微分方程D7習題課(2)

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 二階微分方程的 習題課 (二)二、微分方程的應用二、微分方程的應用 解法及應用 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次積分求解 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法 常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法 歐

2、拉方程yx 2yxpyq)(xftDxtdd,e令qpDDD ) 1(y)e (tf練習題練習題: P353 題 2 (2); 3 (6) , (7) ; 4 (2)； 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解答提示解答提示P353 題題2 (2) 求以xxCCy221ee 為通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根為,2,121rr故特征方程為,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程為023 yyyP353 題題3 求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令, )(ypy 則方程變?yōu)?01dd2 pyppyyypppd1d2

3、即目錄 上頁 下頁 返回 結束 特征根:xyyy2sin52)7( , i212, 1r齊次方程通解:)2sin2cos(e21xCxCYx令非齊次方程特解為xBxAy2sin2cos*代入方程可得174171,BA思思 考考若 (7) 中非齊次項改為,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解為xx2sin2cos174171)2sin2cos(e21xCxCyx特解設法有何變化 ?目錄 上頁 下頁 返回 結束 P354 題題4(2) 求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 則方程變?yōu)?ddpaxp積分得,11Cxap利

4、用100 xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常數(shù).2C思考思考若問題改為求解0321 yy,00 xy10 xy則求解過程中得,112xp問開方時正負號如何確定正負號如何確定?目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxCxCysincos21特征根 :, i2 , 1r例例1. 求微分方程2, xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2時當x故通解為)(sin2xxxy2,04 xyy滿足條件2x在解滿足xyy ,00 xy00 xy處連續(xù)且可微的解.設特解 :,BAxy代入方程定 A, B, 得xy , 0, 000 xxyy利用得目錄 上頁 下頁 返回 結束 2x由處的

5、銜接條件可知,2時當x04 yy,122xy12xy解滿足故所求解為2221,2cos)1 (2sinxxx,sinxxy2xxCxCy2cos2sin21其通解:定解問題的解:2221,2cos)1 (2sinxxxyy目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.,)(二階導數(shù)連續(xù)設xf且滿足方程xttftxxxf0d)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,d)(d)(sin)(00 xxttftttfxxxf則xxfcos)()(sin)(xfxxf xttf0d)()(xfx)(xfx問題化為解初值問題:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得xxxxfcos2sin2

6、1)(目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考思考: 設0( )e()d ,(0)0,xxxxxuu?)(x如何求提示提示: 對積分換元 ,uxt 令則有xxttx0d)(e)()(e)(xxx 解初值問題: xxxe)()( ,0)0(1)0(答案:xxxxe41) 12(e41)(目錄 上頁 下頁 返回 結束 的解. 例例3.設函數(shù)),()(在xyy,)()(, 0的反函數(shù)是xyyyxxy內(nèi)具有連續(xù)二階導(1) 試將 xx( y) 所滿足的微分方程 變換為 yy(x) 所滿足的微分方程 ;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y數(shù), 且23

7、)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式兩端對 x 求導, 得 (1) 由反函數(shù)的導數(shù)公式知(2003考研考研)目錄 上頁 下頁 返回 結束 0)dd)(sin(dd322yxxyyx,1ddyyx0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的對應齊次方程的通解為 xxCCYee21設的特解為 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故從而得的通解: 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xCCyxxsin21ee21由初始條件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值問題的

8、解為 xyxxsin21ee目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、微分方程的應用二、微分方程的應用 1 . 建立數(shù)學模型 列微分方程問題建立微分方程 ( 共性 )利用物理規(guī)律利用幾何關系確定定解條件 ( 個性 )初始條件邊界條件可能還有銜接條件2 . 解微分方程問題3 . 分析解所包含的實際意義 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 解解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星, 為使其擺脫地球 引力, 初始速度應不小于第二宇宙速度, 試計算此速度.設人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為 M , 衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為 h , 由牛頓第二定律得: 222ddhmMGthm,0v為(G 為引力系數(shù))則有初值

