《數(shù)學模型》

1、數(shù)學模型考試大綱適應(yīng)專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學、信息與計算科學、統(tǒng)計學、應(yīng)用統(tǒng)計學專業(yè)一、課程性質(zhì)與目的要求數(shù)學模型課亦稱為數(shù)學建模課，它是數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學、信息與計算科學、統(tǒng)計學、應(yīng)用統(tǒng)計學專業(yè)必修課或限選課，教育部1998年頒布的高等學校本科專業(yè)目錄中，把“數(shù)學模型”課作為數(shù)學類專業(yè)的必開課。數(shù)學模型是架于實際問題與數(shù)學理論之間的橋梁。數(shù)學模型就是應(yīng)用數(shù)學語言和方法，對于現(xiàn)實世界中的實際問題進行抽象、簡化和假設(shè)所得到的數(shù)學結(jié)構(gòu)。本課程是研究數(shù)學建模的理論、思想和方法，研究建立數(shù)學模型、簡單的優(yōu)化模型、數(shù)學規(guī)劃模型、微分方程模型、代數(shù)方程與差分方程模型、穩(wěn)定性模型、離散模型、概率模型等。數(shù)學模型課需

2、要用到數(shù)學分析、高等代數(shù)、微分方程、圖論、概率統(tǒng)計、運籌學等數(shù)學知識，它是學生所學數(shù)學知識的綜合應(yīng)用，是培養(yǎng)學生綜合素質(zhì)以及應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力的良好課程。該課程的考試評價依據(jù)是按照課程目標、教學內(nèi)容和要求，把握合適的難易程度出試卷，用筆試的方法對學生學習情況和學習成績做出評價。二、課程內(nèi)容和考核要求第一章 建立數(shù)學模型、考核知識點：數(shù)學建模的背景及重要意義、數(shù)學模型與數(shù)學建模、數(shù)學模型的分類與特點、數(shù)學建模的基本方法和步驟、數(shù)學建模舉例等。、考核要求：（1）理解數(shù)學建模的背景及意義、原型、模型、數(shù)學模型、數(shù)學建模等概念。（2）理解數(shù)學模型的各種分類、數(shù)學模型的特點。（3）理解數(shù)學建

3、模的基本方法和步驟、通過實例初步了解數(shù)學建模的思想和方法。第二章 簡單的優(yōu)化模型、考核知識點：存儲模型、生豬的出售時機、森林救火、冰山運輸?shù)取?、考核要求：?）掌握應(yīng)用微積分理論建立存儲問題模型。（2）理解應(yīng)用微積分理論建立生豬的出售時機模型和森林滅火模型。（3）理解應(yīng)用微積分理論建立冰山運輸問題模型。第三章 數(shù)學規(guī)劃模型 、考核知識點：數(shù)學規(guī)劃問題的基本概念、數(shù)學規(guī)劃問題圖解法步驟、生產(chǎn)安排問題、奶制品的生產(chǎn)與銷售等。、考核要求：（1）掌握數(shù)學規(guī)劃問題的基本概念、數(shù)學規(guī)劃問題圖解法步驟。（2）掌握生產(chǎn)安排問題的模型及圖解法。（3）理解奶制品的生產(chǎn)與銷售的模型及求解。第四章 微分方程模型、考核

4、知識點： 傳染病模型、正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)、藥物在體內(nèi)的分布與排除、香煙過濾嘴的作用等。、考核要求：（1）理解傳染病問題的建模及討論。（2）理解戰(zhàn)爭問題、房室問題的建模及討論。（3）了解香煙過濾嘴作用問題的建模及討論。第五章 代數(shù)方程與差分方程模型 、考核知識點：量綱、量綱齊次原理、量綱分析法、差分方程的基本概念、市場經(jīng)濟中蛛網(wǎng)模型、節(jié)食與運動問題等。、考核要求：（1）掌握量綱、量綱齊次原理、量綱分析法建模及解法步驟。（2）掌握市場經(jīng)濟中蛛網(wǎng)模型及解法步驟。（3）理解理解差分方程的基本概念、減肥問題的建模思想。第六章 穩(wěn)定性模型 、考核知識點：捕魚業(yè)的持續(xù)收獲、軍備競賽、考核要求：（1）掌握捕魚業(yè)的

