人教版_七年級_下期_第八章_二元一次方程組知識點梳理及例題解析

1、第八章 二元一次方程組第一節(jié)、 知識梳理二元一次方程組一、學習目標1.了解并認識二元一次方程的概念.2.了解及認識二元一次方程的解.3.了解并掌握二元一次方程組的概念并會求解.4. 掌握二元一次方程組的解并知道及二元一次方程的解的區(qū)別.5.掌握代入消元法和加減消元法.二、知識概要1.二元一次方程：像xy2這樣的方程中含有兩個未知數(shù)（x和y），并且未知數(shù)的指數(shù)都是1，這樣的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程組：把兩個方程xy3和2x3y10合寫在一起為像這樣，把兩個二元一次方程組合在一起，就組成了

2、一個二元一次方程組.4.二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.5.代入消元法：由二元一次方程組中的一個方程，把一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.6.加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.三、重點難點代入消元法和加減消元法是本周學習的重點，也是本周學習的難點.四、知識鏈接本周的二元一次方程組由我們學過的一元一次方程演化而來，

3、為以后解決實際問題提供了一種有力的工具.五、中考視點本周所學的二元一次方程組經常在中考中的填空、選擇中出現(xiàn)，還有的出現(xiàn)在解答題的計算當中.二元一次方程組的實際應用一、學習目標將實際問題轉化為純數(shù)學問題，建立數(shù)學模型（即二元一次方程組），解決問題.二、知識概要列方程組解應用題的常見類型主要有：. 行程問題.包括追及問題和相遇問題，基本等量關系為：路程速度×時間；. 工程問題.一般分為兩類，一類是一般的工程問題，一類是工作總量為1的工程問題.基本等量關系為：工作量工作效率× 工作時間；3. 和差倍分問題.基本等量關系為：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)× 1倍量；4. 航

4、速問題.此類問題分為水中航行和風中航行兩類，基本關系式為：順流（風）：航速靜水（無風）中的速度水（風）速逆流（風）：航速靜水（無風）中的速度水（風）速5. 幾何問題、年齡問題和商品銷售問題等.三、重點難點建立數(shù)學模型（二元一次方程組）是本周的重點，也是本周的難點.四、知識鏈接本周知識是上周學的二元一次方程組的實際應用，為解決一些實際問題提供了一個模型，一種方法.五、中考視點二元一次方程組是中考重點考查的內容之一，主要有以下幾個方面：（1） 從實際數(shù)學問題中構造一次方程組，解決有關問題；（2） 能從圖表中獲得有關信息，列方程組解決問題.第二節(jié)、教材解讀1 二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未

5、知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程從定義中可以看出：二元一次方程具備以下四個特征：（1）是方程；（2）有且只有兩個未知數(shù)；（3）方程是整式方程，即各項都是整式；（4）各項的最高次數(shù)為1.例如：像+y3中，不是整式，所以+y3就不是二元一次方程；像x+1=6，x+y-3z=8，不是含有兩個未知數(shù)，也就不是二元一次方程；像xy+6=1中，雖然含有兩個未知數(shù)x、y且次數(shù)都是1，但未知項xy的次數(shù)為2，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必須同時具備以上四點2二元一次方程組含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組，它有兩個特點：一是方程組中每一個方程都是一次方程；二是

6、整個方程組中含有兩個且只含有兩個未知數(shù)，如一次方程組3二元一次方程的一個解符合二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解一般地二元一次方程的解有無數(shù)個，例如x+y=2中，由于x、y只是受這個方程的約束，并沒有被取某一個特定值而制約，因此，二元一次方程有無數(shù)個解4二元一次方程組的解二元一次方程組中各個方程的公共解叫做這個二元一次方程組的解定義中的公共解是指同時使二元一次方程組中的每一個方程左右兩邊的值都相等，而不是使其中一個或部分左右兩邊的值相等，由于未知數(shù)的值必須同時滿足每一個方程，所以，二元一次方程組一般情況下只有惟一的一組解，即構成方程組的兩個二元一次方程的公共解第三節(jié)、錯

