第1章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) (總學(xué)時(shí)：6學(xué)時(shí))

1、緒 論自從1965年庫(kù)利(Cooley)和圖基 (Tukey) 在“計(jì)算數(shù)學(xué)”(Mathematics of Computation)上發(fā)表了“用機(jī)器計(jì)算復(fù)序列傅里葉級(jí)數(shù)的一種算法”即“快速傅里葉變換算法”以來(lái)，一門(mén)新興學(xué)科數(shù)字信號(hào)處理 (Digital Signal Processing，DSP) 的發(fā)展就拉開(kāi)了序幕。隨著信息學(xué)科、計(jì)算機(jī)學(xué)科以及電子技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理學(xué)科得以蓬勃發(fā)展，逐漸形成了自己的學(xué)科領(lǐng)域和一整套較為完整的理論體系。數(shù)字信號(hào)處理就是把信號(hào)用數(shù)字或符號(hào)表示成序列，然后將序列通過(guò)計(jì)算機(jī)或通用(專(zhuān)用)信號(hào)處理設(shè)備，用數(shù)字的數(shù)值計(jì)算方法處理，以達(dá)到提取有用信息的目的。通

2、常，數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)由A /D轉(zhuǎn)換器、數(shù)字信號(hào)處理器、D/A轉(zhuǎn)換器三大部分組成，如圖1所示。A/D轉(zhuǎn)換器(亦稱(chēng)為模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器)的功能就是將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)序列，數(shù)字信號(hào)處理器的功能就是將數(shù)字信號(hào)序列按預(yù)定的要求進(jìn)行加工處理，得到新的數(shù)字信號(hào)序列，而D/A轉(zhuǎn)換器(亦稱(chēng)為數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換器)則是將數(shù)字信號(hào)序列轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)。圖1 數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的簡(jiǎn)單方框圖在數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中，數(shù)字信號(hào)處理器是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的核心部分。它可以是數(shù)字計(jì)算機(jī)、微處理機(jī)、數(shù)字信號(hào)處理芯片(如TI (Texas Instruments) 公司的TMS320系列芯片) 或數(shù)字硬件組成的專(zhuān)用處理機(jī)。若數(shù)字信號(hào)處理器是數(shù)

3、字計(jì)算機(jī)或微處理機(jī)，則對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行的預(yù)期處理是通過(guò)軟件編程來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這種實(shí)現(xiàn)方法稱(chēng)為軟件實(shí)現(xiàn)。若數(shù)字信號(hào)處理器是數(shù)字信號(hào)處理芯片或數(shù)字硬件組成專(zhuān)用處理機(jī)，則稱(chēng)為硬件實(shí)現(xiàn)，其特點(diǎn)是處理速度快，能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)信號(hào)處理。目前，最為流行的數(shù)字信號(hào)處理器就是通用數(shù)字信號(hào)處理芯片，它是專(zhuān)為信號(hào)處理設(shè)計(jì)的芯片，有專(zhuān)門(mén)執(zhí)行信號(hào)處理算法的硬件，例如乘法累加器、流水線(xiàn)工作方式、并行處理、多總線(xiàn)、位翻轉(zhuǎn)(倒位序)硬件等，同時(shí)又有專(zhuān)為信號(hào)處理使用的指令。采用該信號(hào)處理器既有實(shí)時(shí)的優(yōu)點(diǎn)，又有用軟件實(shí)現(xiàn)的多用性?xún)?yōu)點(diǎn)，是一種重要的數(shù)字信號(hào)處理實(shí)現(xiàn)方法。與模擬信號(hào)處理系統(tǒng)相比，數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)具有以下一些明顯的優(yōu)點(diǎn)：(1)精度

4、高：模擬網(wǎng)絡(luò)的精度由元器件決定，模擬元器件的精度很難達(dá)到10-3以上，而數(shù)字系統(tǒng)只在14位字長(zhǎng)就可達(dá)到10-4的精度。在高精度系統(tǒng)中，有時(shí)只能采用數(shù)字系統(tǒng)。(2)靈活性高：數(shù)字系統(tǒng)的性能主要由乘法器的系數(shù)決定，而系數(shù)是存放在系數(shù)存儲(chǔ)器中的，因而只需改變存儲(chǔ)的系數(shù)就可得到不同的系統(tǒng)，比改變模擬系統(tǒng)方便得多。由于數(shù)字信號(hào)可無(wú)損地存儲(chǔ)在磁盤(pán)上，因而可隨時(shí)傳送，可在遠(yuǎn)端脫機(jī)處理，另外，時(shí)間可以倒置、壓縮或擴(kuò)張。(3)可靠性強(qiáng)：由于數(shù)字系統(tǒng)只有兩個(gè)信號(hào)電位“0”和“1”，因而受周?chē)h(huán)境的溫度及噪聲的影響較小。而模擬系統(tǒng)的各元器件都有一定的溫度系數(shù)，且電平是連續(xù)變化的，易受溫度、噪聲、電磁感應(yīng)等的影響。(

5、4)容易大規(guī)模集成：數(shù)字部件具有高度規(guī)范性，便于大規(guī)模集成、大規(guī)模生產(chǎn)。另外，數(shù)字信號(hào)處理還具有時(shí)分復(fù)用、可獲得高性能指標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)二維甚至多維信號(hào)的處理等優(yōu)點(diǎn)。正是由于數(shù)字處理信號(hào)具有以上眾多優(yōu)越性，使數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)在語(yǔ)音處理、圖像處理、工業(yè)控制與自動(dòng)化、通信等各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。數(shù)字信號(hào)處理學(xué)科主要涉及(1)離散時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)分析；(2)離散時(shí)間信號(hào)時(shí)域分析及頻域分析、離散傅里葉變換(DFT)理論；(3)信號(hào)采集，包括A/D，D/A技術(shù)等；(4)數(shù)字濾波技術(shù)；(5)譜分析與快速傅里葉變換(FFT)，快速卷積與相關(guān)算法；(6)自適應(yīng)信號(hào)處理；(7)估計(jì)理論，包括功率譜估計(jì)及相關(guān)函數(shù)估