5、持續(xù)收獲問題的建模、解法步驟及相關(guān)討論。（2）理解軍備競賽問題的建模及分析討論。第七章 離散模型 、考核知識點：層次分析法的概念、思想和方法，循環(huán)比賽的名次問題，公平席位分配問題、考核要求：（1）理解層次分析法的概念、思想、方法和建模思想。（2）理解循環(huán)比賽及競賽圖的思想和方法。（3）知道應(yīng)用初等數(shù)學理論來構(gòu)造公平席位分配的數(shù)學模型。第八章 概率模型 、考核知識點：傳送系統(tǒng)的效率、報童的訣竅、蛋糕問題、隨機存貯策略。、考核要求：（1）理解傳送系統(tǒng)效率問題的建模與討論。（2）掌握報童等相關(guān)問題建模與討論。（3）了解隨機存貯策略問題的建模思想。三、考試形式、試卷結(jié)構(gòu)及樣題1、考試形式為閉卷、筆試。

6、2、試卷滿分為100分，考試時間為120分鐘。成績采用百分制. 總成績=平時30%+期末筆試70%。3、試題類型與比例：填空題約占16%；簡答題約占24%；應(yīng)用計算題約占60%。 4、樣題與目標定位示例： 1）填空題：著重考察學生對概念知識的了解、理解程度。 例：1數(shù)學建模方法大體上可分為 和 兩種.2按照對模型結(jié)構(gòu)的了解程度來分類的模型名稱有： 、 、 .3n階正互反陣A是一致陣的充要條件為 4一般的n個頂點的競賽圖具有以下性質(zhì)（1） ；（2） 5.從層次分析法的原理、步驟、應(yīng)用等方面的討論看出它有以下優(yōu)點： ； ； 6甲乙雙方在t時刻的軍備分別記作和，其變化過程可用方程組表示，則平衡點為

7、， .7考慮傳送系統(tǒng)效率：個工人的生產(chǎn)是相互獨立的，一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比D，若能對一周期內(nèi)的只鉤子求出每只鉤子非空(即掛上產(chǎn)品)的概率，則 8. 每對頂點之間都有一條邊相連的 稱為競賽圖； 稱為雙向連通圖2）簡答題：著重考察學生對知識的理解、掌握程度。 例：1一飼養(yǎng)場每天投入5元資金用于飼料、設(shè)備、人力，估計可使一頭70公斤重的生豬每天增加公斤目前生豬出售的市場價格為每公斤10元，但是預(yù)測每天會降低元，試寫出生豬最佳出售時機的純利潤函數(shù)（目標函數(shù)）2. 基于思想性、藝術(shù)性、娛樂性、票房等四項因素，擬用層次分析法在電影A、電影B、電影C這三個方案中選一個，畫出目標為“評選影

8、片”的層次結(jié)構(gòu)圖.3. 考慮正規(guī)戰(zhàn)爭問題. 假設(shè)甲乙交戰(zhàn)雙方時刻的兵力分別為和，其戰(zhàn)斗減員率都與對方兵力成正比，比例系數(shù)分別為a、b；甲乙雙方的增援率函數(shù)分別為和；而非戰(zhàn)爭減員率與本方的兵力成正比，比例系數(shù)分別為、. 試寫出正規(guī)戰(zhàn)爭數(shù)學模型.4簡述層次分析法的基本步驟，并寫出一致性指標的定義. 3）應(yīng)用計算題：著重考察學生對知識的掌握與應(yīng)用程度。 例：1已知深水中波的傳播速度與波長、水深、水的密度和重力加速度有關(guān)，試用量綱分析方法給出波的速度的表達式2. 已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和試建立關(guān)于商品價格的差分方程