9、問題: 222ddhMGth又設衛(wèi)星的初速度，已知地球半徑51063R000dd,vtthRht目錄 上頁 下頁 返回 結束 222ddhMGth000dd,vtthRht),(ddhvth設,dddd22hvvth則代入原方程, 得2ddhMGhvvhhMGvvdd2兩邊積分得ChMGv221利用初始條件, 得RMGvC2021因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到 目錄 上頁 下頁 返回 結束 221limvhRMGv12120為使,0v應滿足0vRMGv20因為當h = R (在地面上) 時, 引力 = 重力, )sm81. 9(22ggmRmMG即,

10、2gRMG故代入即得81. 910632250gRv) s(m102 .113這說明第二宇宙速度為 skm2 .11目錄 上頁 下頁 返回 結束 求質(zhì)點的運動規(guī)律例例5. 上的力 F 所作的功與經(jīng)過的時間 t 成正比 ( 比例系數(shù),00vs初始速度為初始位移為).(tss 提示提示:,d0tksFss由題設兩邊對 s 求導得:stkFdd牛頓第二定律stktsmdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 Ctmk為 k), 開方如何定開方如何定 + ?已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點作直線運動, 作用在質(zhì)點目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 一鏈條掛在一釘子上 ,

11、啟動時一端離釘子 8 m ,另一端離釘子 12 m , 力, 求鏈條滑下來所需的時間 .解解: 建立坐標系如圖. 設在時刻 t , 鏈條較長一段xOx下垂 x m , 又設鏈條線密度為常數(shù),此時鏈條受力Fgxgx)20(gx)10(2由牛頓第二定律, 得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,120tx0dd0ttxgxgtx10dd2210ee1 . 021 . 01tgtgCCx由初始條件得, 121 CC故定解問題的解為解得24)10(10e21 . 0 xxtg), 1(舍去另一根左端(s

12、)微分方程通解: 10ee1 . 01 . 0tgtgx01e)10()(e1 . 021 . 0tgtgx當 x = 20 m 時,)625ln(10gt思考思考: 若摩擦力為鏈條 1 m 長的質(zhì)量 , 定解問題的數(shù)學模型是什么 ?目錄 上頁 下頁 返回 結束 摩擦力為鏈條 1 m 長的質(zhì)量 時的數(shù)學模型為不考慮摩擦力時的數(shù)學模型為g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此時鏈條滑下來所需時間為xOx目錄 上頁 下頁 返回 結束 yOy練習題練習題從船上向海中沉放某種探測儀器, 按探測要

13、求, 需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度 v 之間的函數(shù)關系. 設儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉, 在下沉過程中還受到阻力和浮力作用, 設儀器質(zhì)量為 m,體積為B , 海水比重為 ,儀器所受阻力與下沉速度成正 比 , 比例系數(shù)為 k ( k 0 ) , 試建立 y 與 v 所滿足的微分方程, 并求出函數(shù)關系式 y = y (v) . (1995考研 )提示提示: 建立坐標系如圖.質(zhì)量 m體積 B由牛頓第二定律B22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意: 目錄 上頁 下頁 返回 結束 BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2

14、vkBgmyvvmdd初始條件為00yv用分離變量法解上述初值問題得 作業(yè)作業(yè) P348 4 , 6 ; P353 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ； 7 ; *11(1) 得yOy質(zhì)量 m體積 B第十一節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題 )()(xfyxy 有特,1xy 解而對應齊次方程有解,2xy 及求)(, )(xfx微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy代入將xx1)(得代入再將xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所給二階非齊次方程為331xyxy ),(xpy 令方程化為331xpxp1. 設二階非齊次方程一階線性非齊次方程目錄 上頁 下頁 返回 結束 331xpxp故py xxd1exCx121再積分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13de3Cxxxx)()(xfyxPyCxxfyxxPxxPde)(ed)(d)(復習復習: 一階線性微分方程 通解公式:目錄 上頁 下頁 返回 結束 3222221)()(ryrrfryrfyu 3222221)()(rzrrfrzrfzu 2. 設函數(shù)222, )(zyxrrfu在 r 0內(nèi)滿足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二階可導, ,1) 1 () 1 ( ff試將方程化為以 r 為自變量的