6、計(jì)等；(8)信號(hào)的壓縮，包括語(yǔ)音信號(hào)與圖像信號(hào)的壓縮；(9)信號(hào)建模，包括AR，MA，ARMA，CAPON，PRONY等各種模型；(10)其它特殊法(同態(tài)處理、抽取與內(nèi)插、信號(hào)重建等)；(11)數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)；(12)數(shù)字信號(hào)處理的應(yīng)用等眾多的理論和技術(shù)。這些理論和技術(shù)隨著電子技術(shù)的發(fā)展，在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也隨著信息學(xué)科、計(jì)算機(jī)學(xué)科以及電子技術(shù)的發(fā)展，其內(nèi)容又在不斷增加、擴(kuò)充。作為基礎(chǔ)理論教材，不可能涉及數(shù)字信號(hào)處理的全部?jī)?nèi)容。我們主要討論數(shù)字信號(hào)處理的基本理論和方法，內(nèi)容涉及信號(hào)采集與重構(gòu)、離散時(shí)間系統(tǒng)分析、離散時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析和頻域分析、離散傅里葉變換(DFT)理論、快

7、速傅里葉變換(FFT)，快速卷積與相關(guān)算法、數(shù)字濾波技術(shù)等。另外，由于在數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)時(shí)，無(wú)論是用專(zhuān)用硬件還是用計(jì)算機(jī)軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)，其數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的有關(guān)參數(shù)以及運(yùn)算過(guò)程中的結(jié)果都是以二進(jìn)制數(shù)表示，并存儲(chǔ)在有限字長(zhǎng)的存儲(chǔ)單元中，這種有限精度表示與有限精度運(yùn)算處理會(huì)給理想數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)帶來(lái)誤差。因此，數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)，也是本書(shū)所要討論的內(nèi)容。附錄B 專(zhuān)門(mén)安排了MATLAB與數(shù)字信號(hào)處理仿真這部分內(nèi)容，詳細(xì)介紹了相關(guān)函數(shù)命令的功能和基本使用方法，并結(jié)合各章的內(nèi)容，給出了大量的實(shí)例與MATLAB仿真程序，以便幫助大家更好地理解和掌握數(shù)字信號(hào)處理的基本理論和基本實(shí)現(xiàn)方法。第1章 離散

8、時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)是信息的載體，是信息的物理表現(xiàn)形式，它通常是一個(gè)自變量或幾個(gè)自變量的函數(shù)。如果信號(hào)僅用一個(gè)自變量表示，則稱(chēng)為一維信號(hào)，如語(yǔ)音信號(hào)；如果用兩個(gè)以上的自變量表示，則稱(chēng)為多維信號(hào)，如圖像信號(hào)。對(duì)一維信號(hào)，人們習(xí)慣用時(shí)間變量來(lái)刻畫(huà)。因此，根據(jù)信號(hào)在任意時(shí)刻的取值是否能精確確定，信號(hào)可分為確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)。按時(shí)間變量取值形式，信號(hào)可分為連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)。連續(xù)時(shí)間信號(hào)是指信號(hào)的時(shí)間變化范圍是連續(xù)的。連續(xù)時(shí)間信號(hào)通常也稱(chēng)為模擬信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)是指信號(hào)的時(shí)間變化是不連續(xù)的，而是離散值。若將離散時(shí)間信號(hào)的幅值量化，就能得到數(shù)字信號(hào)。用于處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱(chēng)

9、連續(xù)系統(tǒng))，用于處理離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱(chēng)為離散時(shí)間系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱(chēng)離散系統(tǒng))。本書(shū)的基礎(chǔ)理論均以一維、確定的離散時(shí)間信號(hào)和離散系統(tǒng)為研究對(duì)象。1.1離散時(shí)間信號(hào)序列1.1.1 離散時(shí)間信號(hào)與序列的運(yùn)算1離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)是指信號(hào)的時(shí)間變化范圍是連續(xù)的，離散時(shí)間信號(hào)是指信號(hào)的時(shí)間變化是不連續(xù)的，而是離散值。通常，離散時(shí)間信號(hào)可以通過(guò)對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)等間隔抽樣來(lái)獲取。例如，對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行等間隔抽樣，即 (1-1-1)抽樣間隔為，得到信號(hào)在不同時(shí)刻上的取值(為整數(shù))，這些抽樣值構(gòu)成的序列即為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)序列。為了描述方便，將序列習(xí)慣性表示為。注意：x(n)只在n為整數(shù)時(shí)才有意義，不是整數(shù)時(shí)無(wú)

10、定義。離散時(shí)間信號(hào)可以用圖形來(lái)表示。例如離散時(shí)間信號(hào) ，用圖形表示，如圖1-1所示： 圖1-1離散時(shí)間信號(hào)的圖形表示由于x(n)只在n為整數(shù)時(shí)才有意義，不是整數(shù)時(shí)無(wú)定義。因此，在表示序列的圖形中不能將各個(gè)點(diǎn)用線(xiàn)連接起來(lái)。2序列的運(yùn)算序列的運(yùn)算通常包括移位、和、積、時(shí)間尺度變換、翻褶、卷積和等，序列通過(guò)運(yùn)算后將生成新序列。(1)移位設(shè)某一序列為x(n)，當(dāng)m>0時(shí)，它的移位序列x(nm)是由序列x(n)延時(shí)或右移m位形成的新序列，稱(chēng)為x(n)的延時(shí)序列。而x(nm)是由x(n)超前或左移m位形成的，稱(chēng)為x(n)的超前序列。當(dāng)m<0時(shí)，則相反。如圖1-2所示，(a)圖表示的是序列x(n

11、)，(b)圖表示的是x(n2)，(c)圖表示的是x(n2)。 圖1-2 序列的移位 (2) 和兩序列的和是指同序號(hào)n(或同時(shí)刻)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加而構(gòu)成一個(gè)新的序列，表示為：例1-1序列x(n)和y(n) 如圖1-3(a)、(b)所示。求兩個(gè)序列的和。解：由圖知，z(2)=x(2)y(2)0+1=1，z(1)=x(1)y(1)1+1=2，z(5)=x(5)y(5)0+(0.5)=0.5， 其余的序列和為0。所得新序列y(n)=x(n)+z(n)如圖1-3(c)所示。圖 1-3 序列的和(3) 積兩序列的積是指同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。表示為：例1-2求例1-1中兩序列x(n)與y(n)的

