用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程(1)

1、22.2用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程（1）教學(xué)目標(biāo)：1 通過(guò)探索，使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系。2 使學(xué)生能夠使用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)。3 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合解題水平，滲透數(shù)形結(jié)合思想。重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，能夠使用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)去解決實(shí)際問(wèn)題是教學(xué)的重點(diǎn)。難點(diǎn)：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合解題水平，滲透數(shù)形結(jié)合的思想是教學(xué)的難點(diǎn).教學(xué)過(guò)程：一、引言在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)遇到與二次函數(shù)及其圖象相關(guān)的問(wèn)題，如拱橋跨度、拱高計(jì) 算等，利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)研究和解決這些問(wèn)題，具有很

2、現(xiàn)實(shí)的意義。本節(jié)課，請(qǐng)同 學(xué)們共同研究，嘗試解決以下幾個(gè)問(wèn)題。二、探索問(wèn)題問(wèn)題1 :某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水。連噴頭在內(nèi)，柱高為0.8m。水流在各個(gè)方向上沿形 狀相同的拋物線路徑落下，如圖 （1）所示。根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：如圖 （2）中所示直角坐標(biāo)系中，水 流噴出的高度 y（m）與水平距離 x（m）4之間的函數(shù)關(guān)系式是 y= x2 + 2x+ 4。（1）噴出的水流距水平面的最大高度是多少？（最大值）（2）如果不計(jì)其他的因素，那么水池至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)？（就是求如圖（2）B點(diǎn)的橫坐標(biāo)）問(wèn)題2: 一個(gè)涵洞成拋

3、物線形，它的截面如圖所示，現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬AB = 1.6m時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m。這時(shí)，離開(kāi)水面1.5m處，涵洞寬ED是多少？是否會(huì)超過(guò)1m? 教學(xué)要點(diǎn)|i J HV-t 2 r 1 x1 教師分析：根據(jù)已知條件，要求ED的寬，只要SS求出FD的長(zhǎng)度。在如圖（3）的直角坐標(biāo)系中，即只要求出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因?yàn)辄c(diǎn) D在涵洞所成的拋物線jdl 二上，又由已知條件可得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，所以利用：3拋物線的函數(shù)關(guān)系式能夠進(jìn)一步算出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)。解：以AB的垂直平分線為y軸，以過(guò)點(diǎn)O的y軸的垂線為x軸，建立直 角坐標(biāo)系。y軸，開(kāi)口向下，所以可設(shè)它的這時(shí)，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱

4、軸為函數(shù)關(guān)系式為： y = ax2 (av 0)因?yàn)锳B與y軸相交于C點(diǎn)，所以CB =AB2=0.8(m)，又 0C = 2.4m，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0.8， 2.4)。因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(1)，得 一2.4= ax 0.82所以:15a=- 7所以，函數(shù)關(guān)系式是y=-字x2因?yàn)镺F= 1.5m，設(shè)FD = x1m(x1 0)，則點(diǎn)D坐標(biāo)為(x1 , - 1.5)。因?yàn)辄c(diǎn) D的坐標(biāo)在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(2),得一1.5=- 15x12x12 = 2 x1 = x1 =亠嚴(yán)不符4 555合假設(shè)，舍去，所以x1=血=5ED = 2FD = 2 x x1 = 2 x2x 3.1

5、621.26(m)5=52所以涵洞ED是5_ 10m,會(huì)超過(guò)1m。問(wèn)題3:畫(huà)出函數(shù)y= x2 x 3/4的圖象，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題。(1)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么；3當(dāng)x取何值時(shí)，y= 0?這里x的取值與方程x2 x 4= 0有什么關(guān)系(3) 你能從中得到什么啟發(fā)？教學(xué)要點(diǎn)1. 先讓學(xué)生回顧函數(shù)y= ax2 + bx + c圖象的畫(huà)法，按列表、描點(diǎn)、連線等步驟畫(huà)出函數(shù)3=x2 x 3的圖象。42 .教師引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象，回答(1)提出的問(wèn)1題，得到圖象與 x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(一2 , 0)和(2 0)。6 對(duì)于問(wèn)題(3)，教師組織學(xué)生分組討論、交流，達(dá)成共識(shí)：從“形”的方面看，函數(shù)y

6、= x2 x 的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為方程x2 x 3 = 0的解；從“數(shù)”的方面看，當(dāng)二次 函x2-x - 3 = 0的解。更一般數(shù)y= x2 x 4的函數(shù)值為0時(shí)，相對(duì)應(yīng)的自變量的值即為方程地，函數(shù)y= ax2 + bx + c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程ax2 + bx + c= 0的解；當(dāng)次函數(shù)y = ax2 + bx + c的函數(shù)值為0時(shí)，相對(duì)應(yīng)的自變量的值即為方程ax2+ bx + c= 0的解，這個(gè)結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。三、試一試根據(jù)問(wèn)題3的圖象回答下列問(wèn)題。當(dāng)x取何值時(shí)，yv 0?當(dāng)x取何值時(shí)，y 0?1313(當(dāng)一2v xv 2時(shí)，yv 0 ；當(dāng)

7、xv- 2或 x 時(shí)，y0)(2)能否用含有x的不等式來(lái)描述(1)中的問(wèn)題？(能用含有x的不等式采描述(1)中的問(wèn) 題，即x2-x 3v 0的解集是什么？x2 x-3 0的解集是什么？)44想一想：二次函數(shù)與一元二次不等式有什么關(guān)系 ？讓學(xué)生類比二次函數(shù)與一元二次不等式方程的關(guān)系，討論、交流，達(dá)成共識(shí)：(1) 從“形”的方面看，二次函數(shù) y= ax2 + bJ+ c在x軸上方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即 為一元二次不等式 ax2 + bx + c0的解；在x軸下方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo).即為一元二 次不等式ax2 + bx + cv 0的解。(2) 從“數(shù)”的方面看，當(dāng)二次函數(shù)y = ax2 + b

8、x + c的函數(shù)值大于 0時(shí)，相對(duì)應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式 ax2 + bx + c 0的解；當(dāng)二次函數(shù) y = ax2 + bx + c的函數(shù)值小于 0 時(shí)，相對(duì)應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式ax2 + bc + cv 0的解。這個(gè)結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系。四、 課堂練習(xí)：練習(xí)1、2。五、小結(jié)：1通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？有什么困惑？2. 若二次函數(shù)y= ax2 + bx + c的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，試 說(shuō)明，元二次方程 ax2 + bx + c= 0和一元二次不等式 ax2 + bx + c 0、ax2 + bx + cv 0的解的情況。六、作業(yè)：1. 二次函

9、數(shù)y = x2- 3x- 18的圖象與x軸有兩交點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離。2. 已知函數(shù)y = x2- x-2。(1) 先確定其圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再畫(huà)出圖象(2) 觀察圖象確定：x取什么值時(shí)，y= 0，y 0:yv 0。3. 學(xué)校建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA。O恰好在水 面中心，布置在柱子頂端 A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路 徑落下，且在過(guò) OA任意平面上的拋物線如圖 所示，建立直角坐標(biāo)系(如圖(6)，水流噴 出的高度y(m)與水面距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是 y=-x2+ |x +號(hào)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1) 花形柱子OA的高度；(2) 若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水不至于落在池