第二講直線與園的位置關(guān)系一圓周角定理學(xué)案(含解析)新人教A版選修4_1

1、圓周角定理#1. 圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.應(yīng)當(dāng)注意的是，圓周角與圓心角一定是對(duì)著同一條弧，它們才有上面定理中所說(shuō)的數(shù)量關(guān)系.2. 圓心角定理(1) 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)，它與圓的半徑無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)在大小不等的 兩個(gè)圓中，相同度數(shù)的圓心角，它們所對(duì)的弧的度數(shù)相等;反過(guò)來(lái)，弧的度數(shù)相等，它們所 對(duì)的圓心角的度數(shù)也相等.(2) 圓心角(/ aob與它所對(duì)的弧(Ab)的度數(shù)相等，不能寫(xiě)成/ aob= Ab，正確寫(xiě)法 是/ aob勺度數(shù)=Ab的度數(shù).3圓周角定理的推論(1)推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也 相等.(1) 若

2、將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，則結(jié)論不成立.(2) 相等的弧與相同度數(shù)的弧含義是不同的.只有弧的度數(shù)和弧的長(zhǎng)度都相等的兩條弧 才是等弧，即等弧一定有相同的度數(shù)，而有相同度數(shù)的弧不一定是等弧.(3) “相等的圓周角所對(duì)的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中”，應(yīng)用推論時(shí) 要時(shí)刻記住這一點(diǎn).(2)推論2:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑.與圓周角定理相關(guān)的證明已知：如圖， ABC內(nèi)接于O O, D, E在BC邊上，且BD= CE / 1 =/ 2.求證：AB= AC證明此題可先添加輔助線構(gòu)造等弦、等弧的條件，再由圓周角定理及其推論證明.如圖，延長(zhǎng) AD AE分別

3、交O O于F, G兩點(diǎn)，連接 BF, CGA/ 1=7 2,二 BF = Cg , BF= CG BG = Cf ,/ FBD=Z GCE又 BD= CEBFDA CGE/ F=Z G Ab = Ac , ab- ac方法規(guī)律*小結(jié)利用圓周角定理證明等量關(guān)系時(shí)，主要是分析圓周角、圓心角、弧、弦之間的等量關(guān)系,有時(shí)需添加輔助線構(gòu)造等弧、等角、等弦的條件.1.已知AD ABC勺高，人已是厶ABC勺外接圓的直徑.求證：/ BAE=Z DAC證明：連接BE因?yàn)锳E為直徑，所以/ ABE= 90.因?yàn)锳D ABC勺高,所以/ ADC= 90.所以/ ADC=Z ABE 因?yàn)? E=Z C,/ BAE=

4、90/ E,/ DAC= 90/ C.所以/ BAE=/ DAC2.已知O O中，AB= AC D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， AD交O O于點(diǎn)E.求證：aB= AD- AEA證明：如圖， ab= ac Ab = Ac . / ABD=/ AEB在厶ABE與 ADB中/ BAE=/ DAB/ AEB=/ ABD ABEA ADBAB AEACT AB即 aB= AD- AE5利用圓周角進(jìn)行計(jì)算c如圖，已知 BC為半O 0的直徑，ADL BC垂足為 D, BF交AD于點(diǎn)E,且 AE= BE求證：Ab = Af ；3(2)如果 sin / FBC= 5, AB= 4 5,求 AD的長(zhǎng).BC為半O 0的直徑

5、，連接 AC構(gòu)造Rt ABC(1)證明：如圖，連接 AC/ BC是O O的直徑，/ BAC= 90,又ADL BC垂足為D,/ BAD=Z ACB在 AEB中, AE= BE/ ABE=Z BAE/ abf=z acb 即 Ab = Af .(2)設(shè) DE= 3x,3/ ADL BC sin / FBC= 5 , BE= 5x , BD= 4x.AE= BE, - AE= 5x , AD= 8x.在 Rt ADB中 , / ADB= 90 , AB= 4 5 ,(8x)2+ (4 x)2= (45)2,解得 x= 1, AD= 8.方法規(guī)律小結(jié)與圓周角定理有關(guān)的線段的計(jì)算、角的計(jì)算，不僅可以通