12、積。解：z(2)=x(2)y(2)0×10，z(1)=x(1) y(1)1×11， z(5)=x(5) y(5)0×(0.5)0其余的序列積為0。所得結(jié)果如圖1-4所示。 圖1-4 序列的積(4) 時(shí)間尺度變換序列x(n)的時(shí)間尺度變換序列為x(mn)或，其中m為正整數(shù)。注意對(duì)，當(dāng)為整數(shù)時(shí)才有定義。例如當(dāng)m=2時(shí)，x(2n)是x(n)序列每隔2點(diǎn)抽取一點(diǎn)形成的，稱(chēng)x(2n)是x(n)的抽取序列。而是x(n)序列每2點(diǎn)之間插入一點(diǎn)形成的，稱(chēng)是x(n)的插值序列。序列x(n)和x(2n)的波形如圖1-5所示。 1-5 序列的抽取 1-6 序列的翻褶(5) 翻褶x(n)

13、是x(n)的翻褶序列，它是以n0的縱軸為對(duì)稱(chēng)軸將序列x(n)加以翻褶形成的。x(n)和x(n)的波形如圖1-6所示。設(shè)y(n)= x(n)，可以看出圖中y(0)= x(0)，y(1)= x(1)，y(1)= x(1)等。(6) 卷積和兩序列的卷積和是指兩序列作如下運(yùn)算時(shí)，稱(chēng)序列y(n)為序列x(n)與h(n)的卷積和。 (1-1-2)通常表示為y(n)=x(n)*h(n)，符號(hào)“*”表示卷積和運(yùn)算，即。從定義式(1-1-2)可知，卷積和的運(yùn)算包含了四種序列的運(yùn)算：翻褶、移位、相乘、相加。因此，用圖形求解卷積和可按以下步驟進(jìn)行。翻褶：先將x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并將h(m)以

14、m0的縱軸為對(duì)稱(chēng)軸翻褶形成h(m)。移位：將h(m)移位n (設(shè)n為某一給定值)，得到h (nm)。當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，h(m)右移n位。當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)，h(m)左移n位。相乘：將h (nm)和x(m)的相同時(shí)刻(m)的序列值對(duì)應(yīng)相乘，得到序列的積x(m)h (nm)。相加：將序列相乘后得到的積序列中的所有的序列值相加，就得到第n個(gè)序列值y(n)。改變n，重復(fù)步，求得<n<區(qū)間上所有對(duì)應(yīng)的序列值y(n)，即得到序列y(n)。例1-3已知如下兩個(gè)序列：當(dāng)3n3時(shí)，x(n)3,11,7,0,1,4,2；其它n，x(n)0；當(dāng)1n4時(shí)，h(n)2,3,0,5,2,1；其它n，h(n)0；求兩

15、序列的卷積和。解：翻褶：先在坐標(biāo)上作出x(m)和h(m)，并將h(m) 翻褶形成序列h(m)，波形如圖1-7(a)所示。移位、相乘和累加。討論n，分三種情況：情況1：n4。h(m)左移n位，h(nm) 和x(m)的非零值不重疊，此時(shí)兩序列的積x(m)h(nm)所得的序列值全為零，如圖1-7(b)所示，因此，這些序列值相加后，其和為零，即y(n)=0， n4注意：y(n)的第一個(gè)非零點(diǎn)是由序列x(n)和h(n)的起始位置決定，即n=(3)(1)=4，最后一個(gè)非零點(diǎn)是由序列x(n)和h(n)的終止位置決定，即n=34=7。情況2 4n7。隨著n的不斷增大，h (nm)不斷右移，h(nm) 和x(m

16、)的非零值部分將部分或全部重疊。如n1時(shí)，3m2區(qū)間的h(nm) 和x(m)序列值部分重疊，如圖1-7(c)所示，因此同理可得：當(dāng)4n7時(shí)，。情況3: n7。h(m)右移n位，h(nm) 和x(m)的非零值不重疊，故y(n)=0，n7綜上，當(dāng)4n7時(shí)，其它n，y(n)=0。所得的卷積和如圖1-7(d)所示。 (a) (b)(c) (d)圖1-7 x(n)和h(n)的卷積和圖解1.1.2 序列的能量、周期性以及幾種常用序列1序列的能量序列x(n)的能量E定義為序列各抽樣值的平方和。 (1-1-3)可以看出，序列的能量是定義在無(wú)窮區(qū)間內(nèi)的。2序列的周期性如果對(duì)所有的n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使得：

17、 (1-1-4)即序列x(n)移N位后其值不變，則稱(chēng)序列x(n)是周期性序列，且周期為N。例如，形如正弦的序列，如圖1-8所示，它滿(mǎn)足，說(shuō)明是周期為16的周期序列。 圖1-8 正弦序列(虛線(xiàn)表示正弦序列的包絡(luò))但值得注意的是，形如正弦的序列不一定都是周期序列。我們知道，連續(xù)正弦信號(hào)具有周期性，其信號(hào)的頻率為，模擬角頻率為，則信號(hào)的周期。如果這一正弦信號(hào)被以抽樣間隔T等間隔抽樣，那么得到正弦序列： (1-1-5)簡(jiǎn)寫(xiě)為： (1-1-6)其中為數(shù)字角頻率。式(1-1-6)所表示的正弦序列是否一定具有周期性呢？回答是不一定，它具有周期性是有條件的。設(shè)正弦序列 (1-1-7)則： 如果有，則要求，即

18、(1-1-8)式中k與N均取整數(shù)，且k的取值要保證N是最小的正整數(shù)，滿(mǎn)足這些條件，正弦序列才是以N為周期的周期序列，否則該正弦序列是非周期序列。也就是說(shuō)，正弦序列具有周期性的條件是必須為整數(shù)。例1-4 試判斷下列正弦序列的周期性，若為周期序列，求出該序列周期。 解： 由于，因此，該正弦序列為周期序列，周期為8(時(shí)的最小正整數(shù))。由于，因此，當(dāng)k=2時(shí)，存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使得，故此正弦序列是以5為周期的周期序列。由于， 為無(wú)理數(shù)，故此正弦序列不是周期序列。 從以上的討論可以看出，當(dāng)連續(xù)正弦信號(hào)經(jīng)過(guò)等間隔抽樣變成正弦序列后，這個(gè)正弦序列不一定是周期性序列，該正弦序列是否具有周期性與的表達(dá)式有

