幾何畫板迭代全解(謝輔炬).doc

1、幾何畫板迭代全解佛山市南海區(qū)石門中學(xué) 謝輔炬目 錄 迭代的基本概念以及迭代的基本操作u 迭代的概念u 迭代在代數(shù)、幾何中的應(yīng)用u 畫正多邊形u 數(shù)列的圖像、前n項和與積 迭代與分形幾何u Sierpinski 三角形u Sierpinski 地毯u 搖曳的Pythagorean Tree畢達哥拉斯樹u 分形樹u KOCH 曲線u KOCH Snowflake柯克雪花u 數(shù)學(xué)之美u H迭代u 蜂巢u 其它分形欣賞 函數(shù)迭代：函數(shù)映射，M集，朱麗亞集u 迭代法求方程解u MIRAu Henon-Attractor u Mandelbrot集合u Julia Sets集合u 牛頓迭代法 下期預(yù)告第一

2、章：迭代的概念和操作迭代是幾何畫板中一個很有趣的功能，它相當(dāng)于程序設(shè)計的遞歸算法。通俗的講就是用自身的結(jié)構(gòu)來描述自身。最典型的例子就是對階乘運算可看作一下的定義： 。遞歸算法的特點是書寫簡單，容易理解，但是運算消耗內(nèi)存較大。我們先來了解下面這幾個最基本的概念。迭代：按一定的迭代規(guī)則，從原象到初象的反復(fù)映射過程。原象：產(chǎn)生迭代序列的初始對象，通常稱為“種子”。初象：原象經(jīng)過一系列變換操作而得到的象。與原象是相對概念。更具體一點，在代數(shù)學(xué)中，如計算數(shù)列1，3，5，7，9.的第n項。我們知道，所以迭代的規(guī)則就是后一項等于前一項加2。以1作為原像，3作為初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下

3、去得到以下數(shù)值序列7 , 9，11, 13, 15.如圖1.1所示。圖 1.1圖 1.2在幾何學(xué)中，迭代使一組對象產(chǎn)生一組新的對象。圖1.2中A、B、C、D、E、F、G，各點相距1cm，那么怎么由A點和B點得到其它各點呢？我們可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律就是從左到右，每一個點相當(dāng)于前面一個點向右平移了1cm。所以我們以A點作為原像，B點作為初像，迭代一次得到B點，二次為C點，以此類推。所以，迭代像就是迭代操作產(chǎn)生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次數(shù)。那么下面我們通過例子來進一步地了解迭代以及相關(guān)的概念。幾何畫板中迭代的控制方式分為兩種，一種是沒有參數(shù)的迭代，另一種是帶參數(shù)的迭代，我們稱為深度迭代。兩者沒

4、有本質(zhì)的不同，但前者需要手動改變迭代的深度，后者可通過修改參數(shù)的值來改變迭代深度。我們先通過畫圓的正n邊形這個例子來看一下它們的區(qū)別?！纠?】畫圓的內(nèi)接正7邊形?！痉治觥坑烧?邊形的特征，我們知道，每一個點都相當(dāng)于前面的點逆時針旋轉(zhuǎn)，抓住這個規(guī)律，我們可以用迭代功能來解決?！静襟E】1. 新建圓O，在圓O上任取一點A。2. 雙擊圓心O作為旋轉(zhuǎn)中心。選中A點，單擊菜單【變換】【縮放】，旋轉(zhuǎn)參數(shù)選為選擇固定角度，然后在框中輸入360/7，得到B點。連接線段AB。第 2 步第 3 步3. 選擇A點，單擊【變換】【迭代】，點擊B點作為初像。屏幕上顯示出迭代的像是正7邊形的4條邊（因為系統(tǒng)默認非深度迭代的

5、迭代次數(shù)是3次）。4. 單擊迭代框的【顯示】按鈕，選擇【增加迭代】。（或者按鍵盤的或）。增加三次迭代后，我們可以看到一個完整的正7邊形。此時的迭代次數(shù)為6次，正7邊形制作完成。第 4 步第 5 步5. 單擊迭代框的【顯示】按鈕【最終迭代】，得到的圖像僅是最后一條邊。6. 點擊迭代框【結(jié)構(gòu)】按鈕，我們可以設(shè)置創(chuàng)建的對象，選擇“僅沒有點的對象”則迭代的像只有正多邊形的各條邊，而沒有頂點，反之則有。選擇迭代像，我們可以修改他們的屬性，比如顏色和粗細等，但是細心的你會發(fā)現(xiàn)，線段的迭代像是不能夠度量其長度的，當(dāng)然也就不能取中點之類的操作。迭代的點是不能夠度量他們的橫縱坐標(biāo)，但是我們可以得到迭代的終點，方

