線性變換和相似等價(jià)類的對(duì)應(yīng)關(guān)系

1、線性變換和相似等價(jià)類的對(duì)應(yīng)關(guān)系設(shè)有兩個(gè)非空集合V,U,若對(duì)于V中任一元素a,按照一定規(guī)則 總有U中一個(gè)確定的元素B和它對(duì)應(yīng)，則這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則被稱為從 集合V到集合U的變換(或映射)，記作B =T( a )或B =Ta ,( a V)。設(shè)久 V, T( a )= B ,則說(shuō)變換T把元素a變?yōu)锽,B稱為a 在變換T下的象，a稱為B在變換T下的源，V稱為變換T的源集， 象的全體所構(gòu)成的集合稱為象集，記作T(V)。即T(V)=B =T( a )| a V,顯然T(V) ? U注：變換的概念實(shí)際上是函數(shù)概念的推廣。定義2設(shè)Vn,Um分別是實(shí)數(shù)域R上的n維和m維線性空間，T是一 個(gè)從M到U得變換，如果變換滿

2、足(1 )任給 a i ,a 2 Vi,有 T( a 1+ a 2)=T( a i)+T( a 2);(2) 任給 a M, k R,都有 T(k a )=kT( a )。 那么，就稱T為從Vn到U的線性變換。說(shuō)明： 線性變換就是保持線性組合的對(duì)應(yīng)的變換。 一般用黑體大寫字母 T,A,B,代表現(xiàn)象變換，T( a )或Ta 代表元a在變換下的象。 若Un二M,則T是一個(gè)從線性空間U到其自身的線性變換，稱為線性空Vn中的線性變換。下面主要討論線性空間 Vn中的線性變換。二、線性變換的性質(zhì)設(shè)T是Vn中的線性變換，則(1) T(O)=O,T(- a )=-T( a )；(2) 若 B =ki a i+

3、k2 a 2+ kma 丐貝U T p =kiT a i+k2T a 2kmT a(3) 若a 1,a m線性相關(guān)，則Ta 1Ta m亦線性相關(guān)；注：討論對(duì)線性無(wú)關(guān)的情形不一定成立。(4) 線性變換T的象集T(Vn)是一個(gè)線性空間Vn的子空間。記S= a | a V,T I a =0稱為線性變換T的核，St是Vn的子空間。 設(shè)V和W是數(shù)域F上的向量空間，而: S W是一個(gè)線性映射。 那么(i) 。是滿射 Im( )=W;(ii) 是單射Ker( )=0定理1設(shè)V和W是數(shù)域F上的向量空間，而: VW是一個(gè)線 性映射。那么V的任意子空間在之下的像是 W的個(gè)子空間。而 W 的任意子空間在之下的原像是

4、 V的一個(gè)子空間。三、線性變換的運(yùn)算 設(shè)L(V)是向量空間V的全體線性變換的集合，定義 L(V)中的加法, 數(shù)乘與乘法如下：加法：屮二數(shù)乘：二二-二二;乘法：丄.廠一一,其中，匚尺.易驗(yàn)證，當(dāng)A B是V的線性變換時(shí)，A+B AB以及kA都是V的 線性變換.四、線性變換的矩陣設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)n維向量空間n是V的一個(gè)基，:二L(V).由于二C i) V,i =1,2, ,n，因而它們可由基12,，n線性 表出令二(_：)二 &11二：1 a21-：2 anln,匚(：2)=氐：1 a22： 2an2： n,(1)二 Gn)二 dn1 a2n2(1)也可以表示為：二 C 1,： 2, ： n)

5、=(： 1,： 2, ，: n)A ,其中f ana12am A=annan1an2稱A為二關(guān)于基：-i2/：n的矩陣.A的第j列元為二C j）在基 1,2,i,n下的坐標(biāo)，j =1,2,，n,因而當(dāng)取定基之后，二在這一基下的 矩陣是唯一的.設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間.令是V的一個(gè)線性變換.取定 一個(gè)基：1 , 2,，:n.考慮V中任意一個(gè)向量1 x22 Un.仍是V的一個(gè)向量.設(shè)Jr y“l(fā) 丫22 ynn自然要問(wèn)，如何二計(jì)算的坐標(biāo)yi,y2,，yn .令廠1 i=aiii - a22 出川ann,-2 4ai2：i a222 亠亠 an2n,(2) -an Laini a2n2 亠亠