19、關(guān)。造成這種差異的原因是數(shù)字角頻率和模擬角頻率的含義不同。是基波的頻率，它的值表示了基波的振蕩速率，單位為弧度/秒(rad/s)。而表示序列變化的速率，或表示相鄰兩個(gè)正弦序列值對(duì)應(yīng)的相位變化量，單位為弧度(rad)。如時(shí)，變化最慢(沒(méi)有變化)；當(dāng)時(shí)，變化最快。3幾種常用序列(1)單位沖激序列 單位沖激序列亦稱(chēng)為單位抽樣序列，常用表示，其特點(diǎn)是僅在n0時(shí)取值為1，其它均為零。即： (1-1-9) 設(shè)任意序列x(n)，若x(n)乘上，則，相當(dāng)于只對(duì)序列x(n)中n0點(diǎn)的x(0)抽樣。單位抽樣序列如圖1-9所示。 (2)單位階躍序列 (1-1-10)類(lèi)似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)。但在t=

20、0時(shí)常沒(méi)有定義，而在n=0時(shí)定義為，如圖1-10所示。 圖1-9 單位抽樣序列 圖1-10 單位階躍序列與的關(guān)系為： (1-1-11) (1-1-12)令nm=k，代入上式得: (1-1-13)(3)矩形序列 (1-1-14)式中N稱(chēng)為矩形序列的長(zhǎng)度。例如N5時(shí)，R5(n)的波形如圖1-11所示。和的關(guān)系為： (1-1-15) (1-1-16)(4)實(shí)指數(shù)序列 (1-1-17)式中a為實(shí)數(shù)。如果，x(n)的幅度隨n的增大而減小，序列x(n)收斂，其收斂的波形如圖1-12所示；如果，序列x(n)則發(fā)散。 圖1-11 矩形序列 圖1-12 時(shí)的實(shí)指數(shù)序列 (5) 正弦型序列式中，A為幅度，為數(shù)字角

21、頻率，為起始相位。(6) 復(fù)指數(shù)序列 (1-1-18)式中是復(fù)正弦的數(shù)字角頻率，x(n)的序列值是復(fù)數(shù)。當(dāng)時(shí)，用極坐標(biāo)表示如下式： 因此 用實(shí)部虛部表示如下：可見(jiàn)，復(fù)指數(shù)序列的實(shí)部和虛部是正弦序列，因此，復(fù)指數(shù)序列與正弦序列的特性相同。如復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的周期性有同樣的分析結(jié)果。4任意序列用單位沖激序列的表示方式對(duì)于任意序列，常表示成單位沖激序列的移位加權(quán)和，即 (1-1-19)式中x(m)視為單位沖激序列的移位序列的權(quán)值，且則因此，任意序列也可表示成與單位沖激序列的卷積和形式，即 (1-1-20)可以看出，任意序列與單位沖激序列的卷積和等于它自身。例1-5 x(n)如圖1-13所

22、示，用單位抽樣序列及其加權(quán)和表示它。解： 圖1-13 用單位抽樣序列的移位加權(quán)和表示序列 圖1-14 離散時(shí)間系統(tǒng)1.2 離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)是將輸入序列x(n)變換成輸出序列y(n)的一種運(yùn)算。如、 和都表示一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)。若用表示這種運(yùn)算關(guān)系，則一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可由圖1-14來(lái)表示，系統(tǒng)的輸出與輸入滿(mǎn)足如下關(guān)系： (1-2-1)通常稱(chēng)輸入序列x(n)為系統(tǒng)的激勵(lì)，輸出序列y(n)稱(chēng)為系統(tǒng)的響應(yīng)。在離散系統(tǒng)中，一類(lèi)最重要、最常用的離散時(shí)間系統(tǒng)就是“線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)”(LTI)，也是本書(shū)所要討論的重點(diǎn)。1.2.1 線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)1線(xiàn)性系統(tǒng)設(shè)y1(n)是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)x1(n)的響應(yīng)

23、，y2(n)是x2(n)的響應(yīng)，即，當(dāng)系統(tǒng)滿(mǎn)足下面兩個(gè)性質(zhì)：1可加性 ，即是的響應(yīng)。2比例性(或齊次性) ，即是的響應(yīng)，其中為任意復(fù)常數(shù)。則該系統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性系統(tǒng)。從定義可知，線(xiàn)性系統(tǒng)一定滿(mǎn)足疊加原理，即： (1-2-2)如果有N個(gè)輸入分別作用于線(xiàn)性系統(tǒng)，則相應(yīng)有N個(gè)輸出，它們滿(mǎn)足疊加原理的一般表達(dá)式： (1-2-3)因此，對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)為零輸入時(shí)，其輸出也恒為零，即零輸入產(chǎn)生零輸出。注意，檢驗(yàn)一個(gè)系統(tǒng)的線(xiàn)性時(shí)，系統(tǒng)必須同時(shí)滿(mǎn)足可加性和比例性。例1-6檢查以下系統(tǒng)是否是線(xiàn)性系統(tǒng)：解：若設(shè)有二個(gè)激勵(lì)和，則相應(yīng)的輸出為：且若令，則系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)為： 可見(jiàn) 因此，該系統(tǒng)不滿(mǎn)足可加性，不是線(xiàn)性系統(tǒng)，是

24、非線(xiàn)性系統(tǒng)。例1-7證明是線(xiàn)性系統(tǒng)。證明：設(shè)，。由于因此有，滿(mǎn)足可加性。又因 ，滿(mǎn)足比例性。所以此系統(tǒng)是線(xiàn)性系統(tǒng)。2時(shí)不變系統(tǒng)如果系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān)，則該系統(tǒng)稱(chēng)為時(shí)不變系統(tǒng)（或稱(chēng)為移不變系統(tǒng)）。也就是說(shuō)，時(shí)不變系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)的特性行為不隨時(shí)間而改變。例如，如果在不同的兩個(gè)時(shí)刻，對(duì)同一個(gè)電路做同一個(gè)實(shí)驗(yàn)，得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相同，那么這個(gè)電路就是一個(gè)時(shí)不變的系統(tǒng)。這是因?yàn)殡娐分械脑骷?shù)等不隨時(shí)間改變的緣故。這時(shí)，它對(duì)應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中不隨時(shí)間變化。對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)，則 (1-2-4)式中m為任意整數(shù)。即如果在輸入序列上移動(dòng)任意位，其輸出序列移動(dòng)同樣的位，而幅值卻保持不變。因

