【考點(diǎn)整合與訓(xùn)練】第七章不等式 第3節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用

1、22 2224a b2b.第 3 節(jié)基本不等式及其應(yīng)用最新考綱值問(wèn)題.1.了解基本不等式的證明過(guò)程； 2. 會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大 (小)1.基本不等式： abab2知 識(shí) 梳 理(1) 基本不等式成立的條件：a0，b0.(2) 等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào).ab(3)其中 稱為正數(shù) a，b 的算術(shù)平均數(shù)， ab稱為正數(shù) a，b 的幾何平均數(shù). 2.兩個(gè)重要的不等式(1)a b 2ab(a，br)，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào).(2)abab(a，br)，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào). 2 3.利用基本不等式求最值已知 x0，y0，則(1)如果積 xy 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng) xy

2、 時(shí)，xy 有最小值是 2 p(簡(jiǎn)記：積定 和最小).s(2)如果和 xy 是定值 s，那么當(dāng)且僅當(dāng) xy 時(shí)，xy 有最大值是 (簡(jiǎn)記：和定積 最大).微點(diǎn)提醒b a1. 2(a，b 同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào).2.abab a 2 2 222 21 1222 22xsin xy x2 22xsin xy x2x2 ab a b3. ab (a0，b0).a b基 礎(chǔ) 自 測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)ab(1)兩個(gè)不等式 a b 2ab 與 ab成立的條件是相同的.( )1(2)函數(shù) yx 的最小值是 2.( )4(3)函數(shù) f(x)sin x 的最小值為 4.( )

3、x y(4)x0 且 y0 是 2 的充要條件.( )解析(1)不等式 a b 2ab 成立的條件是 a，br ；ab不等式 ab成立的條件是 a0，b0.1(2)函數(shù) yx 的值域是(，22，)，沒(méi)有最小值.4(3)函數(shù) f(x)sin x 沒(méi)有最小值.x y(4)x0 且 y0 是 2 的充分不必要條件.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 5p99 例 1(2)改編 )若 x0，y0，且 xy18，則 xy的最大值為( ) a.9 b.18 c.36 d.81解析答案xy因?yàn)?xy18，所以 xy 9，當(dāng)且僅當(dāng) xy9 時(shí)，等號(hào)成立. a13.(必修 5p100 練習(xí) t1 改編)若

4、x0，則 x ( ) a.有最小值，且最小值為 2b.有最大值，且最大值為 2x21 2222x1x x x2222222a8ba b a8ba8baa4 884bbc.有最小值，且最小值為2 d.有最大值，且最大值為2解析1因?yàn)?x0，x 2 12，當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)，等號(hào)成x1立，所以 x 2.答案d4.(2019 玉溪一中月考)已知 f(x)x 2x1x，則 f(x)在，3上的最小值為( ) 1a.b.43c.1 d.0解析f(x)x1 1x 2220，當(dāng)且僅當(dāng) x ，即 x1 時(shí)取等號(hào).1 1 又 1，3，所以 f(x)在，3上的最小值為 0. 答案d5.(2018 濟(jì)寧一中月考)一段

5、長(zhǎng)為 30 m 的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng) 18 m，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為_(kāi)m，寬為_(kāi)m 時(shí)菜園面積最大.解析設(shè)矩形的長(zhǎng)為 x m，寬為 y m.則 x2y30，1 1x2y 225所以 sxy x(2y) ，當(dāng)且僅當(dāng) x2y， 2 15即 x15，y 時(shí)取等號(hào).答案 1515216.(2018 天津卷)已知 a ，br ，且 a3b60，則 2 的最小值為_(kāi).解析1由題設(shè)知 a3b6，又 2 0，8 0，所以 2 211 2 2a 3b21 1 1 1 ，當(dāng)且僅當(dāng) 2 ，即 a3，b1 時(shí)取等號(hào).故 2 的最小值為 .答m n1 xm n m nm nm n

6、m n2考點(diǎn)一角度 1利用基本不等式求最值通過(guò)配湊法求最值多維探究3【例 1 1】 (2019 樂(lè)山一中月考 ) 設(shè) 0x0，a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn) a，若點(diǎn) a1 1在直線 mxny10 上，且 m，n 為正數(shù)，則 的最小值為_(kāi).解析曲線 ya 恒過(guò)定點(diǎn) a，x1 時(shí)， y1，a(1，1).將 a 點(diǎn)代入直線方程 mxny10(m0，n0)，可得 mn1，1 1 1 1 n m n m (mn)2 22 4， n m 1當(dāng)且僅當(dāng) 且 mn1(m0，n0)，即 mn 時(shí)，取得等號(hào).答案4規(guī)律方法在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，主要有兩種思路：(1)對(duì)

