)）圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。（3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).若為偶函數(shù)，則.若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇函數(shù)，則實數(shù)_（答：1）.定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”。如設(shè)是定義域為R的任一函數(shù)

20、， ，。判斷與的奇偶性； 若將函數(shù)，表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和，則_（答：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；）復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.既奇又偶函數(shù)有無窮多個（，定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集）.8. 函數(shù)的單調(diào)性。（1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：在解答題中常用：定義法（取值作差變形定號）如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_(答：)；在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運用：增區(qū)間為，減區(qū)間為.（例如函數(shù)遞增區(qū)間；單調(diào)遞減區(qū)間是）如（1）若函數(shù) 在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是_(答：）)；（2）已知

21、函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_（答：）； 復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減，（2）特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域，如求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；二是在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示 （3）你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?（比較大小；解不等式；求參數(shù)范圍）.如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實數(shù)的取值范圍。（答：）9. 常見的圖象變換函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位得到的。如設(shè)的圖像由的圖像向左平移1個單位得到，則為_(答： )函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位得到的。如（1）若

22、，則函數(shù)的最小值為_(答：2)；（2）要得到的圖像，只需作關(guān)于_軸對稱的圖像，再向_平移3個單位而得到(答：；右)；特別提示：上面兩種是左右平移，可以間記為“左加右減”函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個單位得到的；函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個單位得到的；如將函數(shù)的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線對稱,那么 (答：C)特別提示：上面兩種是上下平移，可以間記為“上加下減”10. 函數(shù)的對稱性。滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則_(答：)； 點關(guān)于軸的對稱點為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為；點關(guān)于軸的對稱點為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為； 點關(guān)于原點的對稱點為；函數(shù)關(guān)于原點的對稱曲線方程為； 形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對稱中心是點。如已知函數(shù)圖象與關(guān)于直線對稱，且圖象關(guān)于點（2，3）對稱，則a的值為_（答：2）的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形得到。如若函數(shù)是定義在R上的奇