高中數(shù)學(xué)新課圓錐曲線方程教案(九)

1、課 題：8. 3雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（一）教學(xué)目的：1 .使學(xué)生掌握雙曲線的定義，熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能初步應(yīng)用；2 .通過對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，提高學(xué)生求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的能力；3 .使學(xué)生初步會(huì)按特定條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；4 .使學(xué)生理解雙曲線與橢圓的聯(lián)系與區(qū)別以及特殊情況下的幾何圖形（射線、 線段等）；5 .培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力 .教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單應(yīng)用 .教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及待定系數(shù)法解二元二次方程組 授課類型：新授課，課時(shí)安排：1課時(shí).教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 . 內(nèi)容分析：“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是在講完了 “圓的方程”、“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”之

2、后，學(xué)習(xí)又一類圓錐曲線知識(shí)，也是中學(xué)解析幾何中學(xué)習(xí)的重要的內(nèi)容之一， 它在社會(huì)生產(chǎn)、日常生活和科學(xué)技術(shù)止有著廣泛的應(yīng)用，大綱明確要求學(xué)生必 須熟練掌握，本節(jié)教材仍是繼續(xù)訓(xùn)練學(xué)生用坐標(biāo)法解決方程與曲線有關(guān)問題的重要內(nèi)容， 對(duì)它的教學(xué)將幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉和掌握求曲線方程的一般方法.雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程是本節(jié)的基本知識(shí)，所以必須掌握.而掌握好雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程又是理解和記憶標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵.應(yīng)用雙曲線的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際應(yīng)用問題是培養(yǎng)學(xué)生基本技能和基本能力的必要環(huán) 節(jié).坐標(biāo)法是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須掌握的一個(gè)重要方法，它充分體現(xiàn)了化歸思 想、數(shù)形結(jié)合思想，是用以解決實(shí)際問題的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)

3、工具.猶如前面學(xué)習(xí)的圓和圓錐曲線一樣，雙曲線也是一種動(dòng)點(diǎn)的軌跡.雙曲線和其方程分屬于幾何和代數(shù)這兩個(gè)分立的體系，但是通過直角坐標(biāo)系人們又將它們很好地結(jié)合 在一起，因此我們要充分利用這節(jié)教材對(duì)學(xué)生進(jìn)行好思想教育*雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，內(nèi)容可分為二個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)內(nèi)容主要是雙曲線的 定義和標(biāo)準(zhǔn)方程以及課本中的例1;第二課時(shí) 主要是課本中的例 2、例3及幾個(gè)變式例題.教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1 .橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于 | F1F2 |）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做 橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的 焦距. 在同樣的繩長下，兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出

4、的橢圓較扁（線段）.兩定（ 圓）.橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩2 x b21 其中 a2c2 b2.點(diǎn)間距離較短，則所畫出的橢圓較圓 長有關(guān).2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：22土 L 122 2a b二、講解新課:1.雙曲線的定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn) Fi,F2的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于F1F2 ）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.即|MFi MF2I 2a這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距概念中幾個(gè)容易忽略的地方 ：“平面內(nèi)”、“距離的差的絕對(duì)值”、“常數(shù)小于FE” 在同樣的差下，兩定點(diǎn)間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（ 兩條平行線）兩定點(diǎn)間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹

5、窄（兩條射線）雙曲線的形狀與兩定點(diǎn)間距離、定差有關(guān).2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)雙曲線的定義推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的過程就是求曲線方程的過程，可根據(jù)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.過程如下：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）列式；（3）變換；（4）化簡；（5）證明取過焦點(diǎn)F1, F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為丫軸設(shè)P （ x,y）為雙曲線上的任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c （ c 0） .則FK c,0）, F2（c,0）,又設(shè)m與F1（ c,0）, F2（c,0）距離之差的絕對(duì)值等于2a(常數(shù))，2a 2c*ypiJ J1 1 /F1 A1 O A2 >2P P|

6、PF1PF2 2a又 |PFj，(x c)2 y2 ,V(x c)2 y2 v(x c)2 y22a,化簡，得：22 22 22 22(c a )x a y a (c a ),由定義2a 2cc2 a2 0人 2222 22 22. 2令 cab代入，得：b x a y a b ,22兩邊同除a2b2得：勺 1, a2b2此即為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上，焦點(diǎn)是F1( c,0), F2(c,0),其中c2 a2b2若坐標(biāo)系的選取不同，可得到雙曲線的不同的方程，如焦點(diǎn)在y軸上，則焦點(diǎn)是F1(0, c), F2(0, c),將x, y互F2A2換，得到2y2a2xy1 ,此也

7、是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程bAiFl3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：(1)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在 x軸上和焦點(diǎn)y軸上兩種:焦點(diǎn)在x軸上時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2 x 2 a2 y b21( a0, b0);焦點(diǎn)在y軸上時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2y_2a1( a0, b0)(2) a,b,c有關(guān)系式c2a2 b2成立，且aQb0,c其中a與b的大小關(guān)系：可以為a b, a b,a b.4.焦點(diǎn)的位置：從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中含字母x2、y2項(xiàng)的分母的大小來確定，分母大的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的字母所在的軸就是焦點(diǎn)2所在的軸*而雙曲線是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置，即 x項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在

8、x軸上；y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 y軸上*三、講解范例：例1判斷下列方程是否表示雙曲線,222人幺1L42222L匕14y242分析：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的格式：若是，求出三量a,b,c的值.2匕122 29x236(與 x21) .3 2平方差，x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上，X2項(xiàng)的分母是a2； y2項(xiàng)的系數(shù)是正的， 那么焦點(diǎn)在y軸上，y2項(xiàng)的分 母是a2.解：是雙曲線，a 2,b <2, c <6 ；是雙曲線，a <2,b 也c 2 ；是雙曲線，a V2,b 2,c 屁；是雙曲線，a 3,b 2,c,13.例2已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1( 5,0), F2(5

9、,0),雙曲線上一點(diǎn) P到E( 5,0), F2(5,0)的距離之差的絕對(duì)值等于6,求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程*解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在 x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22xy 4 1( a 0, b 0).a2 b2 2a 6,2c 10 a 3,c 5b2 52 32 16.22所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為江、一1.916四、課堂練習(xí)：1.求a =4, b =3,焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.求a=2，5,經(jīng)過點(diǎn)（2,-5）,焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3 .證明：橢圓9x225y2225與雙曲線x2 15y215的焦點(diǎn)相同.4.若方程x2 siny2 COS1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A、第一象限C 、第三象限D(zhuǎn) 、第四象限5.設(shè)雙曲線2x162y- 1上的點(diǎn)9P到點(diǎn)（5,0）的距離為15,則P點(diǎn)到5,0)的距離是（A. 7)B.23C.5或23D.7或23練習(xí)答案:21.161；22. y202x161；3. 9x225y222525F(4,0),15y215151 F( 4,0);4. D.2x sinCOS1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線sinCOSIV，所以選 D. 5. D. |d 15| 2a7或23