7、題剖析【誤解】A或D【思考及分析】二元一次方程組的解是使方程組中的每一個方程的左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，而中的一個方程的解，并不能讓另一方程左、右兩邊相等，所以它們都不是這個方程組的解，只有C是正確的驗證方程組的解時，要把未知數(shù)的值代入方程組中的每個方程中，只有使每個方程的左、右兩邊都相等的未知數(shù)的值才是方程組的解【正解】C把式代入式得 8-3y+3y=8，0×y=0.所以y可以為任何值.所以原方程組有無數(shù)組解【思考及分析】 代入法是求二元一次方程組的解的一種基本方法它的一般步驟是：（1）從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)，用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式

8、表示出來，如本題中方程中的x，用含y的代數(shù)式表示為x=8-3y；（2）將這個變形所得的代數(shù)式代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；這里要求代入“另一個”方程，“誤解”把它代入到變形的同一個方程中，得到了一個關于y的恒等式，出現(xiàn)了錯誤（3）解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；（4）將求出的未知數(shù)的值代入前面變形所得的式子中，求出另一個未知數(shù)，從而得到方程組的解【正解】由式得x=8-3y把式代入式得2（8-3y）+5y=-21，解得y=37.把y=37代入式得x=8-3×37，解得x=-103. 所以【例3】 解方程組【錯解】 方程- 得： 3y=0，所以y=0，把

9、 y=0，代入 得x=2，所以原方程組的解為【分析】 在- 時出錯.【正解】 - 得：（x2y）（xy）2（2） x2yxy4 y=4           y=4把y=4代入得x=6，所以原方程組的解為【小結】 兩方程相減時 ，易出現(xiàn)符號錯誤，所以要特別細心.【例4】 某化妝晚會上，男生臉上涂藍色油彩，女生臉上涂紅色油彩.游戲時，每個男生都看見涂紅色油彩的人數(shù)比涂藍色油彩的人數(shù)的2倍少1人；而每個女生都看見涂藍色油彩的人數(shù)是涂紅色油彩的人數(shù)的，問晚會上男、女生各有幾人？錯解: 設晚會上男生有x人，女生有y

10、人.根據(jù)題意，得 把代入，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入，得y=5.所以答:晚會上男生3人，女生5人.【分析】 本題錯在對題中的數(shù)量關系沒有弄清.每個男生都看見涂紅色油彩的人數(shù)比涂藍色油彩的人數(shù)的2倍少1人，這里涂藍色油彩的人數(shù)不是題中所有的男生人數(shù)，而是除自己之外的男生人數(shù)，同理，女生看到的人數(shù)也應是除自己以外的女生人數(shù).正解: 設晚會上男生有x人，女生有y人.根據(jù)題意，得把代入,得x=2（x-1）11，解得x=12.把x=12代入，得y=21.所以答：晚會上男生12人，女生21人.解二元一次方程組的問題看似簡單，但如果你稍不注意，就有可能犯如下錯誤.【例5】 解方程組

11、0; 【錯解】 方程 得： 2x=4，原方程組的解是： x=2【錯因分析】 錯解只求出了一個未知數(shù) x，沒有求出另一個未知數(shù)y.所以求解是不完整的.【正解】 （接上）將 x=2帶入得： y=0.所以原方程組的解為【小結】 用消元法來解方程組時，只求出一個未知數(shù)的解，就以為求出了方程組的解，這是對二元一次方程組的解的意義不明確的表現(xiàn).應牢記二元一次方程組的解是一組解，而不是一個解.【例6】解方程組【錯解】由式得y=2x-19     把式代入式得2（2x19【錯因分析】“錯解”在把變形后的式代入式時，符號書寫出現(xiàn)了錯誤當解比較復雜的方程組時，應先化簡，在求

12、出一個未知數(shù)后，可以將它代入化簡后的方程組里的任意一個方程中，求出第二個未知數(shù)，這樣使得運算方便，避免出現(xiàn)錯誤【正解一】化簡原方程組得 【正解二】化簡原方程組得×6+得 17x=114，【小結】解二元一次方程組可以用代入法，也可以用加減法一般地說，當方程組中有一個方程的某一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1或有一個方程的常數(shù)項是0時，用代入法比較方便；當兩個方程中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍時，用加減法比較方便第四節(jié)、思維點撥【例1】 小紅到郵局寄掛號信，需要郵資元角. 小紅有票額為角和角的郵票若干張，問各需多少張這兩種面額的郵票？【思考及解】要解此題，第一步要找出問題中的數(shù)量關系