6、annn,這里:j ,i,j=i,n,就是j關(guān)于基r,，r的坐標(biāo).令A(yù)=a nnan1an2n階矩陣A叫做線性變換二關(guān)于基I, ,的矩陣.矩陣A的 第j列元素就是這樣，取定F上n維向量空間V的一個(gè)基之后，對(duì)于V 的每一個(gè)線性變換，有唯一確定的F上n階矩陣與它對(duì)應(yīng).為了計(jì)算二.關(guān)于基】的坐標(biāo)，我們把等式寫成矩 陣形式的等式(3)1-1：-1，匚：2，芒:n=1,2,宀 A.設(shè)二 X2 2 Xn nXi2，,二：n =1,2,n A ,-1 f ：2，工：n = -1, 2/ , ：n B令T是由基,n倒基： 2，：n /的過(guò)渡矩陣：1, -2 , ：n = :1-2 - n T于是1,込，,-n

7、 B =2 川i，二-2，二“=二1 f 2 / f n T=：1，： 2，： n AT= j -2, -n T AT因此（8） B =T -1 AT等式（8）說(shuō)明了一個(gè)線性變換關(guān)于兩個(gè)基的矩陣的關(guān)系。設(shè)A, B是數(shù)域F上兩個(gè)n階矩陣。如果存在F上一個(gè)n階可逆矩陣T使等式（8）成立，那么就說(shuō)B和A相似，并且記作AB（一）特征值特征向量的求法1 、給定的數(shù)值矩陣的特征值特征向量的求法.解方程 M_+0求出A的全部特征值，對(duì)每個(gè)（不同的）特征 值二，解齊次線性方程組匸上丄-.其基礎(chǔ)解系便是A對(duì)應(yīng)于特征值丄的線性無(wú)關(guān)的特征向量，其任意非 零解使是A的對(duì)應(yīng)特征值:的特征向量.2 、求抽象矩陣的特征值，

8、特征向量的方法一般是據(jù)定義，假定特征值入，特征向量X由AX=X X代入相關(guān)的已知條件，求出入，X3 、相似的判定的基本方法，一般是據(jù)相似的傳遞性，判別兩矩 陣相似的對(duì)角形（假定都相似）是否可以相同矩陣A的屬于特征值入的特征向量是不唯一，因?yàn)槿羰茿的屬 于特征值丄的特征向量，即有八八山，則對(duì)任意常數(shù)有蟲（舫）=上（血卜狀o滬人（岡, 說(shuō)明 丄也是A有屬于特征值的特征向 量，同樣可推出，若都是A的屬于同一個(gè)特征值 匸的特征向量，則對(duì)任意二二，只要也是A的屬于特征值的特征向量.向量不可以即是A的屬于特征值.二的特征向量，也是A的屬 于特征值二的特征向量嗎，丄“，因?yàn)?，若幾丄丄 兩式相減有;，推出二一

9、，從而二不是特征向量.A的屬于不同的特征的特征向量的線性組合 （假定系數(shù)都不為0） 不是A的特征向量，設(shè)3向廠旦 是A的分別屬于特征值丄. 的特征向量，其中二丁,:二丁蔦二 匚為不等于0的常數(shù)，若 是A的特征向量，設(shè)對(duì)應(yīng)的特征值為入，即處 1+傷Ct +h fl! J嘆血& +加2 +毗為）故有:知他）+辰（2）+危（/為）期+舫九溝+以購(gòu) 疋伉1適+肪（心血）+ * *+層（幾s他）=ti2ci 以他+ * 十畑幾as b仙-久）角& -兄）他I +疋占% -小殆=0由于廿廠V門所以不全為0 U ：線性相關(guān)，這與不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)相 矛盾，因此A的屬于不同特征值的特征向量的線

10、性組合在系數(shù)全不為 0 （從推導(dǎo)過(guò)程中知，只要有兩個(gè)系數(shù)不為 0時(shí)也成立）時(shí)，不會(huì)是 A的特征向量.相似矩陣A、B的特征值有何關(guān)系，相似矩陣有相同的特征值，因?yàn)锳B,即存在可逆方陣C,使；二從而證JI也就是說(shuō)相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值，同時(shí)也有相同的行列式，相同的跡，相同的秩等.（但反之不一定成立），不過(guò)，相似矩陣的特征向量不一定相同，如11 1Y11丄1 1V1 -L1 1J T丿丿f2 oYC=#2=B 、a=,B=T|J丿是A的特征向量，但叭1丿U丿，故U丿不是B的特征向量.六、對(duì)角矩陣定義1域F上n維線性空間V上的一個(gè)線性變換A稱為可對(duì)角化 的，如果V中存在一個(gè)基，使得 A在這個(gè)基下的矩陣為對(duì)角矩陣。定理1域F上n維線性空間V上的一個(gè)線性變換A可對(duì)角化 得充分必要條件是，A有 n各線性無(wú)關(guān)的特征向量，也就是，V中存 在由A的特征向量組成的一個(gè)基。證法 L可對(duì)角化V中有一個(gè)基E 1E n,使得A( E 1E n)= ( E 1E n