高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義 空間距離

1、.高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義 空間距離【知識(shí)歸納】1、空間距離的求解思路：立體幾何中有關(guān)距離的計(jì)算，要遵循“一作，二證，三計(jì)算”的原則）2、空間距離的類型：（1）異面直線的距離：直接找公垂線段而求之；轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過(guò)其中一條直線作平面和另一條直線平行。轉(zhuǎn)化為求平面到平面的距離，即過(guò)兩直線分別作相互平行的兩個(gè)平面。（2）點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解（3）點(diǎn)到平面的距離：垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來(lái)作垂線，其中過(guò)已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵；體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；等價(jià)轉(zhuǎn)移法。（4）直線與平面的距離：前提是直線與平面平行，利用直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，轉(zhuǎn)化

2、為求點(diǎn)到平面的距離。（5）兩平行平面之間的距離：轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。（6）球面距離（球面上經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度）：求球面上兩點(diǎn)A、B間的距離的步驟： 計(jì)算線段AB的長(zhǎng)； 計(jì)算球心角AOB的弧度數(shù)； 用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧AB的長(zhǎng)?！净A(chǔ)訓(xùn)練】（1）已知正方體ABCD- A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為，則異面直線BD與B1C的距離為_(kāi) _。（2）等邊三角形的邊長(zhǎng)為，是邊上的高，將沿折起，使之與所在平面成的二面角，這時(shí)點(diǎn)到的距離是_ _；（3）點(diǎn)P是120°的二面角-內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)P到、的距離分別是3、4，則P到的距離為_(kāi) _；（4）在正方體ABCDA1B1C1D1的側(cè)面AB

3、1內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P到棱A1B1與棱BC的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為_(kāi) _。（5）長(zhǎng)方體的棱，則點(diǎn)到平面的距離等于_ _；（6）在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則A1到平面MBD的距離為_(kāi) _。（7）設(shè)地球半徑為，在北緯圈上有兩地，它們的緯度圈上的弧長(zhǎng)等于，求兩地間的球面距離； （8）球面上有3點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這3點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的半徑為_(kāi) _；（9）三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，若四個(gè)點(diǎn)都在同一球面上，求此球面上兩點(diǎn)A、B之間的球面距離?！纠}選講】： BPACEFO【例】如圖，在正三棱錐PABC中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊

4、長(zhǎng)為，E是BC的中點(diǎn)，EFPA于F。（）求證：EF為異面直線PA與BC的公垂線段；（）求異面直線PA與BC間的距離。ACBA1B1C1【例】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB，BCCAAA1，設(shè)A1在底面ABC上的射影為O（）點(diǎn)O能否與B重合？試說(shuō)明理由。（）若O在AC上，求BB1與側(cè)面ACC1A1的距離；（）若O是ABC的外心，求【例3】在棱長(zhǎng)為的正方體ABCDA1B1C1D1中，（）求點(diǎn)A到平面BD1的距離；（）求點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離；AA1DCBB1C1D1O1GOE（）求平面AB1D1與平面BC1D的距離；（）求直線AB到平面CDA1B1的距離?！纠?】 在直三棱柱ABC

5、A1B1C1中，AB1BC1，AB=CC1=a，BC=b.（1）設(shè)E、F分別為AB1、BC1的中點(diǎn)，求證：EF平面ABC；（2）求證：A1C1AB；（3）求點(diǎn)B1到平面ABC1的距離.【例5】ABCEA1GFD平面內(nèi)邊長(zhǎng)為a 的正三角形ABC，直線DEBC,交AB、AC于D、E，現(xiàn)將ABC沿DE折成600的二面角，求DE在何位置時(shí)，折起后A1到BC的距離最短？最短距離是多少？【鞏固練習(xí)】：1.正方形ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，則：（1）點(diǎn)C到面AB1C1的距離為_(kāi)；（2）點(diǎn)B到面ACB1的距離為_(kāi)；（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為_(kāi)；（4）面AB1C與面A1DC1的

6、距離為_(kāi)；（5）點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_(kāi)。2已知AB是異面直線、的公垂線段，點(diǎn)A、B分別在直線、上，AB,異面直線、所成的角為300，在直線上任取一點(diǎn)P，使得PA，則點(diǎn)P到直線的距離為3將銳角為600的菱形ABCD沿較短的對(duì)角線BD折成600的二面角，則AC與BD間的距離為4已知AD是邊長(zhǎng)為的正ABC的邊BC上的高，沿AD將ABC折成直二面角BADC后，點(diǎn)B到AC的距離為 （ ）AA1DCBB1C1D1M(A) (B) (C) (D) 15如圖：在正方體ABCDA1B1C1D1中，ABa，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面MBD的距離為（A）(A) (B) (C) (D) PABCD6如圖，

7、四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，PDAD,設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d，點(diǎn)B到平面PAC的距離為d2，BC到平面PAD的距離為d3,則有（D）(A) d3<d1<d2 (B) d1<d2<d3 (C) d1<d3<d2 (D) d2<d1<d3 7.如圖，四棱錐PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)（1）求證：AF平面PECPABCDFE··（2）若AD=2，CD=,二面角PCDB為450，求點(diǎn)F到平面PEC的距離DPABCMN8.如圖：ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，M、N分別是AB、AD

