曲線積分有曲面積分課件

1、曲線積分有曲面積分一一. . 格林公式格林公式 二二. .平面上曲線積分與路徑無關的條件平面上曲線積分與路徑無關的條件 三三 . . 二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積 dyPxQQdyPdxDL yPxQ ,00 yxyxQdyPdxyxu曲線積分有曲面積分T xyoABLdxdyds LLdsQPQdyPdxcoscos ,),( Ldsyxf一一. .對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第一類曲線積分第一類曲線積分二、對坐標的曲線積分二、對坐標的曲線積分第二類曲線積分第二類曲線積分 LdyyxQdxyxP),(),(三、兩種曲線積分的關系三、兩種曲線積分的關系曲線積分有曲面積分DD一一

2、. 格林公式格林公式 平面平面單連通單連通與與復連通復連通區(qū)域的概念區(qū)域的概念:否則稱為否則稱為復連通復連通區(qū)域區(qū)域.單連通（無洞）單連通（無洞）復連通（有洞）復連通（有洞）當你沿這個方向行走時當你沿這個方向行走時, 若平面區(qū)域若平面區(qū)域內任一閉曲線所圍區(qū)域都屬于內任一閉曲線所圍區(qū)域都屬于D,D則稱則稱為為單連通單連通D區(qū)域。區(qū)域。LL平面區(qū)域平面區(qū)域的邊界曲線的邊界曲線D的的正向正向規(guī)定為規(guī)定為:L內靠近你的那一部分區(qū)域總在你的內靠近你的那一部分區(qū)域總在你的左側左側.D曲線積分有曲面積分定理定理1 dyPxQQdyPdxDL 分析分析: LQdyPdx LPdx LQdy dyPxQD dx

3、QD dyPD 只須證只須證: , dyPPdxDL 設閉區(qū)域設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線 圍成圍成,Ly,xQ,y,xP函數(shù)函數(shù)在在上有一階連續(xù)偏導數(shù)上有一階連續(xù)偏導數(shù) ,D則有則有格林格林(Green)公式公式其中其中是是L的取的取正向正向的整個邊界曲線。的整個邊界曲線。D因因 DLdxQQdy 曲線積分有曲面積分超過兩個。超過兩個。DyOx1L xy1 2L xy2 dyPD xxbadyyyxPdx21, dxyxPbaxx 21, LPdx 21,LLdxyxPdxyxP badxxxP1, abdxx,xP2 badxxxPxxP21, DLdyPPdx 所以所以證證

4、（1）的邊界曲線與平行于坐標軸的直線的交點不的邊界曲線與平行于坐標軸的直線的交點不假定區(qū)域假定區(qū)域D即區(qū)域即區(qū)域既是既是 X-型又是型又是 Y-型。型。Dba dxxxPxxPba 12, 曲線積分有曲面積分DyOx dxQD dxxyxQdydcyy 21, dcyydyyxQ21, LQdy 1,LdyyxQ2Ldyy,xQ cddyyyQ,1 dcdyyyQ,2 dcdyyyQyyQ,12 dxQQdyDL 所以所以1L2L yx2 cd dcdyyyQyyQ,12 yx1 曲線積分有曲面積分yOxAPMCBN1D2D3D321DDDD dyPxQD 1BACBAMCQdyPdx dyP

5、xQD 2ABBPAQdyPdx dyPxQD 3BCCNBQdyPdx dyPxQD 證畢證畢.若區(qū)域若區(qū)域（2）的邊界曲線與平行于坐標軸的直線的交點多于兩個的邊界曲線與平行于坐標軸的直線的交點多于兩個.DBACBAMCQdyPdxABBPAQdyPdxBCCNBQdyPdx BCCNBABBPABACBAMCQdyPdxLQdyPdx曲線積分有曲面積分解解,yxP2yPxQ 2x由格林公式得由格林公式得dyyydxxL32 dxD 2xxdydxx2102dxxx1034201102xxyx:D例例1 計算計算,dyyydxxL32其中其中2xy 是由曲線是由曲線Lxy 及及所圍所圍區(qū)域區(qū)

6、域的正向邊界曲線。的正向邊界曲線。DyOxD.yQ3畫草圖畫草圖,曲線積分有曲面積分例例2 計算計算,2dxdyeDy 其中其中 D 是以是以 O(0,0), A(1,1), B(0,1) 為為頂點的三角形閉區(qū)域頂點的三角形閉區(qū)域.xyDABo11解解, 0 P令令,2yxeQ yPxQ 2ye dxdyeDy 2 BOABOAydyxe2 OAydyxe2dxxex 102)1(211 e曲線積分有曲面積分證證 ,xyP2.xQ2yPxQ xx220由格林公式得由格林公式得dyxxydxL2200Dd 邊界邊界. 由格林公式得由格林公式得LdyyxdxyxDd 11 2ab 2, yxP解解