13、.寄信需郵資元角，由此可知所需郵票的總票額要等于所需郵資3.8元. 再接著往下找數(shù)量關系，所需郵票的總票額等于所需角郵票的總票額加上所需角郵票的總票額. 所需角郵票的總票額等于單位票額角及所需角郵票數(shù)目的乘積. 同樣的，所需角郵票的總票額等于單位票額角及所需角郵票數(shù)目的乘積. 這就是題中蘊含的所有數(shù)量關系.第二步要抓住題中最主要的數(shù)量關系，構建等式.由圖可知最主要的數(shù)量關系是：所需郵資=所需郵票的總票額.第三步要在構建等式的基礎上找出這個數(shù)量關系中牽涉到哪些已知量和未知量.已知量是所需郵資.8元，兩種郵票的單位票額.6元和0.8元，未知量是兩種郵票的數(shù)目.第四步是設元（即設未知量），并用數(shù)學符

14、號語言將數(shù)量關系轉化為方程. 設0.6元的郵票需x張，0.8元的郵票需y張，用字母和運算符號將其轉化為方程：0.6x+0.8y=3.8. 第五步是解方程，求得未知量. 由于兩種郵票的數(shù)目都必須是自然數(shù)，此二元一次方程可以用列表嘗試的方法求解.方程的解是第六步是檢驗結果是否正確合理. 方程的兩個解中兩種郵票的數(shù)目均為正整數(shù)，將兩解代入方程后均成立，所以結果是正確合理的.第七步是答，需要1張6角的郵票和4張8角的的郵票，或需要5張6角的郵票和1張8角的的郵票.【例2】小聰全家外出旅游，估計需要膠卷底片張. 商店里有兩種型號的膠卷：型每卷張底片，型每卷張底片. 小聰一共買了卷膠卷，剛好有張底片. 求

15、兩種膠卷的數(shù)量.【思考及解】第一步：找數(shù)量關系. 型膠卷數(shù)型膠卷數(shù)膠卷總數(shù)，型膠卷的底片總數(shù)型膠卷的底片總數(shù)底片總數(shù). 型膠卷的底片總數(shù)=每卷型膠卷所含底片數(shù)×型膠卷數(shù)，型膠卷的底片總數(shù)每卷型膠卷所含底片數(shù)×型膠卷數(shù).第二步：找出最主要的數(shù)量關系，構建等式. 型膠卷數(shù)型膠卷數(shù)膠卷總數(shù)，型膠卷的底片總數(shù)型膠卷的底片總數(shù)底片總數(shù).第三步：找出未知量和已知量. 已知量是：膠卷總數(shù)，度片總數(shù)，每卷型膠卷所含底片數(shù)，每卷型膠卷所含底片數(shù)；未知量是：型膠卷數(shù)，型膠卷數(shù).第四步：設元，列方程組. 設型膠卷數(shù)為x，型膠卷數(shù)為y，根據(jù)題中數(shù)量關系可列出方程組：第五步：答：型膠卷數(shù)為3，型膠卷

16、數(shù)為1.【小結】我們在解這類題時，一般就寫出設元、列方程組并解出未知量和答這幾步，如有必要可以加上驗證這一步.其他步驟可以省略.【例】用加減法解方程組【思考及分析】經觀察，我們發(fā)現(xiàn)兩個方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)，故將兩方程相加，消去y.解：，得x=8.解得x=2.把x=2代入，得2+2y=3.解得y=.所以，原方程組的解為：【思考及分析】經觀察，我們發(fā)現(xiàn)x的系數(shù)成倍數(shù)關系，故先將方程×2再及方程作差消去x較好.解：×，得4x-6y=16.   ，得11y=-22.解得y=-2.把y=-2代入，得x-3×（-2）. 解得 x=1.所以原方程組的解為

