機(jī)械振動(dòng)知識(shí)點(diǎn)

1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及其圖象知識(shí)點(diǎn)一：彈簧振子（一）彈簧振子如圖，把連在一起的彈簧和小球穿在水平桿上，彈簧左端固定在支架上，小球可以在桿上滑動(dòng)。小球滑動(dòng)時(shí)的摩擦力可以，彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量得多，也可忽略。這樣就成了一個(gè)彈簧振子。'（1） 小球原來的位置就是平衡位置。小球在平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng)， 是一種機(jī)械 振動(dòng)。（2）小球的運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)，可以看作質(zhì)點(diǎn)。（3） 彈簧振子是一個(gè)不考慮 阻力，不考慮彈簧的_.，不考慮振子（金屬小球）的的一化的物理模型。（二）彈簧振子的位移一一時(shí)間圖象（1） 振動(dòng)物體的位移是指由一一位置指向 的有向線段，可以說某時(shí)刻的位移。說明：振動(dòng)物體的位移與運(yùn)動(dòng)學(xué)中位移的含義不

2、同，振子的位移總是相對(duì)于 位置而言的,即初位置是位置，末位置是振子所在的位置。（2）振子位移的變化規(guī)律振子的運(yùn)動(dòng)A 00BB00A對(duì)0點(diǎn)位移的 方向向 左向 右大小變化減 小（4）彈簧振子的位移一時(shí)間圖象是一條曲線t £0知識(shí)點(diǎn)二：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（一）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)如果質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從函數(shù)的規(guī)律，即它的振動(dòng)圖象（x-t圖象）是一條正弦曲線，這樣的振動(dòng)，叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)中最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)。彈簧振子的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。（二）描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量（1）振幅（A）振幅是指振動(dòng)物體離開 位置的距離，是表征振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量。一定要將振幅跟位移相區(qū)別，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)過程中，振幅

3、是 變的，而位移是時(shí)刻在變的。（2）周期（T）和頻率（f）振動(dòng)物體完成一次所需的時(shí)間稱為周期，單位是秒（s）;單位時(shí)間內(nèi)完成 的次數(shù)稱為頻率，單位是赫茲（Hz）。周期和頻率都是描述振動(dòng)快慢的物理量。周期越小，頻率越大，表示振動(dòng)得越快。 周期和頻率的關(guān)系是：一.（3）相位（©）相位是表示物體振動(dòng)步調(diào)的物理量，用相位來描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)全振動(dòng)中所處的階段。（三）固有周期、固有頻率任何簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都有共同的周期公式：T :，其中m是振動(dòng)物體的 ，k是回復(fù)力系數(shù)，對(duì)彈簧振子來說k為彈簧的系數(shù)。對(duì)一個(gè)確定的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)來說， m和k都是恒量，所以T和f也是恒量，也就是說簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的 周期只由本身的特

4、性決定，與振幅 關(guān)，只由振子質(zhì)量和回復(fù)力系數(shù)決定。T叫系統(tǒng)的一周期，f叫頻率?？梢宰C明，豎直放置的彈簧振子的振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期公式也是T =2;:。這個(gè)結(jié)論可以直接使用。（四）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式y(tǒng)=Asin （31+© ），其中A是一._，亍二f， ©是t=0時(shí)的相位，即初相位或初相。知識(shí)點(diǎn)三：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和能量（一）回復(fù)力：使振動(dòng)物體回到平衡位置的力。（1） 回復(fù)力是以命名的力。性質(zhì)上回復(fù)力可以是重力、彈力、摩擦力、電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力等， 它可能是幾個(gè)力的合力，也可能是某個(gè)力或某個(gè)力的分力。如在水平方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧在伸長(zhǎng)和壓縮時(shí)產(chǎn)生的力；在豎直方向上振

5、動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧力和 力的合力。（2） 回復(fù)力的作用是使振動(dòng)物體回到平衡位置?；貜?fù)力的方向總是“平衡位置”。（3） 回復(fù)力是是振動(dòng)物體在方向上的合外力，但不一定是物體受到的合外力。（二）對(duì)平衡位置的理解（1） 平衡位置是振動(dòng)物體最終 振動(dòng)后振子所在的位置。（2） 平衡位置是回復(fù)力為 的位置，但平衡位置 是合力為零的位置。（3） 不同振動(dòng)系統(tǒng)平衡位置不同。豎直方向的彈簧振子，平衡位置是其彈力于重力的位置；水平勻強(qiáng)電場(chǎng)和重力場(chǎng)共同作用的單擺，平衡位置在電場(chǎng)力與重力的合力方向上。（三）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征F回= ，a回=kx/ m，其中k為比例系數(shù)，對(duì)于彈簧振子來說，就等于彈簧的系數(shù)。負(fù)號(hào)