6、過(guò)計(jì)算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來(lái)求相關(guān)的角、線段，有時(shí)還可以通過(guò)三角形相似、解三角形等來(lái)計(jì)算.3.如圖，直徑為 側(cè)OA弧上一點(diǎn)，則A.13和點(diǎn)O0,0) , B是y軸右二210的O A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,5)cos / OBC勺值為()B.D.解析：選B法一：設(shè)O A與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為 D, 連接CD如圖所示.因?yàn)? COD= 90,所以CD為O A的直徑.又因?yàn)? CBO與/ CDO為圓弧CO所對(duì)的圓周角，所以/ CBOZ CDO又因?yàn)镃(0,5),所以O(shè)C= 5.在 Rt CDC中, CD= 10, CO= 5,根據(jù)勾股定理得0D= “JCD OC= 5 勺30D 5護(hù) ,所以 cos / 0B

7、= cos / CD= 2，故選 B.法二：連接 AO AC 因?yàn)?OC= 5, AC= AO= 5,所以 ACO為等邊三角形，/ CA= 60 ,1/ CB= 2/CAO= 30 ,所以 cos / CB= cos 304.已知，如圖， abc內(nèi)接于o o, Ab = Ac ,點(diǎn)d是Be上任意 點(diǎn)，AD與 BC交于點(diǎn) E, AD= 6 cm , BD= 5 cm , CD= 3 cm ,求 DE的長(zhǎng).解： Ab = Ac ,/ ADB=Z CDE又 BD = BD , / BAD=/ ECD ABDh CEDAD BD CD= ED即 6=ED ED= 2.5 (cm).5.如圖， ABC勺

8、角平分線 AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.證明： ABEA ADC(2) 若 ABQ的面積 S= 1,AD- AE求/ BAQ的大小.解： 證明：由已知條件可得/ BAE=Z QAD因?yàn)? AEB與/ AQB是同弧上的圓周角，所以/ AEB=Z AQD故厶 ABEA ADC(2)因?yàn)?ABEA ADQAB AD所以 AF AC 即 ab- AC= AD- AE1 1 又 S= 2AB- AC- sin / BAQ 且 S= qAD AE所以 AB- AC- sin / BAC= AD- AE則 sin / BAC= 1.又/ BAC為三角形內(nèi)角,所以/ BAC= 90.課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六）、選擇

9、題1.如圖,ABC內(nèi)接于O Q ODLBC于D,Z A= 50，則/ 0C的度數(shù)A. 40B. 25 C . 50D . 60解析：選連接QB因?yàn)? A= 50，所以BC弦所對(duì)的圓心角/BQC= 100, / CQ*/ BQG 50, / QC90/ CQ90 50=40 .所以/ QCD= 40.2.如圖，CD是O Q的直徑，弦 ABL CD于點(diǎn)E,Z BCD= 25,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. AE= BE B . QE= DE C . / AQD= 50D . D是 Ab 的中點(diǎn)解析：選B 因?yàn)镃D是O Q的直徑，弦 AB丄CD所以 Ad = Bd , AE= BE因?yàn)? BCD= 25

10、,所以/ AOD= 2 / BCD= 50,故A、C D項(xiàng)結(jié)論正確，選 B.3. Rt ABC中, Z C-90,/ A= 30, AC= 2 3，則此三角形外接圓的半徑為 （）A. 3 B . 2 C . 2 3D . 4解析：選B由推論2知AB為Rt ABC的外接圓的直徑， 又AB=令。=4,故外接cos 30圓半徑r = 1aB=2.114如圖，已知 AB是半圓O的直徑，弦 AD BC相交于點(diǎn)t 3, AB= 4,貝y tan / BPD等于（）A.3 B. 4 C. 5 D. 4333解析：選D連接BD 則Z BDP- 90./ CPDA APBCD_PD_ 3AeT Pb=4.fiP