6、法是選擇迭代的點，然后單擊【變換】【終點】，可以發(fā)現(xiàn)最后的那個點變成實點了，這個功能在函數(shù)映射里面會用到。上述方法在增加后減少迭代次數(shù)時比較麻煩，而且迭代規(guī)則限定了，即每次都是旋轉(zhuǎn)同樣的角度。迭代次數(shù)和迭代規(guī)則能不能用帶參數(shù)來控制呢？可以的，這就是深度迭代。【例2】畫圓的任意n邊形【步驟】1. 新建圓O并在圓上任取一點A。雙擊圓心O作為旋轉(zhuǎn)中心。2. 新建參數(shù)n7，計算,注意這時要帶單位度。3. 選擇A點，單擊菜單【變換】【旋轉(zhuǎn)】，出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)對話框，單擊計算結(jié)果作為標(biāo)記角度，得到B點。連接線段AB。第 3 步第 4 步4. 順次選擇點A和參數(shù)n，按住“shift”鍵不放，單擊【變換】【深度迭代I

7、】，出現(xiàn)迭代對話框。單擊B點作為初像，屏幕上顯示出完整的正7邊形。按【迭代】完成操作。5. 如何改變參數(shù)n呢？有兩種方法，第一種是雙擊參數(shù)n，然后在對話框中輸入值。第二種是單擊參數(shù)n，按鍵盤的、，系統(tǒng)默認變化量為1。右鍵單擊可以修改變化量的大小。注意：迭代時，作為迭代深度的參數(shù)n一定要在最后面選擇，這是系統(tǒng)的規(guī)定。上面講的都是迭代在幾何方面的應(yīng)用，下面我們來看看用迭代在畫數(shù)列圖像和數(shù)列求和方面的應(yīng)用。【例3】求數(shù)列 (n=1,2.)的圖前8項，并在平面上畫出散點?！痉治觥坑蓴?shù)列的表達式可知，是直線y=1+0.5x上面的點。我們要產(chǎn)生兩個數(shù)列，一個是作為橫坐標(biāo)的數(shù)列1，2，3.，一個是作為縱坐標(biāo)

8、的滿足上述通項公式的數(shù)列?！静襟E】1. 新建函數(shù)y=1+0.5x。2. 新建參數(shù)a=1,計算a+1,a+1-1,f(a),f(a+1)。（計算a+1-1是為了得到f(a)對應(yīng)的橫坐標(biāo)a。因為迭代次數(shù)為0的時候，f(a)=1.5,a的值在迭代數(shù)據(jù)表中是不會顯示出來的。）3. 新建參數(shù)n7作為迭代深度。4. 選擇a和n，做深度迭代,原像是a,初像是a1。5. 右鍵點擊數(shù)據(jù)表，選擇繪制表中記錄，設(shè)置x列變量為(a+1)-1，y列為f(a)。坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系。第 5 步第 6 步6. 點擊繪圖，得到散點。這些點是可以度量的。但是當(dāng)參數(shù)n改變的時候，這些點不與數(shù)據(jù)表同步，所以是不會改變的。【例4】求數(shù)

9、列1，3，5，7，9(n=1,2.)的前n項和?！痉治觥抗顬閐，假設(shè)前n項和為，在平面上描出（n, ）?！静襟E】1. 新建參數(shù)x=1,計算x1。2. 新建參數(shù)a=1,d=2。分別表示數(shù)列首項和公差。3. 新建參數(shù)s=1,計算s+a+x*d4. 選擇x,x+1,s, s+a+x*d,和n做深度迭代。繪制數(shù)據(jù)表，x列為x1，y列為sa+x*d。第 4 步第 4 步與此同理那么等比數(shù)列的制作也是一樣的。下面我們來看看通項公式不知道的數(shù)列怎么畫出其圖像?！纠?】畫出菲波拉契數(shù)列?！痉治觥繑?shù)列的前提條件是，因為；所以原像是，初像是?！静襟E】1. 新建參數(shù)f1=0,f2=1,計算f1f2,把計算結(jié)果的標(biāo)