17、【思考及分析】 如果用代入法解這個方程組，就要從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)，然后代入另一個方程.本題中，方程的系數(shù)比較簡單，應該將方程進行變形.如果用加減法解這個方程組，應從計算簡便的角度出發(fā)，選擇應該消去的未知數(shù).通過觀察發(fā)現(xiàn)，消去x比較簡單.只要將方程兩邊乘以2 ，然后將兩方程相減即可消去x.解法1： 由得x=8-2y. 把代入得2（8-2y）+5y=21，解得y=5.把y=5代入得x=-2.所以原方程組的解為：解法2： ×2得2x+4y=16. -得2x+5y-（2x+4y）=21-16，解得y=5.把y=5代入得x=-2.所

18、以原方程組的解為【小結】 我們解二元一次方程組時，用到的都是消元的思想，用代入法還是加減法解題，原則上要以計算簡便為依據(jù).【例6】用代入法解方程組【思考及分析】經觀察，我們發(fā)現(xiàn)方程為用y表示x的形式，故將代入，消去x.解：把代入，得（y+3）-8y=14.解得y=-1.把y=-1代入，得x=2.所以原方程組的解為【例7】用代入法解方程組【思考及分析】經觀察比較，我們發(fā)現(xiàn)方程更易于變?yōu)橛煤粋€未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式，故選擇變形，消去y.解：由，得y=2x-5.    把代入，得x+4（2x-5）=2.解得x=2.把x=2代入，得y=-1.所以原方程組的

19、解為：【例8】 甲、乙兩廠，上月原計劃共生產機床90臺，結果甲廠完成了計劃的112，乙廠完成了計劃的110，兩廠共生產機床100臺，求上月兩廠各超額生產了多少臺機床？【思考及分析】 我們可以采用兩種方法設未知數(shù)，即直接設法和間接設法.直接設法就是題目要求什么就設什么為未知數(shù)，本題中就是設上月甲廠超額生產x臺，乙廠超額生產y臺；而間接設法就是問什么并不設什么，而是采用先設出一個中間未知數(shù)，求出這個中間未知數(shù)，再利用它同題中要求未知數(shù)的聯(lián)系，解出所要求的未知數(shù)，題中我們可設上月甲廠原計劃生產x臺，乙廠原計劃生產y臺.解法一：直接設法.設上月甲廠超額生產x臺，乙廠超額生產y臺，則共超額了100901

20、0（臺），而甲廠計劃生產的臺數(shù)是臺，乙廠計劃生產的臺數(shù)是臺.根據(jù)題意，得 答：上月甲廠超額生產6臺，乙廠超額生產4臺.解法二：間接設法.設上月甲廠原計劃生產x臺，乙廠原計劃生產y臺.根據(jù)題意，得 所以x×（1121）50×126，y×（110-1）40×104.答：上月甲廠超額生產6臺，乙廠超額生產4臺.【例9】 某學校組織學生到100千米以外的夏令營去，汽車只能坐一半人，另一半人步行.先坐車的人在途中某處下車步行，汽車則立即回去接先步行的一半人.已知步行每小時走4千米，汽車每小時走20千米（不計上下車的時間），要使大家下午5點同時到達，問需何時出發(fā).【

21、思考及分析】 我們從行程問題的3個基本量去尋找，可以發(fā)現(xiàn)，速度已明確給出，只能從路程和時間兩個量中找出等量關系，有題意知，先坐車的一半人，后坐車的一半的人，車三者所用時間相同，所以根據(jù)時間來列方程組.如圖所示是路程示意圖，正確使用示意圖有助于分析問題，尋找等量關系.解：設先坐車的一半人下車點距起點x千米，這個下車點及后坐車的一半人的上車點相距y千米，根據(jù)題意得化簡得從起點到終點所用的時間為所以出發(fā)時間為：17107.即早晨7點出發(fā).答：要使學生下午5點到達，必須早晨7點出發(fā).【例10】 小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教