6、表示回復(fù)力的方向與位移的方向。也就是說簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是在跟對(duì)平衡位置的位移大小成正比、方向總是指向平衡位置的力作用下的振 動(dòng)。彈簧振子在平衡位置時(shí)F回=。當(dāng)振子振動(dòng)過程中，位移為x時(shí)，由胡克定律（彈簧不超出彈性限度），考慮到回復(fù)力的方向跟位移的方向相反，有 F回=，k為彈簧的勁度系數(shù)，所以彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。（四）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量特征振動(dòng)過程是一個(gè)動(dòng)能和勢(shì)能不斷轉(zhuǎn)化的過程，總的機(jī)械能 。振動(dòng)物體總的機(jī)械能的大小與振幅有關(guān)，振幅越大，振動(dòng)的能量越 。知識(shí)點(diǎn)四：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過程中各物理量大小、方向變化情況（一）全振動(dòng)振動(dòng)物體連續(xù)兩次運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（位移和速度）完全相同所經(jīng)歷的的過程，即物體運(yùn)動(dòng)完成一次規(guī)律 性變化。

7、（二）彈簧振子振動(dòng)過程中各物理量大小、方向變化情況 過程：物體從A由靜止釋放，從A0 B 0，經(jīng)歷一次全振動(dòng),圖中0為平衡位置，A、B為最大位移處：取0B方向?yàn)檎?物理過程位 移s速 度V加速 度a回復(fù) 力F動(dòng)能Ek勢(shì)能Ep運(yùn)動(dòng) 性質(zhì)A最 大(-)最大最大kA0最大A0(-)增 大減小(+)增大減小a J的 變加 速運(yùn) 動(dòng)00最 大0r oV勢(shì)能 全部 轉(zhuǎn)化 為動(dòng) 能0B(+)減 小 (+)增大增大(-)減小a5變減 速運(yùn) 動(dòng)B0最大0最大 動(dòng)能 全部 轉(zhuǎn)化 為勢(shì) 能B0減 小 (+)增 大減小(-)(-)增大亠亠ma J的 變加 速運(yùn) 動(dòng)0000勢(shì)能 全部 轉(zhuǎn)化 為動(dòng) 能0A(-)減 小增大

8、(+)減小增大a5變減 速運(yùn) 動(dòng)小結(jié)：彈簧振子的運(yùn)動(dòng)過程是完全對(duì)稱的。(1) B、0、A為三個(gè)特殊狀態(tài)0為平衡位置，即速度具有最大值 Vmax，而加速度a=A為負(fù)的最大位移處，具有加速度最大值 Omax，而速度V = B為正的最大位移處，具有加速度最大值 Omax，而速度V =(2) 其運(yùn)動(dòng)為變加速運(yùn)動(dòng)與變減速運(yùn)動(dòng)的交替過程，在此過程中，機(jī)械能守恒，動(dòng)能和彈性勢(shì)能 之間相互轉(zhuǎn)化加速度a與速度v的變化vmax，而加速度a = 0amax，而速度v = 0（3）任一點(diǎn)C的受力情況 重力G與彈力N平衡；F回二卩彈=kx，可看出回復(fù)力方向始終與位移方向相反:知識(shí)點(diǎn)五：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的應(yīng)用（一）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖

9、象的物理意義圖象描述了做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，即是位移一一時(shí)間函數(shù)圖象 注意振動(dòng)圖象質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。（二）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的特點(diǎn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象是一條正弦（余弦）曲線。（1）從平衡位置開始計(jì)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為 X二Asn,t，圖象如圖1。（2） 從最大位移處開始計(jì)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式 x=Acost，圖象如圖2。x/ cm（三）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象的應(yīng)用（1） 振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位移。如圖中，對(duì)應(yīng)tl、t2時(shí)刻的位移分別為xi=+7cm、X2=-5cm。（2）確定振動(dòng)的振幅、周期和頻率。圖中位移的值就是振幅，如圖表示的振動(dòng)振幅是10cm；振動(dòng)圖象上一個(gè)完整的正弦（余弦）圖形在時(shí)間軸上拉開的“長(zhǎng)度”

10、表示。由圖可知，OD、AE、BF的間隔都等于= 0. 2s；頻率f二丄=5出。T（3）確定各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度（回復(fù)力）的方向。加速度方向總與位移方向相 。只要從振動(dòng)圖象中認(rèn)清位移的方向即可。例如在圖中t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位移X1為正，則加速度a1為負(fù)，兩者方向相反；t2時(shí)刻，位移X2為負(fù)，則a2便為正；判定速度的方向的方法有： 位移一一時(shí)間圖象上的斜率代表速度。某時(shí)刻的振動(dòng)圖象的斜率大于0,速度方向與規(guī)定的正方向;斜率小于0,速度的方向與規(guī)定的正方向 ； 將某一時(shí)刻的位移與相鄰的下一時(shí)刻的位移比較，如果位移 ，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)將遠(yuǎn)離平衡位置；反之將靠近平衡位置。例如圖中在t1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)正遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動(dòng)