25、此，檢驗(yàn)一個(gè)系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)，就是檢查它的輸入輸出是否滿(mǎn)足式（1-2-4）。例1-8試證明是時(shí)不變系統(tǒng)。證明：因?yàn)?可見(jiàn) 所以，此系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。例1-9證明所表示的系統(tǒng)是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。證明：找一個(gè)輸入序列使時(shí)不變條件不成立的反例：令，則(輸出恒為零)可見(jiàn) 證明此系統(tǒng)不是一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)，而是一個(gè)時(shí)變的系統(tǒng)。當(dāng)一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)同時(shí)具有線(xiàn)性和時(shí)不變性時(shí)，該離散時(shí)間系統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)。如果沒(méi)有特別說(shuō)明，本書(shū)研究的系統(tǒng)都是LTI系統(tǒng)。1.2.2 單位沖激響應(yīng)與系統(tǒng)響應(yīng)在連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)中，用單位沖激響應(yīng)h(t)唯一地表征LTI系統(tǒng)，且系統(tǒng)響應(yīng)y(t)可以表示成輸入信號(hào)x(t)與單

26、位沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分。在離散時(shí)間LTI系統(tǒng)中也有類(lèi)似的性質(zhì)。1線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)可以用單位沖激響應(yīng)h(n)來(lái)表征。所謂單位沖激響應(yīng)是指輸入序列為單位沖激序列，系統(tǒng)輸出序列y(n)的初始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的輸出。單位沖激響應(yīng)亦稱(chēng)為單位抽樣響應(yīng)，一般用h(n)表示： (1-2-5)它代表了LTI系統(tǒng)的時(shí)域特性。如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)的長(zhǎng)度有限，該系統(tǒng)稱(chēng)為有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(FIR)系統(tǒng)；如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的，該系統(tǒng)稱(chēng)為無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)。有限長(zhǎng)序列的長(zhǎng)度是指序列中那些連續(xù)不為零的非零值所在區(qū)間的長(zhǎng)度。IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)是兩類(lèi)非

27、常重要的系統(tǒng)，將在數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的第5、6章作詳細(xì)討論。2線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任意序列的系統(tǒng)響應(yīng)設(shè)LTI系統(tǒng)的輸入序列為，輸出序列為，則LTI系統(tǒng)對(duì)任一序列的系統(tǒng)響應(yīng)為：從式(1-1-19)可知，任一序列可寫(xiě)成的移位加權(quán)，因此，系統(tǒng)的輸出可改寫(xiě)為：利用線(xiàn)性系統(tǒng)滿(mǎn)足比例性、可加性得：。而系統(tǒng)的時(shí)不變性意味著：。最后得出系統(tǒng)輸出的表達(dá)式為： (1-2-6) 這就是線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任意序列的系統(tǒng)響應(yīng)卷積和表達(dá)式。它表示LTI系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)等于輸入序列x(n)與單位沖激響應(yīng)h(n)的卷積和。如圖1-15所示：若序列x(n)和h(n)為有限長(zhǎng)序列，x(n)的長(zhǎng)度為N，序列的起始位置為nx0；h(n)的長(zhǎng)

28、度為M，序列的起始位置為nh0，則其卷積和序列y(n)也為有限長(zhǎng)序列，且其長(zhǎng)度L為：序列的起始位置n0nx0nh0。如例1-3中，x(n)的N7，nx03，h(n)的M6，nh01，故其卷積和的L7+6112，檢驗(yàn)一下y(n)的長(zhǎng)度正好為12，序列的起始位置n04，終止位置nf=L+n0=7。LTI系統(tǒng)圖 1-15 線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)3線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)(1)交換律由于，令進(jìn)行變量替換，得:所以有: (1-2-7)這表明，兩個(gè)序列的卷積和與它們的次序無(wú)關(guān)。因此，一個(gè)輸入為x(n)、單位沖激響應(yīng)為h(n)的LTI系統(tǒng)的輸出，與輸入為h(n)、單位沖激響應(yīng)為x(n)的輸出是相同的，如圖1-16所示。

29、圖1-16 LTI系統(tǒng)的交換律性質(zhì)如果，則。可見(jiàn)，這一點(diǎn)與單位沖激響應(yīng)的定義一致。(2)結(jié)合律可以證明卷積和運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，即 （1-2-8）這表明，兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后，可以用一個(gè)單一的LTI系統(tǒng)來(lái)等效，其等效系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)就等于兩個(gè)系統(tǒng)各自的單位沖激響應(yīng)的卷積和，且與兩個(gè)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)次序無(wú)關(guān)，如圖1-17所示。=圖1-17 滿(mǎn)足結(jié)合律和交換律的三個(gè)等效的LTI系統(tǒng)(3)分配律卷積和滿(mǎn)足如下關(guān)系： (1-2-9)這表明，兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)后，可以用一個(gè)單一的LTI系統(tǒng)來(lái)等效，其等效系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)就等于兩個(gè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)之和，如圖1-18所示。圖1-18 LTI系統(tǒng)的并聯(lián)中的分配律以上

30、的交換律、結(jié)合律、分配律既是卷積和運(yùn)算的基本性質(zhì)，也是LTI系統(tǒng)具有的基本性質(zhì)。圖1-19 LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)舉例例1-10如圖1-19所示，兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，設(shè) 求系統(tǒng)的輸出y(n)。 解：由LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)滿(mǎn)足結(jié)合律，因此，第一個(gè)系統(tǒng)的輸出是第二個(gè)系統(tǒng)的輸入：分別將、和代入得： 4線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程描述在描述一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性時(shí)，除了可以用單位沖激響應(yīng)來(lái)表征系統(tǒng)的特性外，也可以直接通過(guò)系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系來(lái)描述系統(tǒng)的特性，這種描述系統(tǒng)的方法稱(chēng)為輸入輸出描述法。在連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)中，常用常系數(shù)線(xiàn)性微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。類(lèi)似地，在離散時(shí)間LTI系統(tǒng)中，采用常系數(shù)線(xiàn)性差分方

31、程來(lái)描述系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，即 (1-2-10)式中系數(shù)ak與bm均為常數(shù)。差分方程的階數(shù)等于y(nk)項(xiàng)中k的最大值與最小值之差，因此，稱(chēng)式（1-2-10）為N階差分方程。系統(tǒng)的特征完全可由差分方程的系數(shù)決定。在求常系數(shù)差分方程時(shí)，必須給出初始條件，不同的初始條件會(huì)導(dǎo)致不同的輸入輸出關(guān)系。在大多數(shù)情況下都給出初始松弛條件：若n<n0時(shí)x(n)=0，那么n<n0時(shí)y(n)=0，即初始狀態(tài)為零。在初始松弛條件下，由常系數(shù)差分方程式(1-2-10)描述的系統(tǒng)才是LTI系統(tǒng)。求解常系數(shù)差分方程的方法有經(jīng)典法、離散時(shí)域和變換域三種求解法。經(jīng)典解法類(lèi)似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中求解微分方程的方法，它包