10、簽改為f3。2. 新建參數(shù)a=1,計算a+1,。計算（a+1）+1(因為迭代0次的時候f32，而，所以下標(biāo)應(yīng)該是3，而a=1,故計算a+1+1) 3. 新建參數(shù)n=84. 依次選擇f1,f2,a1,a1+1,n,做深度迭代。第 5 步第 6 步5. 繪制表中數(shù)據(jù)，x列為，y列為。6. 畫點（0,1）,(1,1)兩點，作為數(shù)列的前兩項。從圖像可以看出，數(shù)列前面增長的很緩慢，但是到了后面就非常的驚人了。【小結(jié)】在開始下一章“迭代與分行”之前，先復(fù)習(xí)一下深度迭代的過程是：1. 順次選擇原像和參數(shù)n。（注意順序）2. 按住shift不放，單擊菜單【變換】【深度迭代】（出現(xiàn)對話框后可以松開shift鍵）

11、。3. 依次選取初像。（注意順序）。添加映射的方法是按鍵盤CtrlA。第二章：迭代與分形幾何分形的特點是，整體與部分之間存在某種自相似性，整體具有多種層次結(jié)構(gòu)。分形圖片具有無可爭議的美學(xué)感召力，特別是對于從事分形研究的科學(xué)家來說。欣賞分形之美當(dāng)然也要求具有一定的科學(xué)文化知識，但相對而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我們身邊，我們身體中的血液循環(huán)管道系統(tǒng)、肺臟氣管分岔過程、大腦皮層、消化道 小腸絨毛等等都是分形，參天大樹、連綿的山脈、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分 形。人們對這些東西太熟悉了，當(dāng)然熟悉不等于真正理解。分形的確貼近人們的生活，因而由分形而來的分形藝術(shù)也并不遙遠，普通人也能體驗

12、分形之美。因為分形幾何的迭代的原像一般不止一個，而且均為多映射迭代，為了敘述的方便，我們先作以下兩個約定。1. 用(A,B,C)表示有順序的兩點A、B和C。2. 表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此類推?！維ierpinski三角形】波蘭著名數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915-1916年期間，為實變函數(shù)理論構(gòu)造了幾個典型的例子， 這些怪物常稱作“謝氏地毯”、“謝氏三角”、“謝氏海綿”、“謝氏墓垛”。如今，幾乎任何一本講分形的書都要提到這些例子。它們不但有趣，而且有助于形象地理解分形。著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的線性分形，具有

13、嚴格的自相似特點。不斷連接等邊三角形的中點，挖去中間新的小三角形進行分割-隨著分割不斷進行Sierpinski三角形總面積趨于零，總長度趨于無窮。Sierpinski三角形在力學(xué)上也有實用價值，Sierpinski三角形結(jié)構(gòu)節(jié)省材料，強度高，例如埃菲爾鐵塔的結(jié)構(gòu)與它就很相似。【步驟】1. 在平面上任意畫一個三角形ABC，取三邊中點為D、E、F，連接DEF。2. 新建參數(shù)n33. 順次選擇B,C,A三點和參數(shù)n，作深度迭代,。4. 添加新的映射, 。第 3 步第 4 步5. 繼續(xù)添加映射。6. 改變參數(shù)n可觀察圖形變化。第 5 步第 6 步【Sierpinski地毯】和Sierpinski地毯相

14、似，只是步驟多了一些。取正方形將其 9 等分，得到 9 個小正方形，舍去中央的小正方形，保留周圍 8 個小正方形。然后對每個小正方形再 9 等分，并同樣舍去中央正方形。按此規(guī)則不斷細分與舍去，直至無窮。謝爾賓斯基地毯的極限圖形面積趨于零，小正方形個數(shù)與其邊的線段數(shù)目趨于無窮多，它是一個線集，圖形具有嚴格的自相似性?！静襟E】1. 平面上任取線段AB，以線段AB構(gòu)造正方形ABCD。2. 以A為縮放中心，B、D縮放為1/3,得到E、F；以D為縮放中心，A、C縮放為1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。連接各點，將正方形九等分；3. 并填充中間的正方形MNOP，度量MNOP的面積，選擇改度量結(jié)果和