11、,若在 Rt BPD中, cosPD 3Z bpdPBT 4,tan /bpd#、填空題5.如圖， ABC為G O的內(nèi)接三角形，AB為O O的直徑，點(diǎn)D在O O上, / ADC 68，則Z BAC.解析：AB是OO的直徑，所以弧 ACB的度數(shù)為180 ，它所對(duì)的圓周角為90，所以Z BAC 90Z ABC 90Z ADT 90 68 = 22.答案：22B D OC6.如圖，A, E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BCT 4, ADL BC垂足為D, BE與AD相交于點(diǎn)F,貝U AF的長(zhǎng)為.解析：如圖，連接 AB AC由A, E為半圓周上的三等分點(diǎn)，得Z FBD= 30,Z ABD= 60,Z

12、ACT 30.由 BC= 4,得 AB= 2, AD= 3, BD= 1,cDAD ACAC AE則 Di#，故 AF=答案：孚7.如圖所示，已知O 0為厶ABO的外接圓，AB= AC= 6,弦AE交BC于點(diǎn)解析：連接 CE則/ AEC=Z ABC又乂 ABC中, AB= AC,AC 二 AE= AD= 9.答案：9三、解答題&如圖，AB是O O的直徑，弦CDL AB于點(diǎn) N,點(diǎn) M在O O上，/ 1 = Z C.若BC= 4, sin M=彳，求O O的直徑.3解：（1）證明：因?yàn)? C與/ M是同一弧所對(duì)的圓周角,所以/ C=Z M又/ 1=Z C,所以/ 1 = Z M所以CB/ MD內(nèi)

13、錯(cuò)角相等，兩直線平行）.由sinM=2,sin C= 3,BN 228所以 BN 2, BN=齊4= 8.所以O(shè) 0的直徑為6. ADC ACE求證：CB/ MD由射影定理得:bC= BN- AB,貝y AB= 6.D,若 AD= 4,則 AE=:丄 ABC=Z ACB:丄 AEC=Z ACB9.如圖，已知 ABC內(nèi)接于圓,D為Be的中點(diǎn)，連接 AD交BC于點(diǎn)E求證:AE BE ECT ED(2) AB- AC= AE+ EB- EC證明：連接CD1=/ 3,/ 4=/ 5,AE= BEEC= ED連接BD.AE=BE t Ec= De AE- DE= BE - EC aE+ be- EC=

14、aE+ AE- DE=AEAE+ DE = AE- AD在厶ABDW AEC中,. D為Be的中點(diǎn), / 1=/ 2.又./ ace=/ acb=/ ADBAB AD ABDo AEC =AE AC即 AB- AC= AD- AE由知：AB - AC= AE+ EB - EC10.如圖所示，O 0是厶ABC的外接圓，/ BAC與/ ABC的平分線相交于 點(diǎn)I，延長(zhǎng)AI交O 0于點(diǎn)D,連接BD DC(1) 求證：BD= DC= DI;(2) 若O 0的半徑為10 cm，/ BAC= 120 求厶BCD的面積.解：(1)證明：因?yàn)锳I平分/ BAC所以/ BAD=/ DAC所以Bd = De，所以bd= dc因?yàn)锽I平分/ ABC所以/ ABI = / CBI , 因?yàn)? BAD=/ DAC / DBC=/ DAC 所以/ BAD=/ DBC又因?yàn)? DBI=/ DBO/ CBI ,/ dib=/ abi + / BAD所以/ DBI=Z DIB,所以 BDI為等腰三角形，所以 BD= ID，所以 BD= DC= DI.當(dāng)/ BAC= 120 時(shí)， ABC為鈍角三角形，所以圓心O在厶ABC外.連接OB OD OC則/ D