20202021高中數(shù)學(xué)第二章平面向量3.2平面向量基本定理學(xué)案北師大版必修4經(jīng)典實用

1、3.2平面向量基本定理內(nèi)容要求1.理解平面向量基本定理及其意義(重點(diǎn)).2.體驗定理的形成過程，能夠運(yùn)用基本定理解題(難點(diǎn))知識點(diǎn)1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：把不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底【預(yù)習(xí)評價】(1)0能不能作為基底？提示由于0與任何向量都是共線的，因此0不能作為基底(2)平面向量的基底唯一嗎？提示不唯一，只要兩個向量不共線，都可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底題型一對向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，

2、那么下列說法中不正確的是_e1e2(、r)可以表示平面內(nèi)的所有向量；對于平面內(nèi)任一向量a，使ae1e2的實數(shù)對(，)有無窮多個；若向量1e11e2與2e12e2共線，則有且只有一個實數(shù)，使得1e11e2(2e12e2)；若存在實數(shù)，使得e1e20，則0.解析由平面向量基本定理可知，是正確的對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的對于，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即12120時，這樣的有無數(shù)個答案規(guī)律方法考查兩個向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來【訓(xùn)

3、練1】設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1e2_a_b.解析由題意，設(shè)e1e2manb.因為ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案【例2】設(shè)d為abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()a. b.c. d.解析由題得.故選a.答案a【遷移1】在例題中將“3”改為“”試用、表示.解2.【遷移2】在例題中將“3”改為“3”試用，表示向量.解由題.規(guī)律方法應(yīng)用平面向量基本定理時的關(guān)注點(diǎn)(1)充分利用向量的加法、減法的法則，在平行四邊形、三角

4、形中確定向量的關(guān)系(2)應(yīng)用數(shù)乘向量時特別注意線段的比例關(guān)系，如中點(diǎn)、三等分點(diǎn)等(3)一個重要結(jié)論：設(shè)a、b是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，若x1ay1bx2ay2b，則有題型三平面向量基本定理的應(yīng)用【例3】如圖，abc中，點(diǎn)d是ac的中點(diǎn)，點(diǎn)e是bd的中點(diǎn)，設(shè)a，c.(1)用a，c表示向量；(2)若點(diǎn)f在ac上，且ac，求afcf.解(1)ca，(ca)，()a(ca)ca.(2)設(shè)，a(ca)(1)ac.又ac，afcf41.【訓(xùn)練2】設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若

5、4e13e2ab，求，的值(1)證明設(shè)ab(r)，則e12e2(e13e2)由e1，e2不共線得即不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底(2)解設(shè)cmanb(m、nr)，則3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.即c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.即故所求、的值分別為3和1.課堂達(dá)標(biāo)1設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()ae1e2和e1e2b3e14e2和6e18e2ce12e2和2e1e2de1和e1e2解析b中，6e18e22(3e14e2)，(6e

6、18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作為基底答案b2.如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則等于()aab b.abc.ab d.ab解析()ab.答案b3如圖，在平行四邊形abcd中，e和f分別是邊cd和bc的中點(diǎn)，若，其中、r，則_.解析設(shè)a，b，則ab，ab，又ab，()，即，.答案4已知g為abc的重心，設(shè)a，b.則用a、b表示向量_.解析如圖，連接ag并延長，交bc于點(diǎn)d，則d為bc的中點(diǎn)，()()ab.答案ab5設(shè)m、n、p是abc三邊上的點(diǎn)，它們使，若a，b，試用a，b將、表示出來解如圖，()ba.同理可得ab.()ab.課堂小結(jié)1對基底的理解(1)基底的特

7、征基底具備兩個主要特征：一組基底是兩個不共線向量；基底的選擇是不唯一的平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內(nèi)表示所有向量的一組基底的條件(2)零向量與任意向量共線，故基底中的向量不是零向量2準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當(dāng)?shù)囊唤M基底，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決.基礎(chǔ)過關(guān)1設(shè)o是平行四邊形abcd兩對角線的交點(diǎn)，下列向量組：與；與；與；與，其中可作為表示這個平行四邊形所在

8、平面內(nèi)所有向量的基底的是()abcd解析由基底的定義知，中兩向量不共線，可以作為基底答案b2如圖所示，在矩形abcd中，5e1，3e2，則等于()a.(5e13e2) b.(5e13e2)c.(3e25e1) d.(5e23e1)解析()(5e13e2)答案a3在四邊形abcd中，a2b，4ab，5a3b，則四邊形abcd的形狀是()a長方形b平行四邊形c菱形d梯形解析8a2b2 ，故為梯形答案d4已知10，20，e1，e2是一組基底，且a1e12e2，則a與e1_，a與e2_(填共線或不共線)解析若a與e1共線，則存在實數(shù)使ae11e12e2，則e1與e2共線，這與e1，e2不共線矛盾答案不

9、共線不共線5已知e1、e2不共線，ae12e2，b2e1e2，要使a、b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實數(shù)的取值范圍為_解析若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線ae12e2，b2e1e2，由akb得4.答案(，4)(4，)6.如圖，已知abc中，d為bc的中點(diǎn)，e，f為bc的三等分點(diǎn)，若a，b，用a、b表示、.解a(ba)ab；a(ba)ab；a(ba)ab.7設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)已知c3e14e2，以a，b為基底，表示向量c.(2)若4e13e2ab，求，的值解(1)設(shè)cab，則3e14e2(e12e2)(e13e2)()e1(32)e2，所以

10、解得所以ca2b.(4)4e13e2ab(e12e2)(e13e2)()e1(32)e2，所以解得3，1.能力提升8設(shè)向量e1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，則實數(shù)y的值為()a3b4cd解析因為3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因為e1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以解得故選b.答案b9若d點(diǎn)在三角形abc的邊bc上，且4rs，則3rs的值為()a. b. c. d.解析4rs，()rs，r，s.3rs.答案c10在abc所在平面上有一點(diǎn)p，滿足4，則pbc與pab的面積比為_解析4a，所以42，即p在ac邊上，且ap2pc，所以pbc與pab的面積比為12.答案1211設(shè)d，e分別是abc的邊ab，bc上的點(diǎn)，adab，bebc，若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_解析易知()，所以12.答案12.如圖所示，在oab中，a，b，m，n分別是邊oa，ob上的點(diǎn)，且a，b，設(shè)與交于點(diǎn)p，以a、b為基底表