7、條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解 .常用的方法有：折 項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等.ab44ab 2 ab2454x4x554x2 x 360x(2)條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值.1【訓(xùn)練 1】 (1)(2019 濟(jì)南聯(lián)考 )若 a0，b0 且 2ab4，則 的最小值為( )a.2b.12c.41d.5 1(2)已知 x0，b0，故 2ab2 2ab(當(dāng)且僅當(dāng) 2ab 時(shí)取等號(hào)).又因?yàn)?2ab4，2 2ab4 0ab2，1 1 1 1 ，故 的最小值為 (當(dāng)且僅當(dāng) a1，b2 時(shí)等號(hào)成立).5(2)因?yàn)?x0，1 1 則 f(x)4x2 3 2（

8、54x）154x3231.1當(dāng)且僅當(dāng) 54x ，即 x1 時(shí)，等號(hào)成立.54x故 f(x)4x214x5的最大值為 1.答案(1)b (2)1考點(diǎn)二基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例 2】 運(yùn)貨卡車(chē)以每小時(shí) x 千米的速度勻速行駛 130 千米，按交通法規(guī)限制 50x100( 單位：千米 / 時(shí) ). 假設(shè)汽油的價(jià)格是每升 2 元，而汽車(chē)每小時(shí)耗油 2 升，司機(jī)的工資是每小時(shí) 14 元. (1) 求這次行車(chē)總費(fèi)用 y 關(guān)于 x 的表達(dá)式；(2) 當(dāng) x 為何值時(shí)，這次行車(chē)的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值.解130(1)設(shè)所用時(shí)間為 t (h)，2130 x 130360xxx360x 18x36

9、0x 3602x223x16（3x）3x4y 22 14 ，x50，100. 所以，這次行車(chē)總費(fèi)用 y 關(guān)于 x 的表達(dá)式是 y13018 2130 x，x50，1002 340 13(或 y x，x50，100).13018 2130(2)y x26 10，13018 2130當(dāng)且僅當(dāng) x，即 x18 10時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng) x18 10千米/時(shí)，這次行車(chē)的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為 26 10元.規(guī)律方法1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).2. 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.3. 在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域 (使實(shí)際問(wèn)題有意義的自

10、變量的取值范圍 ) 內(nèi)求解.【訓(xùn)練 2】 網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來(lái)一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè) 的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車(chē)記錄儀支架銷(xiāo)售公司從 2019 年 1 月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò) 銷(xiāo)售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷(xiāo)售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷(xiāo)量 x 萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用 t 萬(wàn)元之間滿足函數(shù)關(guān)系式 x32t1.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為 3 萬(wàn)元，產(chǎn)品每 1 萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為 32 萬(wàn)元，若每件產(chǎn) 品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的 150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一 半”之和， 則該公司最大月利潤(rùn)是_ 萬(wàn)元.解析由題意知 t 23 x 1(1x0 得 3 (k1

11、)3 20，解得 k13 .2 2又 3 2 2(當(dāng)且僅當(dāng) 3 ，即 xlog3所以 k12 2，即 k0)的單調(diào) 性.易錯(cuò)防范2 22 22lg x2x2x21.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個(gè)條件缺一不可. 2.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號(hào)成立的條件一致.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：35 分鐘)一、選擇題1.(2019 孝感調(diào)研)“ab0”是“abb0，可知 a2b2a b2ab，充分性成立，由 ab0 且 x1，lg x 2 1a. 0 時(shí)， x 2x1d.當(dāng) 0x2 時(shí)，x 無(wú)最大值解析對(duì)于 a，當(dāng) 0x1 時(shí)，lg x0 時(shí)， x1x2x1x2，當(dāng)且僅當(dāng) x1

12、 時(shí)等號(hào)成立；1對(duì)于 d，當(dāng) 01，y1，且 lg x，2，lg y 成等差數(shù)列，則 xy 有( ) a.最小值 20 b.最小值 200c.最大值 20 d.最大值 200解析由題意得 22lg xlg ylg ( xy)，所以 xy10 000，則 xy2 xy200，當(dāng)且僅當(dāng) xy100 時(shí)，等號(hào)成立，所以 xy 有最小值 200.答案b4.設(shè) a0，若關(guān)于 x 的不等式 xax15 在(1，)上恒成立，則 a 的最小值為( )a.16 b.9c.4d.2解析在(1，)上， xax1(x1)ax112（x1）a （x1）12 a1(當(dāng)且僅當(dāng) x1 a時(shí)取等號(hào)).由題意知 2 a15.所以