22、育儲蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）【思考及分析】 設教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：解：設存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則  答：存教育儲蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元.【反思】 我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數(shù)量關系，題目中的相等關系隨之浮現(xiàn)出來.第五節(jié)、競賽數(shù)學【例1】已知方程組的解

23、x，y滿足方程5x-y=3，求k的值.【思考及分析】本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法.（）由已知方程組消去k，得x及y的關系式，再及5x-y=3聯(lián)立組成方程組求出x，y的值，最后將x，y的值代入方程組中任一方程即可求出k的值.（）把k當做已知數(shù)，解方程組，再根據(jù)5x-y=3建立關于k的方程，便可求出k的值.（）將方程組中的兩個方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整體代入即可求出k的值.把代入，得，解得k=-4.解法二：×3×，得17y=k-22，解法三：+，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小結】

24、解題時我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時間，可能這道題我們已經用一般解法解了一半了，當然，巧妙解法很容易想到的話，那就應該用巧妙解法了.【例2】某種商品價格為每件元，某人身邊只帶有元和元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品. 若無需找零錢，則付款方式有哪幾種（指付出元和元錢的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？【思考及分析】本題我們可以運用方程思想將此問題轉化為方程來求解. 我們先找出問題中的數(shù)量關系，再找出最主要的數(shù)量關系，構建等式. 然后找出已知量和未知量設元，列方程組求解.最后，比較各個解對應的x+y的值，即可知道哪種付款方式付出的張數(shù)最少.

25、 解：設付出元錢的張數(shù)為x，付出元錢的張數(shù)為y，則x，y的取值均為自然數(shù). 依題意可得方程：2x+5y=33. 因為5y個位上的數(shù)只可能是或，所以2x個位上數(shù)應為或. 又因為x是偶數(shù)，所以x個位上的數(shù)是，從而此方程的解為：由得x+y=12；由得x+y=15. 所以第一種付款方式付出的張數(shù)最少.答：付款方式有種，分別是：付出張元錢和張元錢；付出張元錢和張元錢；付出張元錢和張元錢.其中第一種付款方式付出的張數(shù)最少.【例3】 解方程組    【思考及分析】 本例是一個含字母系數(shù)的方程組.解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩邊同時乘以或除以字母表示的系數(shù)

26、時，也需要弄清字母的取值是否為零.    解：由，得   y=4mx，                  把代入，得  2x+5（4mx）=8，    解得  （25m）x=-12，當25m0，    即m時，方程無解，則原方程組無解.    當25m0，即m時，方程解為將代入，

27、得故當m時，原方程組的解為 【小結】 含字母系數(shù)的一次方程組的解法和數(shù)字系數(shù)的方程組的解法相同，但注意求解時需要討論字母系數(shù)的取值情況對于x、y的方程組中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均為已知數(shù)，且a1及b1、a2及b2都至少有一個不等于零，則時，原方程組有惟一解；時，原方程組有無窮多組解；時，原方程組無解.【例4】某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同.安全檢查中，對4道門進行了訓練：當同時開啟一道正門和兩道側門時，2分鐘內可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側門時，4分鐘可以通過800名學生.（1） 求

28、平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生？（2） 檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率將降低20.安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學生應在5分鐘內通過這4道門安全撤離.假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門是否符合安全規(guī)定？請說明理由.【思考及解】（1）設平均每分鐘一道正門可通過x名學生，一道側門可以通過y名學生.根據(jù)題意，得所以平均每分鐘一道正門可以通過學生120人，一道側門可以通過學生80人.（2） 這棟樓最多有學生4×8×45=1440（人）.擁擠時5分鐘4道門能通過5×2×（120+80）×（1-

29、20%）=1600（人）.因為 1600>1440，所以建造的4道門符合安全規(guī)定.答:平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過120名學生、80名學生；建造的這4道門符合安全規(guī)定.【例5】某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表：張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？【思考及分析】要想知道張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價格和張強買的香蕉的千克數(shù)以及付的錢數(shù)來入手.通過觀察圖表我們可知香蕉的價格分三段，分別是6元、5元、4元.相對應的香蕉的千克數(shù)也分為三段，我們可以假設張強兩次買的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍

30、內，利用分類討論的方法求得張強第一次、第二次分別購買香蕉的千克數(shù).解：設張強第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉y千克由題意，得0<x<25當0<x20，y40時，由題意，得當0<x20，y>40時，由題意，得（及0<x20，y40相矛盾，不合題意，舍去）當20<x<25時，25<y<30此時張強用去的款項為5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合題意，舍去）.綜合可知，張強第一次購買香蕉14千克，第二次購買香蕉36千克.答： 張強第一次、第二次分別購買香蕉14千克、36千克.【反思】我們在做這道題的時

31、候，一定要考慮周全，不能說想出了一種情況就認為萬事大吉了，要進行分類討論，考慮所有的可能性，看有幾種情況符合題意.【例6】 用如圖中的長方形和正方形紙板做側面和底面，做成如圖的豎式和橫式兩種無蓋紙盒. 現(xiàn)在倉庫里有張正方形紙板和000張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存的紙板用完？【思考及分析】我們已經知道已知量有正方形紙板的總數(shù)1000，長方形紙板的總數(shù)2，未知量是豎式紙盒的個數(shù)和橫式紙盒的個數(shù). 而且每個豎式紙盒和橫式紙盒都要用一定數(shù)量的正方形紙板和長方形紙板做成，如果我們知道這兩種紙盒分別要用多少張正方形紙板和長方形紙板，就能建立起如下的等量關系：每個豎式紙盒要用的正方形紙板數(shù)

32、 × 豎式紙盒個數(shù) + 每個橫式紙盒要用的正方形紙板數(shù) × 橫式紙盒個數(shù) = 正方形紙板的總數(shù)每個豎式紙盒要用的長方形紙板數(shù) × 豎式紙盒個數(shù) + 每個橫式紙盒要用的長方形紙板數(shù) × 橫式紙盒個數(shù) = 長方形紙板的總數(shù)通過觀察圖形，可知每個豎式紙盒分別要用張正方形紙板和張長方形紙板，每個橫式紙盒分別要用張正方形紙板和張長方形紙板.解：由題中的等量關系我們可以得到下面圖表所示的關系.設豎式紙盒做x個，橫式紙盒做y個. 根據(jù)題意，得×4-，得 y=2000，解得 y=400.把y=400代入，得 x+800=1000，解得 x=200.所以方程組的

33、解為因為200和400均為自然數(shù)，所以這個解符合題意.答： 豎式紙盒做個，橫式紙盒做個，恰好將庫存的紙板用完.第六節(jié)、本章訓練基礎訓練題一、填空題（每題7分，共35分）    1.一個兩位數(shù)的數(shù)字之和是7，這個兩位數(shù)減去27，它的十位和個位上的數(shù)字就交換了位置，則這個兩位數(shù)是          .    2. 已知甲、乙兩人從相距km的兩地同時相向而行，1h相遇.如果甲比乙先走h，那么在乙出發(fā)后h及甲相遇.設甲、乙兩人速度分別為xkm/h、ykm

34、/h，則x       ，y        .    3. 甲、乙二人練習賽跑，如果甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘就能追上乙；如果甲讓乙先跑2秒鐘，那么甲跑4秒鐘就能追上乙，兩人每秒鐘各跑的米數(shù)是                    . 

35、;   4.一隊工人制造某種工件，若平均每人一天做5件，全隊一天就超額30件；若平均每人一天做4件，全隊一天就比定額少完成20件.若設這隊工人有x人，全隊每天的數(shù)額為y件，則依題意可得方程組                   .    5.某次知識競賽共出了25道題，評分標準如下：答對1題加4分；答錯1題扣1分；不答記0分.已知小明不答的題比答錯的題多2道，他的總分

36、為74分，則他答對了          .  二、選擇題（每題7分，共35分）    1.一個兩位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，且能被3整除，若將十位數(shù)字及個位數(shù)字交換又能被5整除，這個兩位數(shù)是（      ）.    A. 53      B. 57      C. 35 