9、模型，并討論穩(wěn)定平衡條件3. 設(shè)某漁場魚量(時刻漁場中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)為： 其中為固有增長率，為環(huán)境容許的最大魚量，而單位捕撈量為(1)求漁場魚量的非負平衡點，并討論其穩(wěn)定性；(2)試確定捕撈強度，使?jié)O場單位時間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量4某生產(chǎn)作坊每天要生產(chǎn)A、B兩種肉制品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品A所需1臺機器設(shè)備和4kg的豬肉，生產(chǎn)單位產(chǎn)品B所需1臺機器設(shè)備和4kg的牛肉，該生產(chǎn)作坊可供生產(chǎn)的機器設(shè)備一共是8臺，并且每天的豬肉庫存為16kg，牛肉庫存為12kg.每單位產(chǎn)品A可獲利2元，每單位產(chǎn)品B可獲利3元.如何安排生產(chǎn)，使得該作坊的獲利最大？四、學習用書與參考書目 1、姜啟源、謝金星、葉俊編數(shù)學

10、模型（第四版）M.北京：高等教育出版社.2011.1. 2、韓中庚編著. 數(shù)學建模方法及其應(yīng)用（第二版）M. 北京：高等教育出版社.2009.6.五、其它模擬練習題1 寫出5個按照建立模型的目的分類的數(shù)學模型名稱；寫出5個按照建立數(shù)學模型的數(shù)學方法分類的模型名稱敘述數(shù)學模型的概念，并給出建立數(shù)學模型的基本步驟？數(shù)學建模的全過程分為哪幾個階段？2 4個頂點的競賽圖共有幾種形式？ 循環(huán)比賽（競賽圖的定義、由得分向量寫出競賽圖或鄰接矩陣、雙向連通圖、排名次等）3. 層次分析法的基本步驟, 層次分析模型（寫出層次結(jié)構(gòu)圖、一致性矩陣定義等）4求正互反矩陣的最大特征根和特征向量的實用算法？n階正互反陣A是

11、一致陣的充要條件?5有4支球隊A、B、C、D進行單循環(huán)賽，比賽結(jié)果是這樣的：A勝B和C，B勝C和D，C勝D，D勝A.試給出這4支球隊比賽對應(yīng)的競賽圖或其鄰接矩陣，得分向量.它是否為雙向連通圖？并給出這4支球隊的名次.6已知5個頂點、的競賽圖的得分向量為.試作出滿足條件的競賽圖，并寫出此圖對應(yīng)的鄰接矩陣.7. 基于經(jīng)濟效益、社會效益、學術(shù)創(chuàng)新、環(huán)境效益、技術(shù)創(chuàng)新五項因素來評價科技成果，擬用層次分析法在項目A、項目B、項目C這三個科技成果中選一個，畫出目標為“科技成果評價”的層次結(jié)構(gòu)圖.8已知水泵的輸出功率N 與單位體積水的重量、單位體積流量Q 、揚程高度H 有關(guān)，用量綱分析方法求水泵輸出功率的表達式.9某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種化工產(chǎn)品,生產(chǎn)每噸產(chǎn)品需要電消耗、煤消耗、勞動力（以一個工作日計算）及產(chǎn)值如下表所示：產(chǎn)品電消耗（千瓦）煤消耗(噸)勞動力(人)產(chǎn)值(萬元)甲產(chǎn)品4936乙產(chǎn)品541014已知每天電消耗不超過200千瓦；煤消耗不超過350噸；全廠勞動力滿員為300人.試安排每天的生產(chǎn)任務(wù),使產(chǎn)值最大,并求出最大產(chǎn)值. 10. 與Logistic模型不同的另一種描述種群增長規(guī)律的是Gompertz模型： 其