15、填充的正方形，單擊【顯示】【顏色】【參數(shù)】，單擊確定。則該MNOP的顏色隨它的面積變化而變化。第 2 步第 3 步4. 新建參數(shù)n4，順次選擇A、B兩點和參數(shù)n，作深度迭代，（A，B）（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中點的對應(yīng)，當(dāng)?shù)蛘谧D像的時候可用鼠標(biāo)選中拖動開。單擊迭代，隱藏不必要的點。如果我們制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四邊形的Sierpinski地毯（即三角形和四邊形的頂點都是自由點），然后按照多面體的側(cè)面數(shù)將他們復(fù)制。利用畫板合并點的功能，將它們“粘貼”到三棱錐和正方體的各個側(cè)

16、面上，（如下圖）可以制作空間的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？【搖曳的Pythagorean Tree(畢達哥拉斯樹)】畢達哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方叫做畢達哥拉斯定理)聞名于世，又由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。1988年，勞威爾通過數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)畢達哥拉斯樹花是一迭代函數(shù)系的J集。【步驟】1. 在屏幕上以任取兩點A和B，作正方形ABCD，以CD為直徑作圓O，取半圓弧，在該弧上任取一點E，連接CE，DE。隱藏不必要的對象。2. 填充四邊形ABCD，度量ABCD的面積。選擇四邊形和度量結(jié)果，單擊【顯示】【顏色】【參數(shù)】。則四邊形的顏色會隨它的面積變化而變化。3. 新建參數(shù)n4，選擇

17、A、B和n，作深度迭代，。第2 步第 3 步4. 選擇E點，單擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，E點變動，很漂亮的效果。當(dāng)E點在的中點時，整個樹顯出對稱美。【分形樹】【分析】和畢達哥拉斯樹類似，樹枝按一定的規(guī)律生長?！具^程】1. 在垂直方向上畫線段AB，在AB左上區(qū)域任取一點C。 2. 度量CB，BA的長度，計算CB/BA；度量的大小。3. 雙擊C點作為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度為，旋轉(zhuǎn)B得到點E；繼續(xù)以CB/BA為縮放比例，E點縮為F點；雙擊線段CB作為標(biāo)記鏡面，得到F點關(guān)于線段CB的對稱點G。連接GC，F(xiàn)C。4. 雙擊線段AB作為標(biāo)記鏡面，得到C、F、G關(guān)于線段AB的對稱點D、H、I，連接BD、H

18、D、ID。第 3 步第4 步5. 新建參數(shù)n=3。順次選擇A、B、C三點和參數(shù)n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。6. 移動C點的位置，改變樹枝的形狀。【KOCH 曲線】瑞典數(shù)學(xué)家柯赫于1904年構(gòu)造了如今稱之為“柯赫曲線”(Koch curve)的幾何對象，這一年 他一共發(fā)表了兩篇論文描述這種曲線，他畫出了此曲線的圖形，給出了生成步驟。它的構(gòu)造過程如下：取一條長度為L的直線段，與構(gòu)造三分康托爾點集那樣先將它三等分，然后保留兩側(cè)的兩段，將中間的一段改成夾角為的兩個等長的直線，每段長度均為L/3，這是n=1的第一次操作。類似地，第二次操

19、作是將上次所得的四段邊長為L/3的線段都進行三等分，現(xiàn)在每段長度為L/9，并將它們中間的一段改成夾角為的兩個長度為L/9的直線。如果將上述操作一直進行下去，最終得到一條具有自相似結(jié)構(gòu)的曲線，稱為三次科赫曲線?！静襟E】1. 畫線段AB，以A為縮放中心，B縮短為1/3,得到C點；同理以B為縮放中心，A縮短為1/3，得到D點。以C點為旋轉(zhuǎn)中心，D點順時針旋轉(zhuǎn)60度，得到E點。2. 隱藏線段AB，連接線段AC、CE、ED、DB。3. 新建參數(shù)n3，順次選擇A、B兩點和n，作深度迭代。(A,B) (A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。（如下圖所示）4. 單擊迭代框的“顯示”按鈕，選擇“顯示最終