32、括齊次解與特解，由邊界條件求待定系數(shù)。計(jì)算較麻煩，實(shí)際中很少采用。離散時(shí)域求解法有兩種：(1)遞推法(迭代法)，這種方法較簡(jiǎn)單，但只能得到數(shù)值解，不容易得到閉合形式(公式)解；(2)卷積和計(jì)算法，用于系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí)的求解，即求得零狀態(tài)解。這種方法需要先求得系統(tǒng)在輸入單位沖激序列時(shí)所產(chǎn)生的單位沖激響應(yīng)h(n)，然后再利用卷積和求取任意輸入序列下系統(tǒng)的輸出。變換域求解法類(lèi)似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯變換法，它采用z變換方法來(lái)求解差分方程，方法簡(jiǎn)便有效。這種方法將在2章中討論。這里只討論遞推解法。首先，將式(1-2-10)改寫(xiě)為： (1-2-11)觀察上式是一遞歸方程，因此，求解差分方程的條件除了

33、給定的輸入序列外，還需包括輸出序列的N個(gè)初始條件，這樣才能得到唯一的解。 例如求時(shí)刻以后的輸出，初始條件就是時(shí)刻以前的N個(gè)輸出序列值，即，。然后利用式(1-2-11)進(jìn)行遞推求解。例1-11 設(shè)一系統(tǒng)的常系數(shù)差分方程為，若系統(tǒng)的輸入序列為，試求系統(tǒng)的輸出序列y(n)。解： 此系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個(gè)初始條件。 (1)設(shè)初始條件 因?yàn)?則時(shí)序列值， 時(shí)，依次迭代求得序列值： 所以輸出序列 或(2)設(shè)初始條件則時(shí)序列值， 因?yàn)?則時(shí)，依次迭代求得序列值： 所以輸出序列或 。此例表明，對(duì)于同一個(gè)差分方程和同一個(gè)輸入序列，因?yàn)槌跏紬l件不同，得到的輸出序列是不相同的。對(duì)初始條件為情況，由于符

34、合初始松弛條件，即若n<0時(shí)x(n)0，那么n<0時(shí)y(n)0。所以，此時(shí)差分方程描述的系統(tǒng)是LTI系統(tǒng)，并可以用遞推法，求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)由于h(n)無(wú)限長(zhǎng)，故此差分方程描述的是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)，其差分方程是一遞歸方程。若式(1-2-10)中差分方程的階數(shù)N0，且滿(mǎn)足初始松弛條件，則此差分方程是一非遞歸方程，即 (1-2-12)令，可得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：在這種情況下，h(n)有限長(zhǎng)，所以此差分方程描述的是一個(gè)有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(FIR)系統(tǒng)。從例1-11可以看出，一個(gè)常系數(shù)線(xiàn)性差分方程不能唯一確定一個(gè)系統(tǒng)，它描述的系統(tǒng)也不一定是線(xiàn)性時(shí)不變的。但是，在本

35、書(shū)討論范圍內(nèi)，離散時(shí)間系統(tǒng)都是松弛系統(tǒng)，即初始條件為零，因此，它的常系數(shù)線(xiàn)性差分方程代表的是線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)。1.2.3 因果與穩(wěn)定系統(tǒng) 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性是保證系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)的重要條件，因此，討論系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性顯得非常必要。1因果系統(tǒng)若一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出序列，在時(shí)的值只取決于的輸入序列，則稱(chēng)此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，或稱(chēng)系統(tǒng)具有因果性。因果性實(shí)際上要求系統(tǒng)的輸出值只與當(dāng)前及以前的輸入值有關(guān)，而與未來(lái)的輸入值無(wú)關(guān)。這樣的系統(tǒng)才是物理可實(shí)現(xiàn)的。否則，不滿(mǎn)足因果性，就是非因果系統(tǒng)。例如和常系統(tǒng)差分方程式(1-2-11)所描述的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，而系統(tǒng)和則是非因果系統(tǒng)，這是因?yàn)楫?dāng)n<0時(shí)，上述

36、兩個(gè)輸出分別與未來(lái)、時(shí)刻的輸入、有關(guān)。注意，在考查系統(tǒng)的因果性的時(shí)候，只考慮系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，其它函數(shù)的影響不考慮。如表示的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。因?yàn)橛懻摯讼到y(tǒng)的因果性時(shí)，不考慮函數(shù)的影響。LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是： (1-2-13)通常，將滿(mǎn)足式(1-2-13)的序列稱(chēng)為因果序列，因此，因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)必然是因果序列。2穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)是指系統(tǒng)有界輸入產(chǎn)生有界的輸出。即若 則 要證明一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，只需找到一個(gè)特別的有界輸入，如果此時(shí)能得到一個(gè)無(wú)界的輸出，那么就一定能判定這個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例如要證明系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)，只需找一特別的輸入，使它不滿(mǎn)足穩(wěn)定系統(tǒng)的條件即可。若設(shè)，則，y(

37、n)隨著n的增加(或減小)而增加(或減小)，顯然y(n)無(wú)界，故此系統(tǒng)不是穩(wěn)定的。但要證明一個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，就不能只用某個(gè)特定的輸入作用來(lái)證明，而要利用在所有有界輸入下都產(chǎn)生有界輸出的辦法來(lái)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例如要證明系統(tǒng)(為正整數(shù))是穩(wěn)定系統(tǒng)，就要考慮所有可能的有界輸入下都產(chǎn)生有界輸出。令對(duì)任意滿(mǎn)足(A為任意正整數(shù))，因此，系統(tǒng)的輸出滿(mǎn)足，這說(shuō)明系統(tǒng)輸出有界，因而系統(tǒng)穩(wěn)定。LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是： (1-2-14)即要求系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)絕對(duì)可和。這表明，一個(gè)穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，h(n)以足夠快的速度趨近于零，以保證系統(tǒng)的輸出y(n)不會(huì)無(wú)限大。顯然，因果穩(wěn)定的LTI系

