點與圓位置垂徑定理解析

1、第20講點與圓位置關系垂徑定理（B）姓名:專題一：圓的概念及點和圓的關系【知識梳理】一、圓的有關概念1. 圓：平而上到立點的距離等于楚長的所有點組成的圖形叫做圓：其中宦點叫圓心，泄長稱為半徑. 圓心不同，半徑相等的圓叫做等圓：圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓.弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧.在同圓或等岡中，能夠互相重合的弧叫做等弧.3-4.弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦.經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.說明：（1）（2）（3）（4）直徑是弦，但弦不一泄是直徑，宜徑是圓中最長的弦。半岡是弧，但弧不一定是半圓。等弧只能是同圓或等

2、圓中的弧，離開同圓或等圓”這一條件不存在等弧。 等弧的長度必左相等，但長度相等的弧未必是等弧。二、點和圓的位置關系：設0的半徑為I點P到圓心的距離為d。貝g：（1）若廠0則點P在圓外： （2）若d = FO則點P在圓上；（3）若ro則點P在圓內。圓心確定圓的位置：半徑確世圓的大小。不在同一直線上的三個點確是一個圓。三角形的三個頂點確定一個圓，這個岡叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂 直平分線的交點，叫做三角形的外心。（4）銳角三角形的外心在三角形的內部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在 斜邊中點.三、圓的確宦:（1）.（2）.（3）,【典例精講】例1.選擇題：（1

3、）下列說法正確的是（）A、弦是直徑： B、半圓是弧： C、弧是弓形；D、圓心相同，半徑相同的兩圓是同心圓。B、同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧: D.由弦和弧組成的圖形叫弓形。（2）下列說法正確的是（）A、兩個半圓都是等弧：C、同圓中優(yōu)弧與劣弧的差必是劣?。海?兩同心圓的半徑分別為斤2（斤若斤OP/則有（A、點P在大圓內、小圓外: C、點P在大圓外、小圓內:點P在大圓外、小圓外；D、點P在大圓內、小圓內Q7CA為半徑的圓LjAB交于點D，則AD的長為（ A 5（4） （2013年黃石）如右圖，在R仏AB C中，ZACB = 90 AC = 3，BC = 4.以點C為圓心,D 24C 18C 5B.

4、 C. D.552例2、如圖，銳角ABC中，高BD丄AC于D； CE丄AB于E。求證：點D、點E都在以BC為直徑的圓上。C【變式練習】lx如圖，矩形ABCD中，AB=3cm, AD=4cm.若以A為圓心作圓，使B、C、D三點中至少有一點在圓內，且至少有一點在圓外，A的半徑r的取值范圍為。2. 在RtAABC中，ZACB=90 , AC=6, AB=10, CD是斜邊AB的中線，以AC為直徑作QO,設線段NB a=b=cC*3.（云南）已知在0中，直徑MN=10,正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OW OP以及OO上, 并且ZPOM=45,則 AB=O4, 濰坊）如圖，點A、D、G、M在半圓0上

5、，四邊形ABOC、DEOF、HMN0均為矩形，設BC=aEF=b ,NH=c, 則下列式中正確的是（）C、 cabD bcaA. abc5. （2014則A C長度的最小值是專題二：垂徑定理的應用【知識梳理J（一）圓的對稱性：（1）.圓是軸對稱圖形，任何一條經(jīng)過圓心的直線都是它的對稱軸（2）圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。（二）、垂徑定理及推論：如果一條直線具有（1）過圓心，垂宜于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所對的劣 弧，（5）平分弦所對的優(yōu)弧。這五個性質的任何兩個性質，那么這條直線就 具有其余三個性質：但“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧其中的弦必 須是非直徑

6、的弦，假若弦是直徑，那么這兩條直徑不一立互相垂宜。（三人在解決圓的有關問題時，一般是通過做輔助線構造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角 形相結合。有以下幾種常引用的輔助線：（2）作弦心距；（4）連圓心和弧的中點（遇弧的中點時）;（1）連弦的端點與圓心的半徑；（3）連圓心和弦的中點（遇弦的中點時）：（5）作半圓上的圓周角。 【典例精講】例1、（2013*紹興）紹興市著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m,橋拱半徑 0C為5m,則水而寬AB為（D8mA4mB5mC6m例2.（鄂州）已知在0中，半徑r = 5. AB. CD是兩條平行弦，且48 = 8, CD = 6,則弦 AB、C

