考研數(shù)學(xué)一真題與解析

1、2014年考研數(shù)學(xué)一真題與解析一、選擇題18 小題每小題 4 分，共 32 分下列曲線有漸近線的是（ A ） yxsin x（B ）（ C） y x sin 1（D ）xyx 2sin xyx 2sin 1x【分析】只需要判斷哪個曲線有斜漸近線就可以【詳解 】對于1，可知 limy1 且 lim ( y1y x sinxx) lim sin0 ，所以有斜漸近線 y xxxxxx應(yīng)該選（ C）2設(shè)函數(shù)f ( x) 具有二階導(dǎo)數(shù)，g( x)f (0)(1x)f (1) x ，則在 0,1 上（）（ A ）當(dāng) f ( x)0 時， f ( x)g( x)（ B）當(dāng) f ( x)0 時， f ( x)

2、g( x)（ C ）當(dāng) f( x )0 時， f ( x)g( x)（D ）當(dāng) f( x)0 時， f ( x)g( x )【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法【詳解 1】如果對曲線在區(qū)間a,b 上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷如果對區(qū)間上任意兩點(diǎn) x1 , x2 及常數(shù) 01，恒有 f(1) x1x2(1) f ( x1 )f ( x2 ) ，則曲線是凸的顯然此題中 x10, x21,x ，則 (1) f ( x1 )f ( x2 )f (0)(1x ) f (1) xg( x) ，而f (1)x1x2f ( x) ，故當(dāng) f( x)0 時，曲線是凸的， 即 f(1) x

3、1x2(1) f ( x1 )f ( x2 ) ，也就是 f ( x) g( x) ，應(yīng)該選（ C）【詳解 2】如果對曲線在區(qū)間a,b 上凹凸的定義不熟悉的話，可令F ( x)f ( x)g( x)f ( x)f (0)(1x)f (1) x ，則 F ( 0) F (1)0 ，且 F ( x )f ( x) ，故當(dāng)f ( x)0 時，曲線是凸的，從而F ( x)F ( 0) F (1) 0 ，即 F ( x)f ( x) g( x)0 ，也就是f ( x)g( x) ，應(yīng)該選（ C）設(shè) f ( x) 是連續(xù)函數(shù)，則11y0dy1 y2f ( x, y)dy1x 101 x 2（） dxf (

4、 x, y)dydxf ( x, y)dy001011 x 100（）0 dx 0f ( x, y)dy1dx1 x2 f ( x, y)dy11(）2 dcossinf (r cos , r sin)drdcossin002011（）2 dcossinf (r cos ,r sin)rdrdcossin0020f (r cos , r sin )drf ( r cos , r sin )rdr【分析】此題考查二重積分交換次序的問題，關(guān)鍵在于畫出積分區(qū)域的草圖【詳解 】積分區(qū)域如圖所示如果換成直角坐標(biāo)則應(yīng)該是01 x211 xdx0f ( x, y)dy dxf ( x, y)dy，（ A ）

5、，（ B）100兩個選擇項(xiàng)都不正確；如果換成極坐標(biāo)則為112 dcossinf (r cos ,r sin ) rdrdcossinf (r cos ,r sin)rdr 0020應(yīng)該選（ D）若函數(shù)( xa1 cosxb1 sinx) 2 dxmin( x a cosx bsin x)2 dx ，則 a1 soc x b1nisxa ,b R（） 2 sinx（） 2cosx（） 2sin x（） 2 cosx【詳解 】注意x 2 dx23 ，cos2 xdxsin2 xdx，x cosxdxcosx sin xdx0 ，32x sin xdx2，所以(x ax bsinx2 dx2 3(a

6、 2b2) 4bcos)32所以就相當(dāng)于求函數(shù)a 2b24b 的極小值點(diǎn)， 顯然可知當(dāng) a0, b2 時取得最小值， 所以應(yīng)該選 （A ）0ab0a00b行列式等于0cd0c00d（ A ） ( adbc)2（B ）( adbc)2（ C） a 2d 2b2c2（D ）a 2d 2b2c2【詳解 】應(yīng)該選（ B）6設(shè)1, 2 , 3 是三維向量， 則對任意的常數(shù)k,l ，向量1k3 ， 2l3 線性無關(guān)是向量1 , 2 , 3線性無關(guān)的（ A ）必要而非充分條件（B ）充分而非必要條件（ C）充分必要條件（D ） 非充分非必要條件【詳解 】若向量1 ,2 ,3 線性無關(guān)，則10（1k3 ，2l