20、迭代”。隱藏線段AC、CE、ED、DB（如下圖所示）。5. 改變參數(shù)n，觀察圖形變化。【KOCH雪花】因為它酷似雪花，所以叫“雪花曲線”(snowflake curve)，也很像海岸線?？潞涨€的生成過程很簡單，以一個三角形作為源多邊形，即初始元，將三角形的每一邊做三等分，舍去中間的1/3，然后按科赫曲線的規(guī)則產(chǎn)生生成元。從源多邊形開始，第一步形成一個六角星形，第二步將六角星形的12條邊然后按科赫曲線的生成規(guī)則進行同樣的操作得48條邊星形，如圖4-5，以后依此進行同樣得操作，直至無窮，生成稱為科赫雪花的圖形。在極限的情況下，科赫雪花的上的折線演變成為曲線。由于科赫曲線生成中的每一步操作都會使折

21、線的長度增加，所以在極限的情況下，科赫雪花邊的總長度將趨于無窮?？潞涨€是很復(fù)雜的，首先它有許多折點，到處都是“尖端”，用數(shù)學(xué)的語言講，曲線雖然 連續(xù)，但處處不可微，即沒有切線。【步驟】1. 在平面上取AB做一個KOCH曲線，然后在A的左端任取一點G，在B的右邊任取一點F，分別在AG和BF上做KOCH雪花，注意三個迭代深度都必須為n。2. 以B點為旋轉(zhuǎn)中心，A順時針旋轉(zhuǎn)60度得到H點。選擇G，H兩點，單擊【編輯】【合并點】，則G點與H點合并。同理，再合并H、F兩點。KOCH雪花完成了?！緮?shù)學(xué)之美】【步驟】1. 任取兩點A、B，并作正方形ABCD。2. 在AB上任取一點E,連接BE，度量線段BE

22、的長度并計算BE/AB。3. 雙擊A點作為縮放中心，選擇D點，單擊【變換】【縮放】以計算結(jié)果AE/AB為比例縮放，得到點F；同理以D點為中心，縮放C點得到點G；以C點為縮放中心，縮放B點得到點H。連接正方形EFGH。4. 新建參數(shù)n5，順次選擇A、B兩點，和參數(shù)n，按下shift鍵不放，作深度迭代， 。如下圖所示：5. 選擇E點，點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】。E點變動，產(chǎn)生夢幻般的效果?！綡迭代】【步驟】1. 在水平直線上取兩點A和B，連接AB。以A點為旋轉(zhuǎn)中心，B點順時針旋轉(zhuǎn)90度，得到C點，再取AC中點D。2. 以D為旋轉(zhuǎn)中心，C點順時針旋轉(zhuǎn)90度得到E點，取DE中點F。以D為旋轉(zhuǎn)中

23、心，F(xiàn)點再旋轉(zhuǎn)180度得到G點。連接FG。3. 同理再畫出H、I兩點。以AB為標(biāo)記鏡面，得到F、G、H、I關(guān)于AB的對稱點J、K、L、M，連接線段JK，LM。（如下圖所示）4. 隱藏不必要的點，新建參數(shù)n4。順次選擇A、B兩點、參數(shù)n，作深度迭代，. 5. 單擊迭代，隱藏各點的標(biāo)簽。【蜂巢】蜜蜂地巢你觀察過沒有？是什么形狀呢？聰明的蜜蜂選擇了正六邊形，因為這樣可以填充整個空間，而且正六邊形是最省材料的一中結(jié)構(gòu)。從蜂巢中我們也可以發(fā)現(xiàn)許多自相似的結(jié)構(gòu)。由三條邊迭代就可以得到蜂巢了，不信？請看。【步驟】1. 屏幕上任取線段AB，以B為旋轉(zhuǎn)中心，A點順時針旋轉(zhuǎn)120度得到點C，A點逆時針旋轉(zhuǎn)120度