38、統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是因果的且是絕對(duì)可和的?？梢宰C明：在初始松弛條件下，常系數(shù)線(xiàn)性差分方程描述的LTI系統(tǒng)是因果的；如果系統(tǒng)是因果的，常系數(shù)線(xiàn)性差分方程描述的系統(tǒng)滿(mǎn)足初始松弛條件，則系統(tǒng)是線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)。這留給讀者自己證明。例1-12設(shè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)分別為：(1) ；(2) 。試分析系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：(1)判斷因果性：當(dāng)n<0時(shí)，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。判斷穩(wěn)定性：，故此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。所以該系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)。(2)判斷因果性：當(dāng)n<0時(shí)，,故此系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。判斷穩(wěn)定性：，故此系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。所以該系統(tǒng)是非因果不穩(wěn)定系統(tǒng)。1.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣大多數(shù)離散時(shí)間信號(hào)來(lái)

39、源于連續(xù)時(shí)間信號(hào)(模擬信號(hào))的抽樣，抽樣是模擬信號(hào)數(shù)字化處理的第一個(gè)環(huán)節(jié)。實(shí)際上，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣是通過(guò)A/D轉(zhuǎn)換器的抽樣器實(shí)現(xiàn)的，而A/D轉(zhuǎn)換器輸出的信號(hào)是經(jīng)抽樣、量化、編碼的數(shù)字信號(hào)。將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)的過(guò)程稱(chēng)為模數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換。相反，從數(shù)字信號(hào)重新恢復(fù)成模擬信號(hào)的過(guò)程稱(chēng)為數(shù)模(D/A)轉(zhuǎn)換。關(guān)于抽樣，人們最關(guān)心的問(wèn)題是：連續(xù)信號(hào)被抽樣后其頻譜將會(huì)有什么變化？在什么條件下，可以由抽樣信號(hào)能被不失真地恢復(fù)成原來(lái)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)？1.3.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽樣的基本原理抽樣就是利用周期性的脈沖序列p(t)，從連續(xù)時(shí)間信號(hào)中抽取一系列等間隔的離散值，得到抽樣信號(hào)即離散時(shí)間信號(hào)。A/D轉(zhuǎn)換器中

40、的抽樣器可以看成一個(gè)電子開(kāi)關(guān)。對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣可以看作一個(gè)模擬信號(hào)通過(guò)一個(gè)電子開(kāi)關(guān)S，如圖1-20(a)所示。設(shè)電子開(kāi)關(guān)每隔周期T合上一次，每次合上的時(shí)間為<<T，在電子開(kāi)關(guān)輸出端得到實(shí)際抽樣信號(hào)，如圖1-21(a)所示。當(dāng)時(shí)，電子開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間無(wú)窮短，得到的是理論抽樣信號(hào)，如圖1-21(b)所示，即抽樣信號(hào)等于周期脈沖信號(hào)p(t)與待抽樣的連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)相乘，如圖1-20(b)所示。這里只討論理論抽樣的情況。 (a) (b)圖1-20 抽樣原理圖(a)實(shí)際抽樣 (b)理論抽樣圖1-21 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣實(shí)際抽樣所得出的抽樣信號(hào)在的極限情況下，將成為一沖激函數(shù)序列。這些沖

41、激函數(shù)準(zhǔn)確的出現(xiàn)在抽樣瞬間，而它們的強(qiáng)度則準(zhǔn)確地等于在抽樣瞬間的幅度，如圖1-21(b)所示。這時(shí)，周期脈沖信號(hào)p(t)變成了沖激函數(shù)序列T(t)，即 (1-3-1)因此，理論抽樣信號(hào)為： (1-3-2)將式(1-3-1)代入式(1-3-2)，得： (1-3-3)由于只在tmT時(shí)不為零，所以 (1-3-4)式中就是序列值。抽樣間隔T亦稱(chēng)為抽樣周期，抽樣周期的倒數(shù)稱(chēng)為抽樣頻率fs=1/T，其大小表示單位時(shí)間內(nèi)抽樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)，單位為Hz。稱(chēng)為抽樣角頻率。例1-13連續(xù)時(shí)間信號(hào) xa(t)=sin(2f0t+/8)，f050Hz，若抽樣間隔T為5ms，試寫(xiě)出抽樣信號(hào)的表達(dá)式。解：由抽樣原理得抽樣序列值

42、：由式(1-3-4)得抽樣信號(hào)為：1.3.2抽樣定理與連續(xù)信號(hào)的恢復(fù)是不是任意時(shí)間間隔的理論抽樣都能反映原連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本特征呢？答案是否定的。例如，有一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)=sin(t)，如圖1-22(a)所示。當(dāng)抽樣間隔T=5/4秒、/6秒時(shí)所得的理論抽樣信號(hào)分別如圖1-22(b)、(c)所示?？梢?jiàn)，對(duì)同一連續(xù)時(shí)間信號(hào)，選用不同的抽樣間隔將得到不同的抽樣信號(hào)。只有當(dāng)抽樣間隔較小時(shí)，才能使相鄰的兩個(gè)抽樣值之間發(fā)生的變化不會(huì)丟失，所得抽樣信號(hào)的包絡(luò)與連續(xù)信號(hào)相似。但是，抽樣間隔也不能太小，這樣將處理太多的抽樣點(diǎn)，不實(shí)際。圖1-22(b)的抽樣間隔不夠小，得到的抽樣信號(hào)不能反映原連續(xù)時(shí)間信

43、號(hào)的細(xì)節(jié)。而圖1-22(c)的抽樣間隔就足夠小，抽樣信號(hào)的包絡(luò)反映了原連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本特征。因此，我們可以得出一個(gè)直觀的結(jié)論：如果連續(xù)時(shí)間信號(hào)變化比較快，則應(yīng)選擇一個(gè)較高的抽樣頻率，反之選擇一個(gè)較慢的抽樣頻率。但是這只是定性的結(jié)論，抽樣頻率fs的大小到底與連續(xù)信號(hào)變化快慢有什么定量的關(guān)系呢？科學(xué)家奈奎斯特(Nyquist)，從信號(hào)抽樣前后的頻譜關(guān)系出發(fā)，研究了抽樣頻率fs的定量關(guān)系，得出了下面著名的Nyquist抽樣定理。圖1-22 xa(t)=sin(t)在不同抽樣間隔時(shí)的理論抽樣信號(hào)1Nyquist抽樣定理設(shè)xa(t)是一個(gè)嚴(yán)格帶限的連續(xù)信號(hào)，即要想對(duì)xa(t)抽樣后能夠不失真地還原出原

