用相關(guān)點法求軌跡方程

1、用相關(guān)點法求軌跡方程 例1. 軌跡方程。 分析：題中涉及了三個點A、B、M，其中A為定點，而B、M為動點，且點B的運動是有規(guī)律的，顯然M的運動是由B的運動而引發(fā)的，可見M、B為相關(guān)點，故采用相關(guān)點法求動點M的軌跡方程。 【解析】設動點M的坐標為（x，y），而設B點坐標為（x0，y0） 則由M為線段AB中點，可得 即點B坐標可表為（2x2a，2y） 【點評】代入法的關(guān)鍵在于找到動點和其相關(guān)點坐標間的等量關(guān)系【變式1】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程 【解析】： 設AB的中點為R，坐標為(x

2、,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR| 又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動 設Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 【備選題】已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；（II）在軸上

3、是否存在定點，使·為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：由條件知，設，解法一：（I）設，則則，由得即于是的中點坐標為當不與軸垂直時，即又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程所以點的軌跡方程是（II）假設在軸上存在定點，使為常數(shù)當不與軸垂直時，設直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以，于是因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，此時故在軸上存在定點，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當不與軸垂直時，設直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以 由得當時，由得，將其代入

4、有整理得當時，點的坐標為，滿足上述方程當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程故點的軌跡方程是（II）假設在軸上存在定點點，使為常數(shù)，當不與軸垂直時，由（I）有，以上同解法一的（II）【誤區(qū)警示】1.錯誤診斷【例題5】中，B，C 坐標分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，求點A的軌跡方程?！境Ｒ婂e誤】由題意可知，|AB|+|AC|=10，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則由定義可知，則，得軌跡方程為【錯因剖析】ABC為三角形，故A，B，C不能三點共線?！菊_解答】ABC為三角形，故A，B，C不能三點共線。軌跡方程里應除去點，即軌跡方程為2.誤區(qū)警示1：在求軌跡方程中易出錯的是對軌跡純粹性

5、及完備性的忽略，因此，在求出曲線方程的方程之后，應仔細檢查有無“不法分子”摻雜其中，將其剔除；另一方面，又要注意有無“漏網(wǎng)之魚”仍逍遙法外，要將其“捉拿歸案”。2：求軌跡時方法選擇尤為重要，首先應注意定義法，幾何法，直接法等方法的選擇。3：求出軌跡后，一般畫出所求軌跡，這樣更易于檢查是否有不合題意的部分或漏掉的部分?！菊n外作業(yè)】【基礎(chǔ)訓練】1:已知兩點給出下列曲線方程：；，在曲線上存在點P滿足的所有曲線方程是（ ）A B C D 【答案】:D【解答】: 要使得曲線上存在點P滿足,即要使得曲線與MN的中垂線有交點.把直線方程分別與四個曲線方程聯(lián)立求解,只有無解,則選D2.兩條直線與的交點的軌跡方

6、程是 .【解答】:直接消去參數(shù)即得(交軌法):3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的弦0A，則弦的中點M的軌跡方程是 .【解答】:令M點的坐標為(,則A的坐標為(2,代入圓的方程里面得:4:當參數(shù)m隨意變化時，則拋物線的頂點的軌跡方程為_?！痉治觥浚喊阉筌壽E上的動點坐標x，y分別用已有的參數(shù)m來表示，然后消去參數(shù)m，便可得到動點的軌跡方程。【解答】：拋物線方程可化為它的頂點坐標為消去參數(shù)m得：故所求動點的軌跡方程為。5:點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點M的軌跡方程為_?！痉治觥浚狐cM到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，意味著點M到點F（4，0）的

7、距離與它到直線的距離相等。由拋物線標準方程可寫出點M的軌跡方程?！窘獯稹浚阂李}意，點M到點F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點M的軌跡是以F（4，0）為焦點、為準線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點距離的比為1：2的點的軌跡方程為_【分析】:設動點為P，由題意，則依照點P在運動中所遵循的條件，可列出等量關(guān)系式?！窘獯稹浚涸O是所求軌跡上一點，依題意得由兩點間距離公式得：化簡得：7拋物線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點，動點C在拋物線上，求ABC重心P的軌跡方程?！痉治觥浚簰佄锞€的焦點為。設ABC重心P的坐標為，點C的坐標為。其中【解答】：因點是重心，則由分

8、點坐標公式得：即由點在拋物線上，得：將代入并化簡，得：（【能力訓練】8.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（，0），直線y=x1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為，求此雙曲線方程?！窘獯稹浚涸O雙曲線方程為。將y=x1代入方程整理得。由韋達定理得。又有，聯(lián)立方程組，解得。此雙曲線的方程為。9.已知動點P到定點F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點P的軌跡方程。【解答】：設點P的坐標為（x，y），則由題意可得。（1）當x3時，方程變?yōu)椋喌?。?）當x>3時，方程變?yōu)?，化簡得。故所求的點P的軌跡方程是或10.過原點作直線l和拋物線交于A、B兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程。

9、【解答】：由題意分析知直線l的斜率一定存在，設直線l的方程y=kx。把它代入拋物線方程，得。因為直線和拋物線相交，所以>0，解得。設A（），B（），M（x，y），由韋達定理得。由消去k得。又，所以。點M的軌跡方程為?！緞?chuàng)新應用】11.一個圓形紙片，圓心為O，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于P，則P的軌跡是（ ）A:橢圓 B:雙曲線 C:拋物線 D:圓【答案】：A【解答】：由對稱性可知|PF|=|PM|，則|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R為圓的半徑），則P的軌跡是橢圓，選A。（2012山東理21）（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為（）求拋物線的方程；（）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；（）若點的橫坐標為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與圓有兩個不同的交點，求當時，的最小值（2012山東理科21）解：（）依題線段為圓的弦，由垂徑定理知圓心的縱坐標，又到拋物線