遼寧省六校協(xié)作體2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）

1、遼寧省六校協(xié)作體2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得集合,進(jìn)而求得,然后與集合取交集即可.【詳解】或,則,又因?yàn)?所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法,考查了集合的補(bǔ)集與交集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）A. “至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B. “至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C. “恰有1個(gè)白球” 和“恰有2個(gè)

2、白球”D. “至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”【答案】C【解析】【分析】結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念,對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A, “至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)B, “至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的,而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C, “恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球, 與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對(duì)立兩個(gè)事件,符合題意;對(duì)于選項(xiàng)D, “至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.

3、故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件定義的運(yùn)用,考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握,屬于基礎(chǔ)題.3.若,則的值為A. B. C. D. 【答案】C【解析】，選C。4.已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且 ，則 ( )A. 3B. 1C. 1D. 3【答案】C【解析】試題分析：，分別是定義在上偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，故.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性.5.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若,則角的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理將邊化角，可得，由可求得，根據(jù)的范圍求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得： 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，涉及到兩角和差正弦公式

4、、三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知向量，滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意,可得,結(jié)合是等邊三角形可選出答案.【詳解】由題意,又因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以,即選項(xiàng)A錯(cuò)誤;,則不垂直,故選項(xiàng)B,C都錯(cuò)誤;,即,故選項(xiàng)D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用,考查了向量垂直的性質(zhì),考查了平面向量在平面幾何中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7.若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對(duì)于樣本，下列結(jié)論正確的是（ ）A. 平均數(shù)為20，方差為4B. 平均數(shù)為11，方差為4C. 平均數(shù)為21，方差為8D.

5、 平均數(shù)為20，方差為8【答案】D【解析】【分析】由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.8.等差數(shù)列，的第四項(xiàng)等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由，得，又，故則數(shù)列前三項(xiàng)依次為，從而第四項(xiàng)為故選：A9.已知的定義域?yàn)?，且滿足，若則（ ）A. -2019B. 0C. 2D. 2019【答案】B【解析】【分析】由題意,可判斷出函數(shù)的對(duì)稱軸為,周期為4,進(jìn)而可求得與的值,再結(jié)合可求得答案.【詳解】因?yàn)?所以函數(shù)的對(duì)稱軸為

6、,又因?yàn)?所以,則,所以,即,則,即函數(shù)的周期為4.因?yàn)?所以,令,則,即,所以,令,則,所以,則,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的周期性與對(duì)稱性,考查了學(xué)生的推理能力與計(jì)算求解能力,屬于中檔題.10.如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度BC等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】，所以.故選C.11.設(shè)函數(shù),已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn),有下述四個(gè)結(jié)論：在恰好有3次取到最大值 在恰好有2次取到最小值在單調(diào)遞增的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),對(duì)選

7、項(xiàng)逐個(gè)分析,可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),因?yàn)樵谟星覂H有5個(gè)零點(diǎn),所以,解得,故正確;因?yàn)?所以當(dāng)取值為或或時(shí),取得最大值,即正確;當(dāng)取值為或或時(shí),取得最小值,但是,顯然不一定能取到,即在有2次或3次取到最小值,故不正確;當(dāng)時(shí),若在單調(diào)遞增,則,解得,又因?yàn)?所以在單調(diào)遞增,即正確;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查了學(xué)生的推理能力,屬于中檔題.12.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則下面說(shuō)法正確的是（ ）A. B. C. D. 有極小值點(diǎn)，且【答案】D【解析】由題意得,因?yàn)?，所?設(shè)則由圖像法知,解得因此,令,則,所以因此,因此A錯(cuò)誤；方程有兩個(gè)不等的根,即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)樗栽?/p>

8、上單調(diào)遞減,且，在上單調(diào)遞減且，在上單調(diào)遞增且，且，B錯(cuò)誤;令,則所以因此,因此C錯(cuò)誤;由,當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以有極小值點(diǎn)由得因此所以所以,D正確. 選D.點(diǎn)晴：本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.解決這類問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵步驟:第一步求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)增，減區(qū)間和極值點(diǎn)，第二步在相對(duì)小區(qū)間上構(gòu)造函數(shù)和0比較大小 ，第三步在相對(duì)大區(qū)間上利用已知函數(shù)的單調(diào)性得到目標(biāo)式的大小比較.二填空題：本大題共4小題，每小題5分13.函數(shù)的值域是_.【答案】【解析】【分析】先求得函數(shù)的定義域,再由可求得函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?又,故函數(shù)的值域是.故答案為:.【點(diǎn)睛】(且,).14

9、.若向量 則與夾角的正弦值等于_.【答案】【解析】【分析】由可求得與夾角的余弦值,進(jìn)而可求得其夾角的正弦值.【詳解】由題意,設(shè)與的夾角為,則,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量夾角的求法,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是_.【答案】【解析】【分析】記事件為“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,事件為“第二天的空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”,根據(jù)條件概率公式可求出答案.【詳解】記事件為“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,事件為“第二天的空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”,則,根據(jù)條件概率公式可得

10、:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的計(jì)算,考查了條件概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16.如圖，已知中，點(diǎn)在邊上，為的平分線，且.則的值為_(kāi)，的面積為_(kāi). 【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】在和中,分別由正弦定理可得和,進(jìn)而可求得;設(shè),分別表示出和的面積,再由二者面積之和為的面積,可求得的值,進(jìn)而可求出答案.【詳解】在中，由正弦定理得:,在中，由正弦定理得:,因?yàn)?所以.設(shè),則,則,解得,即.故.故答案為:;1.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的運(yùn)用,考查了三角形面積公式的運(yùn)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.三解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17