37、60;    D. 75    2.甲、乙兩車相距150km，兩車同時出發(fā)，同向而行，甲車4h可追上乙車；相向而行，1.5h后兩車相遇.設甲、乙兩車的平均速度分別為xkm/h、ykm/h.以下方程組正確的是（      ）.        3.甲、乙二人從同一地點出發(fā)，同向而行，甲騎車乙步行.若乙先行12km，那么甲1小時追上乙；如果乙先走1小時，甲只用小時就追上乙，則乙的速度是（    

38、;  ）km/h.    A. 6        B. 12          C. 18      D. 36    4.一艘船在一條河上的順流速度是逆流速度的2倍，則船在靜水中的速度及水流的速度之比為（      ）.    A. 4：

39、3     B. 3：2        C. 2：1      D. 3：1    5.某校初中畢業(yè)生只能報考第一高中和第二高中中的一所.已知報考第一高中的人數(shù)是報考第二高中的2倍，第一高中的錄取率為50，第二高中的錄取率為60，結果升入第一高中的人數(shù)比升入第二高中的人數(shù)多64人，則升入第一高中及第二高中的分別有（      ）.  &#

40、160; A. 320人，160人     B. 100人，36人    C. 160人，96人     D. 120人，56人  三、列方程組解應用題（每題15分，共30分）    1.一批機器零件共840個，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，問兩人每天各做多少個機器零件？    2. 師傅對徒弟說“我像你這樣大時，你才4歲，將來當你像我這樣大時，我

41、已經是52歲的人了”.問這位師傅及徒弟現(xiàn)在的年齡各是多少歲？答案    一、填空題      1. 52   2. ，   3. 甲跑6米，乙跑4米          5. 19道題    二、選擇題     1. B2. B3. A4. D5. C  三、列方程組解應用題     1. 【解題思路

42、】由題意得甲做12天，乙做8天能夠完成任務；而甲做9天，乙做13天也能完成任務，由此關系我們可列方程組求解.    解：設甲每天做x個機器零件，乙每天做y個機器零件，根據(jù)題意，得        答：甲每天做50個機器零件，乙每天做30個機器零件    2. 【解題思路】由“我像你這樣大時，你才4歲”可知師傅現(xiàn)在的年齡等于徒弟現(xiàn)在的年齡加上徒弟現(xiàn)在的年齡減4，由“當你像我這樣大時，我已經是52歲的人了”可知52等于師傅現(xiàn)在的年齡加上師傅現(xiàn)在的年齡減去徒弟的年齡.由這兩個關系可列

43、方程組求解.    解：設現(xiàn)在師傅x歲，徒弟y歲，根據(jù)題意，得          答：現(xiàn)在師傅36歲，徒弟20歲.提高訓練題1. 甲、乙兩人分別從相距30千米的A、B兩地同時相向而行，經過3小時后相距3千米，再經過2小時，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度.2. 2. 小華不小心將墨水濺在同桌小麗的作業(yè)本上，結果二元一次方程組中第一個方程y的系數(shù)和第二個方程x的系數(shù)看不到了，現(xiàn)在已知小麗的結果是你能由此求出原來的方程組嗎？3.若是關于x，y的二元一次方程3x-

44、y+a=0的一個解，求a的值.4.已知方程組其中正確的說法是（）A只有（1）、（3）是二元一次方程組；B只有（1）、（4）是二元一次方程組；C只有（2）、（3）是二元一次方程組；D只有（2）不是二元一次方程組                                

45、0;                                    答案    1.解： 設甲、乙的速度分別為x千米/時和y千米/時.    第一種情況：甲、乙兩人相遇前還相距3千米

46、.    根據(jù)題意，得        第二種情況：甲、乙兩人是相遇后相距3千米.    根據(jù)題意，得        答：甲、乙的速度分別為4千米/時和5千米/時；或甲、乙的速度分別為千米/時和千米/時.    2.解：設第一個方程中y的系數(shù)為a，第二個方程的x系數(shù)為b.則原方程組可寫成    3.解：既然是關于x、y的二元一次方程3xya0的一個解，那么我們