8、的中點(diǎn)，CP平面ABCD，PCa（1）求證：BD平面PMN；E（2）求點(diǎn)B到平面PMN的距離?！竞?jiǎn)解】由MNMD可以得：BD平面PMN（2）證明到：MN平面PCE.過(guò)O作OHPE于H，OHMN證明OH平面PMN。由BD平面PMN得：OH為的長(zhǎng)為B到平面PMN的距離。由三角形EHO和三角形ECP相似可得：OH9.棱長(zhǎng)為的正方體ABCDA1B1C1D1中。點(diǎn)P、Q分別為棱CD、C1D1的中點(diǎn)，求P點(diǎn)到平面A1QC1的距離。【簡(jiǎn)解】如圖：求解P點(diǎn)到平面A1QC1的距離即為求P點(diǎn)到平面A1DC1的距離法一：體積法利用三棱錐PA1C1D的體積三棱錐A1PC1D的體積來(lái)求解。易得：【注意】在計(jì)算三棱錐的體

9、積法時(shí)，要合理選擇頂點(diǎn)和底面，要求頂點(diǎn)到底面的距離能夠很方便的表示出來(lái)，底面三角形的面積能夠很方便的求解。OAA1DCBB1C1D1.MPQL解法二：直接法：如圖：取AD的中點(diǎn)L，易證：LP平面A1C1D又平面B1BDD1平面DA1C1M點(diǎn)在平面A1C1D的垂面B1BDD1內(nèi)P到平面A1C1D的距離等于M點(diǎn)到平面A1C1D的距離。過(guò)M作MH交線DO,易證MH平面A1C1D。則MH就是所求的距離。易得：MHAABCmC1DA1B110.已知ABCA1B1C1是直三棱柱，ABC900，BAC300，AC=AA1=a，過(guò)A、B1、C三點(diǎn)的平面交平面A1B1C1于直線m（1）試問(wèn)A1C1與直線m的位置

10、關(guān)系怎樣？（2）求點(diǎn)A到直線m的距離【簡(jiǎn)解】由AC平面A1B1C1可得：A1C1直線m（2）作A1D直線m于D，由三垂線定理：AD直線m易得：A1D=AD11平面外一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等，則該直線與這個(gè)平面（C）(A)一定平行(B)一定相交(C)平行或相交(D)一定垂直【變題1】平面外不共線的三點(diǎn)A、B、C到平面的距離相等，則平面ABC與平面的位置關(guān)系為（C）(A)一定平行(B)一定相交(C)平行或相交(D)一定垂直【變題2】已知空間四邊形ABCD，要作一平面使得A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)到該平面的距離相等，這樣的平面共可以作出幾個(gè)？（個(gè)）【變題】已知線段AB在平面外，A、B兩點(diǎn)到平

11、面的距離分別為和，則線段AB的中點(diǎn)到平面的距離為【提示】答案：或。分A、B兩點(diǎn)在平面的同側(cè)和兩側(cè)兩種情況進(jìn)行討論。12在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,PA平面ABCD，則點(diǎn)P到對(duì)角線BD的距離為（B）(A) (B) (C) (D) 【簡(jiǎn)解】利用三垂線定理求點(diǎn)線距。過(guò)A作AHBD于H，連PH為所求若三棱錐PABC中，過(guò)P點(diǎn)的三條側(cè)棱兩兩垂直，長(zhǎng)都是，則底面上任意一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離之和為【提示】答案：。利用體積法可以求得。14.已知的大小是600，AB，CD，且AB于A，CD于C，ABACCDa求：（1）B、D間的距離；（2）D到AB的距離。正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為1,M、

12、M1分別為棱BC、B1C1的中點(diǎn)，求直線AM與平面A1M1C的距離。已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為，PA平面ABC，PA2，D、E、F分別為BC、DC、AC的中點(diǎn)，求直線AD到平面PEF的距離。17. 解：過(guò)D作DEAB于E，則BCDE為正方形，CE與BD交于O，則CEBD故COE為二面角C-BD-A的平面角所以COE=60º，17解：由斜線相等，射影相等知，P在底面的射影為ABC的外心O，又ABC為Rt，外心在斜邊中點(diǎn)，故PO=【參考答案】【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（答：）（答：）（答：）（答：拋物線?。ù穑海ù穑篴）（答：）（答：）（答：）【例題選講】：【解答】：（）連接AE、PE，因?yàn)镋是B