11、.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性【答案】（1）最小正周期，對(duì)稱軸方程為，；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減【解析】分析：（1）利用二倍角公式、兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，再利用周期公式和整體思想進(jìn)行求解；（2）利用整體思想和三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解詳解：（1） ，因?yàn)?，所以最小正周期，令，所以?duì)稱軸方程為，（2）令，得，設(shè)，易知，所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減【名師點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、兩角和公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和基本計(jì)算能力18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求；（2）若

12、為銳角三角形，且，求面積的取值范圍【答案】(1) ； (2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，將等式化簡(jiǎn)為，再利用,以及二倍角公式化解求角的值；（2）根據(jù)正弦定理，表示，再利用面積公式，利用兩角和的正弦公式和降冪公式化簡(jiǎn)，最后根據(jù)角的范圍求取值范圍.【詳解】（1）由題設(shè)及正弦定理得因?yàn)?，所以由，可得，故因?yàn)椋?，因此?）根據(jù)正弦定理，可得因?yàn)?，所?,這樣 ,而 是銳角三角形，所以, ,.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了正弦定理邊角互化解三角形，以及利用邊角互化把邊轉(zhuǎn)化為角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)給定區(qū)間求取值范圍的問(wèn)題，本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略銳角三角形的條件，或是只寫(xiě)出，這樣即便函數(shù)化簡(jiǎn)正確，取值范

13、圍也錯(cuò)了.19.遼寧省六校協(xié)作體（葫蘆島第一高中、東港二中、鳳城一中、北鎮(zhèn)高中、瓦房店高中、丹東四中）中的某校理科實(shí)驗(yàn)班的100名學(xué)生期中考試的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于100分，其中語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，成績(jī)分組區(qū)間是：100,110），110,120），120,130），130,140），140,150這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)之比如下表所示：分組區(qū)間100,110）110,120）120,130）130,140）1:22:13:41:1（1）估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)、方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?30

14、，150 的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40，150的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望【答案】（1）平均數(shù)：123;方差：96；（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖可求得這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)和方差;（2）由的關(guān)系,并結(jié)合語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖,可求得數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?30，140）,140，150的學(xué)生人數(shù),進(jìn)而可判斷可取的值為0,1,2,求出對(duì)應(yīng)概率,然后求出期望即可.【詳解】解：（1）這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)是：.這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的方差是：.（2）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00，140）之內(nèi)的人數(shù)為,所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40，150的人數(shù)為，而數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?30，140）的人數(shù)為，

15、可取0,1,2，分布列012【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖,考查了平均數(shù)與方差的求法,考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20.已知數(shù)列、滿足，且.（1）令證明：是等差數(shù)列，是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）分別將相加與相減可得到和,結(jié)合可證明結(jié)論;（2）結(jié)合（1）可求得的表達(dá)式,進(jìn)而可求得的表達(dá)式;（3）由,并結(jié)合（2）可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法可對(duì)其求和.【詳解】（1）證明：由題設(shè)得，即，因此，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列,.又

16、由題設(shè)得，即，因此，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列,.(2)由（1）知.即 ,解得（3）,兩式相減得:所以.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明,考查了通項(xiàng)公式的求法,考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和,屬于中檔題.21.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)上述的取值范圍為，若存在，使對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1)注意函數(shù)的定義域,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),令，則，根據(jù)方程有兩個(gè)不等正根，求出的范圍；(2)求出函數(shù)在上的單調(diào)性,并求出最大值,已知恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,設(shè)，則的最小值大于即可,討論函數(shù)的單調(diào)性,求出

17、的范圍.試題解析：（1），令，則，根據(jù)題意，方程有兩個(gè)不等正根，則即解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是（2）由，得即或，所以在和上是增函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，所以在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，即恒成立，設(shè)，則（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，所以在上是減函數(shù)，此時(shí)，不合題意（2）當(dāng)時(shí)，若，即，因?yàn)?，則，所以在上是增函數(shù)，此時(shí)，符合題意若，即，則，當(dāng)時(shí)，則，所以在上是減函數(shù)，此時(shí)，不合題意綜上可知，的取值范圍是考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；2.恒成立的轉(zhuǎn)化.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),涉及到函數(shù)的單調(diào)性,最值等,屬于中檔題. 在(1)中,定義域?yàn)?對(duì)函數(shù)求導(dǎo),由題意有求出的范圍,在(

18、2)中,令,求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,得出在上是增函數(shù),且,所以恒成立轉(zhuǎn)化為,設(shè)，求出最小值大于即可,討論函數(shù)的單調(diào)性,求出的范圍.本題運(yùn)算量大,是道難題.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)下方的方框涂黑.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的普通方程是，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程是（1）寫(xiě)出及的極坐標(biāo)方程；（2）已知，與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，求的最大值【答案】（1）：（2）【解析】【分析】（1）把，代入可得的極坐標(biāo)方程;由的參數(shù)方程可得的普通方程,進(jìn)而可求出它的極坐標(biāo)方程;（2）結(jié)合（1）,將的極坐標(biāo)方程分別與,的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,可求得,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),可求出的最大值.【詳解】解：（1）把，代入得，所以的極坐標(biāo)方程是的普通方程是，其極坐標(biāo)方程是（2）：，：，分別代入，得，所以因?yàn)?，所?則當(dāng)時(shí)，,此時(shí)取