47、把代入二元一次方程3xya0得到32a0，解得a1.4.解：二元一次方程組是由兩個以上一次方程組成并且只含有兩個未知數(shù)的方程組，所以其中方程可以是一元一次方程，并且方程組中方程的個數(shù)可以超過兩個本題中的（1）、（3）、（4）都是二元一次方程組，只有（2）不是所以選D.強化訓練題1.解關于x，y的方程組，并求當解滿足方程4x3y21時的k值2. 有兩個長方形，第一個長方形的長及寬之比為54，第二個長方形的長及寬之比為32，第一個長方形的周長比第二個長方形的周長大112cm，第一個長方形的寬比第二個長方形的長的2倍還大6cm，求這兩個長方形的面積.3.甲乙兩人做加法，甲在其中一個數(shù)后面多寫了一個0

48、，得和為2342，乙在同一個加數(shù)后面少寫了一個0，得和為65，你能求出原來的兩個加數(shù)嗎？4.某校2006年初一年級和高一年級招生總數(shù)為500人，計劃2007年秋季初一年級招生人數(shù)增加20，高一年級招生人數(shù)增加25，這樣2007年秋季初一年級、高一年級招生總數(shù)比2006年將增加21，求2007年秋季初一、高一年級的招生人數(shù)各是多少？答案從而第一個長方形的面積為：5x×4x20x21620（cm2）；第二個長方形的面積為：3y×2y6y2150（cm2）.    答：這兩個長方形的面積分別為1620cm2和150cm2.3.解：設兩個加數(shù)分別為x、

49、y.根據(jù)題意，得解得    所以原來的兩個加數(shù)分別為230和42.   4.解：設2007年初一年級秋季招生人數(shù)為x，高一年級招生人數(shù)為y.    根據(jù)題意得        解得     答：2007年初一年級秋季招生人數(shù)為480人，高一年級招生人數(shù)為125人.綜合訓練題一、精心選一選（每題7分，共35分）    1. 方程組的解是（    ）.&

50、#160;       2. 在一次小組競賽中，遇到了這樣的情況：如果每組7人，就會余3人；如果每組8人，就會少5人.問競賽人數(shù)和小組的組數(shù)各是多少？若設人數(shù)為x，組數(shù)為y，根據(jù)題意，可列方程組（）.        3. 買甲、乙兩種純凈水共用250元，其中甲種水每桶8元，乙種水每桶6元，乙種水的桶數(shù)是甲種水的桶數(shù)的75%，設買甲種水x桶、乙種水y桶，則所列方程組中正確的是（）.         4. 一個兩位數(shù)被9除余2，如

51、果把它的十位及個位交換位置，則所得的兩位數(shù)被9除余5，設個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則下面正確的是（   ）.（以下選項中k1、k2都為整數(shù)）            5. 用面值l元的紙幣換成面值為l角或5角的硬幣，則換法共有（     ）種.A. 4  B. 3  C. 2   D. 1二、用心填一填（每題7分，共35分）     1. 一艘輪船順流航行，每小時行2

52、0千米；逆流航行每小時行16千米.則輪船在靜水中的速度為 _，水流速度為_.    2. 一隊工人制造某種工件，若平均每人一天做5件，那么全隊一天就比定額少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全隊一天就超額20件. 則這隊工人有_人，全隊每天制造的工件數(shù)額為_件.    3. 已知甲、乙兩人從相距18千米的兩地同時相向而行，1小時相遇.再同向而行如果甲比乙先走小時，那么在乙出發(fā)后小時乙追上甲.設甲、乙兩人速度分別為x千米/時、y千米/時，則x_，y_.    4. 甲、乙二人練習賽跑，如果甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘就能追上乙；如果乙讓甲先跑2秒鐘，那么乙跑6秒鐘落后于甲28米，甲每秒鐘跑_，乙每秒鐘跑_.    5. 小強拿了十元錢去商場購買筆和圓規(guī).售貨員告訴他：這10元錢可以買一個圓規(guī)和三支筆或買兩個圓規(guī)和一支筆，現(xiàn)在小強只想買一個圓規(guī)和一支筆，那么售貨員應該找給他_元.  三、耐心做一做（每題10分，共30分）    1. 某人要在規(guī)定的時間內由甲地趕往乙地，如果他以每小時50千米的速度行駛，