13、C的中點(diǎn)AEBC，PEBC，BC平面PAEEFBC,又因?yàn)镋FPA于F，EF為異面直線PA和BC的公垂線段。（）過(guò)P作PO平面ABC，則O為ABC的中心則有AEAB，PO由AEPO=APEF得EF【解答】：（）不能。若O與B重合，則A1BA為RT，AA1為斜邊。而AA1=1, AB,矛盾。（）O在AC上，平面AC1平面ABC，又ABC為等腰RT，BCCA，BC平面AC1，BC就是BB1與平面AC1間的距離，又BC故BB1與側(cè)面ACC1A1的距離為（）若O為ABC的外心，則O為AB的中點(diǎn)，且平面A1ABB1平面ABC,CO平面A1ABB1,而A1O=.從而可求得體積為： 【簡(jiǎn)解】：（）易證：AO

14、平面BD1AO即點(diǎn)A到平面BD1的距離。為（）易證A1E平面AB1D1,則A1E為點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離。A1E解法二：本題也可利用三棱錐A1AB1D1的體積等于三棱錐D1AA1B1的體積來(lái)求解。（）易證A1C平面AB1D1,A1C平面BC1D,設(shè)直線A1C分別交平面AB1D1、平面BC1D與點(diǎn)E、E，則EF的長(zhǎng)為平面AB1D1與平面BC1D的距離。于是：EF（）因?yàn)橹本€AB平面CDA1B1，點(diǎn)B到平面CDA1B1的距離BG就是所求的距離（G為BC1與B1C的交點(diǎn)，BGB1C,BGCD,直線BG平面A1BCD)，此距離BG=【解題回顧】求距離的一般步驟是：一作，二證，三計(jì)算。即先作出表示

15、距離的線段，再證明它就是所求的距離，然后再計(jì)算，其中第二步證明過(guò)程再解題中應(yīng)引起足夠的重視。求距離的問(wèn)題體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，一般情況下需要轉(zhuǎn)化為解三角形。等積法（等面積、等體積）是求距離（點(diǎn)到線、點(diǎn)到面）的常用方法，要注意靈活運(yùn)用。（1）證明：E、F分別為AB1、BC1的中點(diǎn)，EFA1C1.A1C1AC，EFAC.EF平面ABC.（2）證明：AB=CC1，AB=BB1.又三棱柱為直三棱柱，四邊形ABB1A1為正方形.連結(jié)A1B，則A1BAB1.又AB1BC1，AB1平面A1BC1.AB1A1C1.又A1C1AA1，A1C1平面A1ABB1.A1C1AB.（3）解：A1B1AB，A1B1平面

16、ABC1.A1到平面ABC1的距離等于B1到平面ABC1的距離.過(guò)A1作A1GAC1于點(diǎn)G，AB平面ACC1A1，ABA1G.從而A1G平面ABC1，故A1G即為所求的距離，即A1G= .7.已知l是過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)的平面AB1D1與下底面ABCD所在平面的交線，（1）求證：D1B1l；（2）若AB=a，求l與D1間的距離.（1）證明：D1B1BD，D1B1平面ABCD.又平面ABCD平面AD1B1=l，D1B1l.（2）解：D1D平面ABCD，在平面ABCD內(nèi)，由D作DGl于G，連結(jié)D1G，則D1Gl，D1G的長(zhǎng)即等于點(diǎn)D1與l間的距離. lD1B1BD，DAG=45&

17、#176;.DG=a，D1G=a. 【分析】：設(shè)法把折起后A（A1）到BC的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問(wèn)題。【解答】：如圖：在ABC中,作AFBC于F,交DE于G。DEBC,AGDE,折起后有A1GDE.A1GF為二面角A1DEB的平面角即A1GF=600,連接A1FDE平面A1GF,BC平面A1GF,從而B(niǎo)CA1F即A1F為折起后A到BC的距離。設(shè)A1G(0<x<a )則GFa在三角形A1GF中，由余弦定理可得：A1F2a(0<x<a )當(dāng)時(shí)，A1F有最小值。【鞏固練習(xí)】：【評(píng)析】答案：。本題關(guān)鍵是怎樣添作輔助平面和輔助線；運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)

18、和三垂線定理得到所求的距離，再通過(guò)解RT求出距離?！咎崾尽吭O(shè)菱形的對(duì)角線交于O，折疊后AOC=600，易證AC與BD間的距離為AOC的邊AC的高。答案：（C）【提示】BD平面ACD，過(guò)D點(diǎn)作DHAC，垂足為H，則BH為B到直線AC的距離。AA1DCBB1C1D1M【評(píng)析】在立體幾何解題中，求點(diǎn)到直線的距離，經(jīng)常先找出過(guò)該點(diǎn)到直線所在平面的垂線，然后利用三垂線定理作出點(diǎn)到線的距離，在三角形中求解?！咎崾尽拷夥ㄒ唬嚎捎皿w積法：A1到平面MBD的距離等于A到平面MBD的距離。解法二：取BD的中點(diǎn)O，則平面AMO平面MBD，過(guò)A點(diǎn)作MO的垂線，垂足為H，則AH就是A到平面MBD的距離。【提示】d1，d2，d3PABCDFE··GH【分析】證明線面平行，應(yīng)該用判定定理，即在平面PEC內(nèi)找一條直線與AF平行，而求點(diǎn)到面的距離要確定垂足的位置或者用體積法求解?！窘狻咳C的中點(diǎn)