7、例例3.dyxxydxL022設設 是任意一條取正向的閉曲線是任意一條取正向的閉曲線,L證明證明Ldyyxdxyx例例4 計算計算, 其中其中12222byax為橢圓為橢圓L的正向的正向.yxQyOxD,yP1.xQ1曲線積分有曲面積分yOxA解解構造成封閉曲線構造成封閉曲線 ,由格林公式知由格林公式知,dymycosedxmyysinexOALx dmycoseycoseDxxDdm 2 m,yOA0:dymycosedxmyysinexOAx0020dxOAOALI2 m例例5 計算計算,dymycosedxmyysineILxx其中其中L是由點是由點的上半圓周的上半圓周. xyx2220

8、2,A00,O到點到點,OA添加輔助線添加輔助線，20:x曲線積分有曲面積分解解,22yxyP 當當022 yx時時, 2222222yxxyxxQ 22222yxxy yP （1）若）若,D, 00由格林公式得由格林公式得0DQPIdxy例例6 計算計算L,yxydxxdyI22其中其中為一條無重點分段光滑且不過原為一條無重點分段光滑且不過原L點的連續(xù)曲線點的連續(xù)曲線 ， 的方向為逆時針方向的方向為逆時針方向.L.22yxxQ yOxD設設所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為L,D曲線積分有曲面積分L（2）若）若,D,00添加輔助線添加輔助線2221ryx:L, 取順時針方向取順時針方向.1L1D, 由格林

9、公式得由格林公式得 122LLyxydxxdy 10Dd 122LyxydxxdyI, sincos:1 ryrxL 022sinsincoscos drrrrr 2 0 設設L所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為1D1L與與. 0 2: yOx曲線積分有曲面積分特別地，格林公式中特別地，格林公式中,則則LydxxdyDd 2 2所以所以 Lydxxdy21 例例7.求橢圓求橢圓tsinby, tcosax所圍圖形的面積。所圍圖形的面積。解解Lydxxdy21 2021dttsinatsinbtcosbtcosaab .xQ, yP若取若取yOx曲線積分有曲面積分yOxG二二.平面上曲線積分與路徑無關的條件平

10、面上曲線積分與路徑無關的條件2L1L恒有恒有21LLQdyPdxQdyPdx成立，成立，210LLQdyPdxQdyPdx210LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdx即即若對開區(qū)域若對開區(qū)域內任意兩點內任意兩點GBA、以及以及內從內從G的任意兩條曲線的任意兩條曲線,LL21、點點到點到點AB內與路徑無關內與路徑無關.LQdyPdx在在則稱曲線積分則稱曲線積分G曲線積分曲線積分LQdyPdx在在內與路徑無關內與路徑無關G其中其中為為C內任意閉曲線內任意閉曲線.G.QdyPdxC0等價于等價于BA曲線積分有曲面積分定理定理2導數(shù)導數(shù),yPxQ 證證,yPxQ 有有即曲線積分與路徑無關即

11、曲線積分與路徑無關.反證法反證法. 假設在點假設在點0M處處,yPxQ 不妨設不妨設0MyPxQ 存在存在,r0內恒有內恒有,2 yPxQ則則 CQdyPdx dyPxQD 2矛盾矛盾.證畢證畢y,xQ,y,xP在在單連通單連通區(qū)域區(qū)域設函數(shù)設函數(shù)內具有一階連續(xù)偏內具有一階連續(xù)偏G在在 內恒成立。內恒成立。G:若在若在內恒有內恒有G則對則對G內任意閉曲線內任意閉曲線,C:,0 在以在以0M為圓心為圓心, 以以 為半徑的圓域為半徑的圓域rDLQdyPdx在在內內與路徑無關的充要條件與路徑無關的充要條件是是G則曲線積分則曲線積分CPdxQdy0DQPdxy曲線積分有曲面積分解解, xePy yex

12、Q yP 在整個平面區(qū)域內曲線積分與路徑無關在整個平面區(qū)域內曲線積分與路徑無關, CBOCL101dxxdyyey20220223yey272 e例例8 計算計算Lyy,dyyxedxxe2為過點為過點其中其中L、1000,A,O三點所決定的圓周上的一段弧三點所決定的圓周上的一段弧 ,21,B為起點為起點,O為終點為終點.ByxeQy2 取折線取折線作為積分路徑作為積分路徑,OCBCyOxBAL曲線積分有曲面積分例例9 計算計算dyxyyxdxyxyI,22432132366解解2236xyyxQ,yxyP3262312yxyxQ yP 所以曲線積分與路徑無關。所以曲線積分與路徑無關。,yAC