24、得到點D。2. 新建參數(shù)n5。選擇A、B和參數(shù)n，作深度迭代，。3. 單擊迭代，得到蜂巢的圖像。上面的迭代只是分形幾何的一部分，由于篇幅所限，下面給出其余一些分形幾何的圖片，以供欣賞：第三章：函數(shù)迭代【多項式求根】【分析】多項式求根的迭代式是?！静襟E】1. 新建參數(shù)a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n5。2. 新建函數(shù)，畫出它的圖像。3. 在圖像上任取一點A，度量A的橫坐標(biāo)。4. 計算；計算。5. 依次選擇，單擊【圖表】【繪制點】。得到點B。6. 度量B的橫坐標(biāo)。7. 選中點A，和參數(shù)n，按住Shift鍵，單擊【變換】菜單【深度迭代】，彈出迭代對話框，單擊點B。結(jié)果如圖1所

25、示。圖 1圖 28. 選擇迭代像，單擊【變換】菜單【終點】，得到迭代的終點C，度量C點的橫坐標(biāo)。9. 觀察表格可知，顯示方程的一個近似根是0.42。10. 拖動A點，改變它的位置。觀察表格可知道方程的另外一個近似根是3.41。如圖2所示。【MIRA】【步驟】1. 在平面上取一點A，度量A的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。2. 新建參數(shù)a0.4，b=0，99875。（b取得盡量接近1）3. 新建函數(shù)。4. 計算f()b,f(f()b)-。注意這里用的是函數(shù)嵌套。順次選擇這兩個結(jié)果，單擊【圖表】【繪制（x，y）】。得到點B。5. 順次選擇點B和三個計算結(jié)果：f()b,f(f()b)-，。單擊菜單【顯示】【顏色】【

26、參數(shù)】，單擊確定。發(fā)現(xiàn)B點的顏色變了，其實B點已經(jīng)隱藏起來，看到的是同一位置上的另外一個點B。6. 新建參數(shù)n1500，選擇A點和參數(shù)n作深度迭代?！綡enon Map（埃農(nóng)映射）】【步驟】1. 在平面上取一點A，度量A的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。2. 新建參數(shù)a=1.2,b=0.43. 計算。順次選擇這兩個計算結(jié)果，點擊【圖表】【繪制(x,y)】，得到點B。4. 選擇點B，并依次選擇和，單擊菜單【顯示】【顏色】【參數(shù)】，出現(xiàn)顏色參數(shù)對話框，單擊確定。得到點B。5. 新建參數(shù)n1500,選擇點A和參數(shù)n，作深度迭代，。因為M集和朱麗亞集其實是復(fù)數(shù)平面迭代，我們先來復(fù)習(xí)一下復(fù)平面的一些知識。若 Zk= x

27、k+ iyk , m = p+iq 則 xk1xk2yk2 p，yk12xkyk q，聰明的你應(yīng)該知道怎么表示復(fù)平面上的點的平方了吧。好了，那么什么是Julia集和Mandelbrot集合，他們之間的區(qū)別是什么呢？考慮 Zk+1=Zk2+m，給定復(fù)數(shù)初值Z0,m ，得到無窮復(fù)數(shù)序列ZkJulia集：固定m，Jm =Z0序列Zk有界Mandelbrot集：固定Z0，MZm 序列Zk有界【 Mandelbrot 集合 】【步驟】1. 在平面上以原點為中心，建立一個矩形ABCD作為觀察區(qū)域。2. 在線段AD上取一點E，點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，使得E點能夠在AD上運動。3. 作E點關(guān)于Y軸

28、的對稱點E ,然后連接EE 。在EE 上取一點G，度量。4. 在平面上取一點F，度量 。計算，順次選擇這兩個度量結(jié)果，單擊【圖表】【繪制（x ,y）】。得到點H。5. 新建參數(shù)n100，選擇點F和參數(shù)n，作深度迭代，。6. 選擇迭代像，單擊【變換】【終點】，得到迭代終點I。度量I的橫、縱坐標(biāo)，并計算，選擇這三個結(jié)果和點G（注意是點G），單擊【顯示】【顏色】【參數(shù)】，得到G。7. 選中G，單擊【作圖】【軌跡】。隱藏線段EE,選擇剛才的軌跡，按右鍵，單擊追蹤軌跡。8. 把F點移至原點。點擊動畫按鈕，則可以得到M集，適當(dāng)調(diào)整窗口大小?！綣ulia Sets朱麗亞集】 【步驟】1. 在平面上以原點為中心，建立一個矩形ABCD作為觀察區(qū)域。2