44、模擬信號(hào)，則抽樣頻率fs(或s)必須大于等于兩倍信號(hào)譜的最高頻率fh(或h)，即 或 (1-3-5)可見(jiàn)，Nyquist抽樣定理給出了最小的抽樣頻率，即，稱(chēng)為奈奎斯特率。而把抽樣頻率的一半(fs/2)稱(chēng)為奈奎斯特頻率或折疊頻率。同時(shí)，抽樣定理也給出了最大的抽樣間隔，即T=Th/2。特殊地，對(duì)連續(xù)正弦信號(hào)抽樣時(shí)要求抽樣頻率大于正弦信號(hào)頻率的兩倍。否則抽樣值將為零，如，在的整數(shù)倍點(diǎn)上的值為零，則抽樣信號(hào)的值都為零，顯然不包含原信號(hào)的任何信息。如果選擇的抽樣頻率(或抽樣間隔)不滿(mǎn)足抽樣定理，就會(huì)發(fā)生混疊現(xiàn)象。如圖1-22所示，因?yàn)門(mén)h2秒，由抽樣定理知，要求抽樣間隔小于秒，再觀察(b)圖，T=5/4

45、秒秒，不滿(mǎn)足抽樣定理，所以(b)圖的抽樣信號(hào)中有混疊發(fā)生，抽樣信號(hào)的包絡(luò)與原模擬信號(hào)的波形差異很大。而(c)圖沒(méi)有混疊發(fā)生，因?yàn)門(mén)=/6秒秒。為了避免頻譜混疊，一般在抽樣器前加入一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器，稱(chēng)為防混疊濾波器，其截止頻率為fs/2，以便濾除高于fs/2的頻率分量。2連續(xù)信號(hào)的重構(gòu)如果滿(mǎn)足奈奎斯特抽樣定理，則可由理論抽樣信號(hào)不失真地重構(gòu)連續(xù)信號(hào)xa(t)。其方法是將理論抽樣信號(hào)通過(guò)以下理想低通濾波器： (1-3-6)該濾波器的輸出ya(t)就是所要恢復(fù)的原連續(xù)信號(hào)xa(t)，如圖1-23(a)。該理想低通濾波器稱(chēng)為重構(gòu)濾波器，其頻率特性如圖1-23(b)所示，增益為T(mén)，截止頻率為s

46、/2。(a)抽樣恢復(fù)時(shí)域示意圖 (b)理想低通濾波器特性圖1-23 抽樣的恢復(fù) 由于重構(gòu)濾波器的單位沖激響應(yīng)為 (1-3-7)所以，重構(gòu)濾波器的輸出應(yīng)為由和h(t)的卷積積分： (1-3-8)這就是抽樣內(nèi)插公式，它表明了xa(t)是如何從其抽樣值xa(mT)重構(gòu)的。其中具有sinc函數(shù)形式的函數(shù)稱(chēng)為內(nèi)插函數(shù)，如圖1-24所示，在抽樣點(diǎn)mT上，函數(shù)值為1，其余抽樣點(diǎn)上，函數(shù)值為零。所以根據(jù)內(nèi)插公式(1-3-8)，xa(t)在每一個(gè)抽樣點(diǎn)上的信號(hào)值保持不變，而抽樣點(diǎn)之間的信號(hào)則由各加權(quán)內(nèi)插函數(shù)波形的延伸部分疊加而成，如圖1-25所示。 圖1-24 內(nèi)插函數(shù) 圖1-25 抽樣的內(nèi)插恢復(fù)例1-14設(shè)連

47、續(xù)時(shí)間信號(hào)，f050Hz，試分別求出xa(t)的周期，抽樣頻率和抽樣間隔大小。解：由f050Hz得xa(t)的周期為 由抽樣定理得： 3抽樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)頻譜的關(guān)系連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣過(guò)程，就是將信號(hào)的時(shí)間變量離散化的過(guò)程，但是在連續(xù)時(shí)間信號(hào)周期抽樣過(guò)程中，卻要受Nyquist抽樣定理的限制。如果不滿(mǎn)足抽樣定理，抽樣信號(hào)將發(fā)生混疊現(xiàn)象。當(dāng)混疊現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，如果將所有的抽樣值按時(shí)間先后順序用虛線(xiàn)連接起來(lái)，得到的包絡(luò)不會(huì)反映原模擬信號(hào)的基本特征，所觀察到的是一個(gè)虛假的信號(hào)。關(guān)于這一點(diǎn)的應(yīng)用，在數(shù)字存貯示波器的操作中要特別注意。下面我們從頻域角度來(lái)討論理論抽樣信號(hào)的頻譜及混疊現(xiàn)象。根據(jù)抽樣原理，理

48、論抽樣信號(hào)由原信號(hào)xa(t)與抽樣序列T(t)的乘積決定，即，因此抽樣后信號(hào)的頻譜會(huì)發(fā)生改變，引起這種改變的原因與抽樣序列的頻譜直接相關(guān)。設(shè)原帶限連續(xù)信號(hào)的頻譜Xa(j)如圖1-26(a)所示。根據(jù)抽樣序列T(t)的表達(dá)式(1-3-1)，其傅里葉變換為： (1-3-9)如圖1-26(b)所示。可見(jiàn)，抽樣序列的頻譜是頻率的周期函數(shù)，周期為s(或fs)。 圖1-26 理論抽樣信號(hào)和抽樣序列的頻譜 圖1-27 抽樣恢復(fù)頻譜圖(a)原模擬信號(hào)的頻譜 (a)抽樣恢復(fù)的頻域示意圖(b)抽樣序列的頻譜) (b)理論抽樣信號(hào)的頻譜(s2h)(c)理論抽樣信號(hào)的頻譜(s2h) (c)重構(gòu)濾波器特性(d)頻譜混疊現(xiàn)象(s2h) (d)濾波器輸出的原模擬信號(hào)頻譜由傅里葉變換的相乘性質(zhì)：時(shí)域內(nèi)的相乘對(duì)應(yīng)于頻域內(nèi)的卷積。因此，由式(1-3-2)得的傅里葉變換為： (1-3-10)該式表明：抽樣信號(hào)的頻譜也是頻率的周期函數(shù)，