13、2:,xCB3: CBACI31824dxx422954dyyy4232312327812yyxx236在整個在整個面內成立。面內成立。xOy取折線取折線.ACByOxBAC.x31: .y42:曲線積分有曲面積分 三三 . . 二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積 對可微函數(shù)對可微函數(shù),y,xuu 其全微分為其全微分為.dyyudxxudu問題問題:如何求出這個函數(shù)如何求出這個函數(shù)?y,xu定理定理3則則dyy,xQdxy,xP為某一函數(shù)為某一函數(shù)y,xu的全微分的的全微分的充要條件是充要條件是yPxQ 且且 ,00 yxyxQdyPdxyxu導導數(shù)，數(shù)，y,xQ,y,xP在單連通區(qū)域在

14、單連通區(qū)域內有一階連續(xù)偏內有一階連續(xù)偏G設函數(shù)設函數(shù) 其中其中00y,x為為內一定點。內一定點。Gdyy,xQdxy,xP如何判斷它是某個函數(shù)的全微分如何判斷它是某個函數(shù)的全微分?對對曲線積分有曲面積分證證 必要性必要性設存在某設存在某 u (x, y), . ),( yxQyu .2xQxyu xyuyxu 22 xQyP dyyxQdxyxPdu),(),( 使得使得則則),(yxPxu 從而從而,2yPyxu 曲線積分有曲面積分 ),(),(),(),(),(00 yxyxdyyxQdxyxPyxu這個積分寫成這個積分寫成.),(),(),(),(00 yxyxdyyxQdxyxP當起點

15、當起點),(000yxM給定時給定時, 這個積分的值由終點這個積分的值由終點 M (x, y) 所確定所確定.因此它是因此它是 x, y 的函數(shù)的函數(shù),記為記為下面證明下面證明.),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu 由偏導數(shù)的定義由偏導數(shù)的定義xyxuyxxuxux ),(),(lim0 ) ,() ,(00),(),(),(yxxyxdyyxQdxyxPyxxu充分性充分性設條件在設條件在G內成立內成立, 為起點為起點 M (x, y)為終點的曲線積分與路徑無關為終點的曲線積分與路徑無關.于是可把于是可把),(000yxM由定理由定理2知知,在區(qū)域在區(qū)域G內以內以曲線積分有曲面積分

16、從而從而 ),(),(),(),(),(),(yxxyxdyyxQdxyxPyxuyxxu xxxdxyxP),(),(yxxN),(000yxM),(yxMxyoG由定積分中值定理由定積分中值定理)10( ),(),(),( xyxxPyxuyxxu上式兩邊除以上式兩邊除以 x, 并令并令 x0取極限取極限,可得可得).,(yxPxu 同理可證同理可證),(yxQyu 因函數(shù)因函數(shù) P (x, y), Q (x, y) 都是連續(xù)的都是連續(xù)的,故函數(shù)故函數(shù) u (x, y)可微分可微分,并且并且 .),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu 證畢證畢. ),(),(),(),(),(00

17、yxyxdyyxQdxyxPyxu ) ,() ,(00),(),(),(yxxyxdyyxQdxyxPyxxu曲線積分有曲面積分yOxy,xBy,xD00y,xC dxyxPxx 00,yydyy,xQ0)( dyyxQyy 0,0 xxdxy,xP0是某個函數(shù)的全微分是某個函數(shù)的全微分, 并求出一個這樣的函數(shù)。并求出一個這樣的函數(shù)。解解, yxQ,xyP22.yPxyxQ2所以所以,ydyxdxxy22是某個函數(shù)的全微分。是某個函數(shù)的全微分。 ydyxdxxyyxuyx ,0,022, xdx00ydyxy 022221yx 例例10 驗證驗證:在整個在整個ydyxdxxy22面內面內,xOy在整個在整個面內成立。面內成立。xOy00y,xAy,xByOx注注. 若積分路線的起點不同若積分路線的起點不同,所得結果可能差一常數(shù)所得結果可能差一常數(shù). ),(),(),(),(),(00 yxyxdyyxQdxyxPyxu曲線積分有曲面積分例例11 并求出一個這樣的函數(shù)并求出一個這樣的函數(shù).解解 令令,22yxyP 22yx