7、3 ）(1 , 2 , 3 ) 01( 1 ,2 , 3 )K ，對任意的常數(shù) k, l ，矩陣 K 的秩都等kl于 2，所以向量1 k 3 ， 2 l100而當(dāng)10,21,300003 一定線性無關(guān)時，對任意的常數(shù)k,l ，向量1k3 ，2l3 線性無關(guān)，但1 ,2 ,3 線性相關(guān)；故選擇（A）7設(shè)事件 A，B 想到獨(dú)立，P( B)0.5, P( AB)0.3 則 P( BA)（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（ D） 0.4【詳解】 P( AB)0.3P( A)P( AB )P( A)P( A)P( B)P( A)0.5P( A)0.5P( A) 所以 P( A)0.6 ， P( B

8、A)P( B)P( AB )0.50.5P( A)0.2 故選擇（ B）8設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 1 , X 2 相互獨(dú)立，且方差均存在，X 1 , X 2 的概率密度分別為f1 ( x), f 2 ( x) ，隨機(jī)變量 Y1 的概率密度為fY1 ( y)1 ( f1 ( y) f 2 ( y) ，隨機(jī)變量 Y2 1 ( X 1 X 2 ) ，則22（A） EY1EY2 , DY1DY2（B） EY1EY2, DY1DY2（C）EY1EY 2, DY1DY2（D） EY1EY2 , DY1DY2【詳解 】 EY11y( f1( y) f2( y)dy1EX1 EX 2 E(Y2)，22EY12 1

9、y2 ( f1 ( y) f 2 ( y)dy1EX121EX 22，222故應(yīng)該選擇（ D ）二、填空題（本題共6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分. 把答案填在題中橫線上）9曲面 zx 2 (1sin y)y2 (1sin x) 在點(diǎn) (1,0,1) 處的切平面方程為【詳解】曲面 zx 2 (1 sin y)y2 (1sin x) 在點(diǎn) (1,0,1) 處的法向量為zx,zy,|(2, , )，1 (1,0 ,1)1 1所以切平面方程為 2( x 1)( 1)( y0)( 1)( z1)0 ，即 2xyz 10 10設(shè) f ( x) 為周期為 4 的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f ( x)2( x1

10、), x0,2 ，則 f (7)【 詳 解 】 當(dāng) x0,2 時 ， f ( x)2( x 1)dx x 22 x C ， 由 f (0)0可知C 0，即f ( x)x 22 x ； f ( x) 為周期為4 奇函數(shù)，故f (7)f ( 1)f (1) 111微分方程 xyy(ln xln y)0 滿足 y(1)e3 的解為【詳解 】方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為dyy ln y ，這是一個齊次型方程，設(shè)uy ，得到通解為yxeCx 1 ，dxxxx將初始條件 y(1)e3 代入可得特解為 yxe2 x1 12設(shè) L 是柱面 x2y21 和平面 yz 0 的交線，從 z 軸正方向往負(fù)方向看是逆時針方向，則曲

11、線積分zdxydzLdydzdzdxdxdy【詳解 】由斯托克斯公式PdxQdyRdzxyz可知LPQRzdxydzdydzdzdxdxdydxdyLD xyyz0( x, y) | x 2y21 其中 :y2取上側(cè)， D xyx 2113 設(shè) 二 次 型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12x222ax1 x34x2 x3 的 負(fù) 慣 性 指 數(shù) 是 1 ， 則 a 的 取 值 范 圍是【詳解 】由配方法可知由于負(fù)慣性指數(shù)為1，故必須要求 4a 20，所以 a 的取值范圍是2,2 14設(shè)總體 X 的概率密度為 f ( x, )2 x ,x2是未知參數(shù)， X 1, X 2 , X n

12、是來自3 2，其中0,其它n總體的簡單樣本，若 CX i2 是2 的無偏估計(jì)，則常數(shù) C =i 1x 2 2x2 dx5nCn 5n【詳解】 E(X2)2 ，所以 E C X i22，由于 CX i2 是2 的無偏估32i 12i 1計(jì)，故 Cn521， C25n三、解答題15（本題滿分10 分）x12 (e t1) t )dt(t1求極限 limx1 )x2 ln(1x【分析】先用等價(jià)無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極限【詳解 】16（本題滿分10 分）設(shè)函數(shù) yf ( x) 由方程 y3xy 2x 2 y60 確定，求f ( x) 的極值【詳解 】解：在方程兩邊同時對x 求導(dǎo)

13、一次，得到(3 y22xyx 2 ) y ( y22 xy)0 ，（）即令 dy0 及 y3xy2 x2 y 6 0 ，得到函數(shù)唯一駐點(diǎn) x 1, y2 dx在（）式兩邊同時對x 求導(dǎo)一次，得到（ (6 yy 4 y 2 xy4 x) y (3 y22xyx 2 ) y2 y0把 x 1, y2, y (1)0 代入，得到 y (1)40 ，9所以函數(shù) yf ( x) 在 x1 處取得極小值 y2 17（本題滿分 10 分）設(shè) 函 數(shù) f (u) 具 有 二 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， zf (ex cosy) 滿 足2 z2 z(4z exc o sy)e2 x 若x 2y2f (0)0, f