7、DZ間的距離是;弦AC的長為C垂直于弦的宜線平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧。 平分弦所對的一條弧的直徑一誰平分這條弦所對的外一條弧。 經(jīng)過弦的中點的直徑一主垂直于弦。圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行。弦的垂直平分弦一立平分這條弦所對的弧。例3、判斷題：（1）（2）（3）4）（5）例4、（2013資陽）在00中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D, 連結CD.（1）如圖1.若點D與圓心O重合，AC=2.求OO的半徑r；（2）如圖2.若點D與圓心O不重合，Z BAC=25請宜接寫出z DCA的度數(shù).c例5.已知，如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC丄BD Y

8、 E. OM丄BC于求證:例6.求證:如圖，直線MN交0于C、D,是00的直徑，AE丄MN于 BF丄MN TF(1) tanZADE tanZBDF=l(2)當=3F = c時，tanZ4CtanZ4D是方程ax-hx + c = 0的根N【變式練習21如圖，將半徑為的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心則折痕AB長為（A 2imB、y/3cinC、2yfymD、2yf5cm第1題（龍巖）如圖，AB是O0的宜徑，且43 = 10,弦MN的長為8,若弦MN的兩端在圓周上滑動.始終與AB相交，記點A、B到MN的距離為你則人一仏=B. 6C. 7D. 8A.3、在直徑為50ctn的圓中，弦AB為40cn

9、h弦CD為48cm,且ABCD,則AB與CD Z間距離為4、（南京）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的00交于點G、B、F、E，GB = &、m，AG = 1cm .DE = 2cm,則 EF=5、已知，如圖，AB是0的直徑，弦CD交AB于點E,且分AB為2?！焙?c加兩段，ZAC = 30 則弦 CD=。CB:臼O第7題7.8、DC圖8圖9& （連云港）如圖，已知0的半徑為5,點A到圓心0的距離是3,則過點A的所有弦中，最短 弦的長為如圖，直徑為1OOO/ZW/的圓形水管，若水面AB = 800mh ,則水的最大深度CD是。如圖 8, 00 與矩形 ABCD 交于 E. F. G、H, EF

10、=10, HG=6, AH=4o 則 BE二o9.如圖9,己知AB、CD為00的弦，且AB丄CD, AB將CD分成3cm和7cm兩部分，則圓心0到AB 的距離為cm.410、在ABC 中，AB=AC=5, sinB=5, Oo 過點 B. C 兩點，且OO 半徑則 OA 的值B11. 如圖，在00中，弦CD垂直于直徑AB于點E,若Z BAD=30%且BE=2,則CD=12. (2015.成都)如圖，在半徑為5的OO中，弦AB = S, P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點，連接AP, 過點A作AP 的垂線交射線于點C,當APAB是等腰三角形時.線段BC的長為13、如圖10,的高，AE是AIBC的外接圓

11、的直徑.試說明AB AC=AE AD-圖1014.已知O0的直徑AB與弦CD相交于點E是CD延長線上的一點，連結AE交O0于F,連結AC,CF.若AC2=AFAE求證：(1) AACFAAEC：(2) AB丄CD。15如圖，OC通過原點并與兩坐標軸分別交于點A、D,己知ZB = 30。點D的坐標為(0.2),求J (1)點A的坐標 (2)點C的坐標16、已知：0000相交于P、Q.過P點作直線交OO于A,交00于B使00與AB平行求 證：AB=20017.如圖氛AB是OO的宜徑，CD是弦，AE丄CD.垂足為E, BF丄CD,垂足為F. EC和DF相等嗎？說明理由如圖2,若宜線EF平移到與直徑A

12、B相交于點P (P不與A、 結論是否改變？為什么？如圖3,當EFAB時，情況又怎樣？如圖4, CD為弦，EC丄CD, FD丄CD, EC、FD分別交宜徑AB 相等嗎？ Q OB重合，在瓦他條件不變的情況下，原于E、F兩點，你能說明AE和BF為什么A(1113家庭作業(yè)1、在半徑為1的OO中，弦AB、AC分別是和逅，則Z BAC的度數(shù)為 2.（2013萊蕪）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心6則折痕AB的長為（A. 2 cmB 歷cmC 2/Jcm2巧cm3/134、已知：00的半徑為5,圓心0到宜線/的距離0P=3,點A為直線/上一點，PA=5,則點A 500的位置關系是（）（A）點A在O0外：（B）點A在00：5、下列敘述正確的是.（A）垂直于弦的直線必經(jīng)過圓心：（C）平分弦的直徑必平分弦所對的?。篊C）點A在O0內：（D）不能確總。（B）平分弦的宜徑垂宜于弦：（D）平分直徑的弦是圓中最大的弦。6、（上海小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一