13、 a4.答案c5.(2019 太原模擬)若 p 為圓 x y 1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 a(1，0)，b(1，0)，則 |pa|pb|的最大值為( )a.2 b.2 2 c.4 d.4 2解析由題意知apb90，|pa| |pb | 4，|pa|pb| |pa| |pb| 2(當(dāng)且僅當(dāng) |pa| |pb|時(shí)取等號(hào))， 2 |pa| |pb|2 2，|pa|pb|的最大值為 2 2.答案b6.某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為 800 元，若每批生產(chǎn) xx件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為 天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為 1 元.為使平均到每件x8x 8x 8x 8x 8a ba baba ba b

14、442a ba ba ba ba b22產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( )a.60 件c.100 件b.80 件d.120 件解析800 x設(shè)每批生產(chǎn)產(chǎn)品 x 件，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是 元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用是800 x 800 x 800 x元，總的費(fèi)用是 元，由基本不等式得 2 20，當(dāng)且僅 800 x當(dāng) ，即 x80 時(shí)取等號(hào).答案b1 27.若實(shí)數(shù) a，b 滿足 ab，則 ab 的最小值為( ) a. 2 b.2 c.2 2d.4解析1 2依題意知 a0，b0，則 22 2 2 ，ab1 2當(dāng)且僅當(dāng) ，即 b2a 時(shí)，“”成立. 1 2 2 2因?yàn)?ab，所以 ab

15、 ，ab1 5即 ab2 2(當(dāng)且僅當(dāng) a2 ，b2 時(shí)等號(hào)成立)， 所以 ab 的最小值為 2 2.答案c1 98.(2019 衡水中學(xué)質(zhì)檢)正數(shù) a，b 滿足 1，若不等式 abx 4x18 m 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( )a.3，) c.(，6b.(，3 d.6，)1 9解析 因?yàn)?a0，b0， 1，1 9 b 9a所以 ab(ab) 10 16， b 9a當(dāng)且僅當(dāng) ，即 a4，b12 時(shí)取等號(hào).依題意，16x4x18m，即 x4x2m 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立 .2222xxx又 x 4x2(x2) 6，所以 x 4x2 的最小值為6，所以6m，即 m6.答案d

16、二、填空題9.正數(shù) a，b 滿足 abab3，則 ab 的取值范圍是_.解析a ，b 是正數(shù)， aba b32 ab3(當(dāng)且僅當(dāng) ab 3 時(shí)等號(hào)成立)，解得 ab3，即 ab9.答案9，)10.某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的 總利潤(rùn) y( 單位：萬(wàn)元 ) 與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間 x( 單位：年 ) 的關(guān)系為 y x 18x 25(xn*)，則每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)的最大值是_ 萬(wàn)元.解析y 25 y每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn) x 年的年平均利潤(rùn)為 18 x ，而 x0，故 18 2 258，當(dāng)且僅當(dāng) x5 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn) 最大，最大值

17、為 8 萬(wàn)元.答案811.(2019 合肥調(diào)研 ) 設(shè) x ，yyx1，滿足約束條件 y2x1， 若目標(biāo)函數(shù)x0，y0，z abx y(a0，b0)的最大值為 35，則 ab 的最小值為_(kāi).解析可行域如圖所示，當(dāng)直線 abxyz(a0，b0)過(guò)點(diǎn) b(2，3)時(shí)，z 取最大值 2ab3.于是有 2ab335，ab16.所以 ab2 ab8，當(dāng)且僅當(dāng) ab4 時(shí)等號(hào)成立，m n2 2m n2 2m n2m 2n2m 2n2m 2nm n2b2b2b所以(ab) 8. min答案812.已知直線 mxny20 經(jīng)過(guò)函數(shù) g(x)log x1(a0 且 a1)的定點(diǎn)，其中a1 1mn0，則 的最小值

18、為_(kāi).解析因?yàn)楹瘮?shù) g(x)log x1(a0 且 a1)的定點(diǎn)(1，1)在直線 mxny20a上，m n所以 mn20，即 1.1 1 1 1m n n m 所以 1 n m12 2，n m當(dāng)且僅當(dāng) ，即 mn1 時(shí)取等號(hào)， 1 1所以 的最小值為 2.答案2能力提升題組(建議用時(shí)：15 分鐘)13.(2018 江西師范大學(xué)附屬中學(xué)月考 ) 若向量 m (a 1 ， 2) ， n (4 ， b) ，且m n，a0，b0，則 log1a.最大值 log3131alog 有( )3b.最小值 log 23c.最大值 log1312d.最小值 0解析由 mn，得 m n0，即 4(a1)2b0，12ab2，22 2ab，ab (當(dāng)且僅當(dāng) 2ab 時(shí)，等號(hào)成立).1 1又 log1 alog log1 alog1 blog1 ablog1 log 2，3 33 3 3 3 31故 log1 alog 有最小值