14、(0)0 ，求 f (u) 的表達(dá)式【詳解 】設(shè) ue x cosy ，則 zf ( u)f ( e x cosy) ，zx cos y2 z2 x2xxf ( u)e,x 2f (u)ecosyf ( u)ecosy ;zf ( u)exsin y,2 zf (u)e2 xsin2yf (u)excosy；yy2由條件2 z2 zx2 x，x 2y2( 4zecosy)e可知這是一個二階常用系數(shù)線性非齊次方程對應(yīng)齊次方程的通解為：f (u)C1e2uC 2e 2 u 其中 C1 , C2為任意常數(shù)對應(yīng)非齊次方程特解可求得為y1 u *4故非齊次方程通解為f ( u)C1 e2uC 2e 2

15、u1 u 4將初始條件 f (0)0, f ( 0)0 代入，可得 C11 ,C211616所以 f ( u) 的表達(dá)式為 f ( u)1e2 u1 e 2 u1 u 1616418（本題滿分 10 分）設(shè)曲面 : z x 2y2 ( z 1) 的上側(cè)，計(jì)算曲面積分：【詳解 】z 1設(shè)1 :2y2取下側(cè)，記由,1 所圍立體為，則高斯公式可得x1z1( x1) 3 dydz( y1)3 dzdx(z1)dxdy(11)dxdy0 ，在1 :2y2取下側(cè)上，x111所以( x 1) 3 d( y 1) 3 d(z1)d=( x1) 3 dydz( y1)3 dzdx( z1)dxdy4y119（本

16、題滿分 10 分）設(shè)數(shù)列 an, bn滿足 0 an,0bn， cosanan cosbn 且級數(shù)bn 收斂22n 1（ 1）證明 lim an0；n（ 2）證明級數(shù)an收斂n 1 bn【詳解 】（ 1）證明：由 cosanancosbn ，及 0an,0bn可得220a ncosancosbn，所以 0anbn，22由于級數(shù)bn 收斂，所以級數(shù)an 也收斂，由收斂的必要條件可得 lim an 0 n 1nn 1（ 2）證明：由于 0an,0 bn，22所以 sin anbnanbn ,sin bn anbn an2222由于級數(shù)bn 收斂，由正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法可知級數(shù)an 收斂n1n 1

17、bn20（本題滿分11 分）1234設(shè) A0111，E 為三階單位矩陣1203（ 1） 求方程組 AX 0 的一個基礎(chǔ)解系；（ 2） 求滿足 AB E 的所有矩陣【詳解 】（ 1）對系數(shù)矩陣A 進(jìn)行初等行變換如下：1234123412341001A0111011101110102，1203043100130013得到方程組 AX0 同解方程組1得到 AX0 的一個基礎(chǔ)解系2131x1y1z1（ 2）顯然 B 矩陣是一個 43x2y2z2矩陣，設(shè) By3z3x3x4y4z4對矩陣 ( AE ) 進(jìn)行進(jìn)行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B 對應(yīng)的三列分別為x121y161z111x21c12y23

18、c22z21c32，x313y343z313x401y401z401即滿足 ABE 的所有矩陣為其中 c1 , c2 , c3 為任意常數(shù)21（本題滿分11 分）111001111與002證明 n 階矩陣相似11100n111001【詳解 】證明：設(shè) A111002， B11100n分別求兩個矩陣的特征值和特征向量如下：111EA111n 1 ，(n)111所以 A 的 n 個特征值為1n,23n0 ；0而且 A 是實(shí)對稱矩陣，所以一定可以對角化且A ；0所以 B 的 n 個特征值也為1n, 23n 0 ；對于 n 1重特征值0 ，由于矩陣 (0EB)B 的秩顯然為1，所以矩陣 B 對應(yīng) n 1重特征值0的特征向量應(yīng)該有 n 1個線性無關(guān)， 進(jìn)一步矩陣B 存在 n 個線性無關(guān)的特征向量，即矩陣 B 一定可以對0角化，且 B 0111001111002從而可知 n 階矩陣與相似11100n22（本題滿分 11 分）設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布為 P( X1)P( X2)1i 的條件下，隨機(jī)變量Y 服從均勻分布，在給定 X2U ( 0, i ), i 1,2 （ 1） 求 Y 的分布函數(shù)；（ 2） 求期望 E (Y ).【詳解 】（ 1）分布函數(shù)當(dāng) y 0 時， F ( y) 0