11、；在t3時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)正向著平衡位置運(yùn)動(dòng)。（4）比較不同時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度、動(dòng)能、勢(shì)能的大小。加速度與的大小成正比。如圖中|X1| > |X2|，所以|刑> | a2| ；而質(zhì)點(diǎn)的位移越大，它所具有的勢(shì)能越 ，動(dòng)能、速度則越 。如圖中，在t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能Ep1大于t2時(shí)刻的勢(shì)能Ep2，而動(dòng)能則Ek1 V Ek1，速度V1< V1。小結(jié)：若某段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度指向平衡位置（可為正也可為負(fù)），則質(zhì)點(diǎn)的速度、動(dòng)能均變，回復(fù)力、加速度、勢(shì)能均變 ，反之則相反。凡圖象上與t軸距離的點(diǎn)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)具有相同的動(dòng)能和勢(shì)能。單擺外力作用下的振動(dòng)知識(shí)點(diǎn)一：?jiǎn)螖[（一）單擺如圖所示，一條 的細(xì)線

12、下端拴一小球，上端固定，如果細(xì) 線的質(zhì)量與 相比可以忽略，球的直徑與 的長(zhǎng)度相比可以忽略, 這樣的裝置叫單擺。單擺是實(shí)際擺的理想化模型。（二）在擺角較小的條件下，單擺的振動(dòng)是運(yùn)動(dòng)證明：將擺球由平衡位置 O點(diǎn)拉開一段距離，然后由靜止釋放，擺球在 擺線拉力T和重力G共同作用下，沿圓弧在其平衡位置 O點(diǎn)左右往復(fù)運(yùn)動(dòng)。B（半徑方向）分解當(dāng)它擺到位置P時(shí)，擺線與豎直夾角為9,將重力沿圓周切線方向和法線方向 成兩個(gè)分力 Gi與G2,其中Gi=mgsin 9 G2=mgcos9力。它改變了擺球的運(yùn)G2與T在一條直線上，它們的合力是維持?jǐn)[球做圓周運(yùn)動(dòng)的 動(dòng)，而不改變其速度的大小。而Gi不論擺球在平衡位置O點(diǎn)左

13、側(cè)還是右側(cè)，始終沿圓弧切線方向 在Gi的作用下擺球才在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，所以Gi是擺球振動(dòng)的=o平衡位置O,正是 力。即：F回f 回一 mg im、i都是確定值，所以：g為常數(shù)，即滿足 所以在擺角較小的條件下，使擺球振動(dòng)的回復(fù)力跟位移大小成 向一，故單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。（三）幾種常見的單擺模型對(duì)一個(gè)確定的單擺來說,F 回=kx o,而方向與位移的方0 XR*在擺角較小的條件下，”一： 在考慮了回復(fù)力F回的方向與位移x方向間的關(guān)系，回復(fù)力可表示為:知識(shí)點(diǎn)二：探究單擺的周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系（一）探究思路探究影響單擺周期的因素可以從單擺的裝置入手，單擺的裝置包括細(xì)繩和小球。因此影響單擺周 期的因

14、素可能有：細(xì)繩的長(zhǎng)度、小球的質(zhì)量、擺角等。在這里只探究單擺的周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系。（二）操作技巧（1） 實(shí)驗(yàn)所用的單擺應(yīng)符合理論要求，即擺線要且彈性要，擺球用密度和質(zhì)量較的小球，以減小空氣阻力影響，并且要在擺角較 的情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。（2） 要使單擺在豎直平面內(nèi)振動(dòng)，不能使其形成擺或擺球轉(zhuǎn)動(dòng)，方法是擺球拉到一定位置后由釋放（3）單擺的上端不要卷在夾子上，而要用夾子加緊，以免單擺擺動(dòng)時(shí)擺線滑動(dòng)或者擺長(zhǎng)改變。（4）測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí)，不能漏掉擺球的 （5） 測(cè)單擺周期時(shí)，應(yīng)從擺球通過 位置開始計(jì)時(shí)，在數(shù)到“零”的同時(shí)按下秒表開始計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)。計(jì)時(shí)從平衡位置開始是因?yàn)榇颂帞[球的速度最大，人在判定它經(jīng)過此位置的時(shí)刻，產(chǎn)

15、生的 計(jì)時(shí)誤差較小。要測(cè)量30次到50次全振動(dòng)的時(shí)間，然后取值計(jì)算出一次全振動(dòng)的時(shí)間，即為單擺的振動(dòng)周期。（三）數(shù)據(jù)的處理先通過數(shù)據(jù)分析，對(duì)周期和擺長(zhǎng)的定量關(guān)系做出猜測(cè)，例如可能是T二丨、T = l2，或者I、T 丨,然后按照猜測(cè)來確定縱坐標(biāo)軸和橫坐標(biāo)軸。例如，我們通過簡(jiǎn)單的估算，認(rèn)為很可能是T二I2，那么可以用縱坐標(biāo)表示T,橫坐標(biāo)表示I2，作出圖象。如果這樣作出的圖象確實(shí)是一條直線，說明的 確有Tl2的關(guān)系，否則再做其他嘗試。（四）實(shí)驗(yàn)結(jié)論單擺的周期與擺長(zhǎng)的平方根成正比。知識(shí)點(diǎn)三：?jiǎn)螖[的周期（一）單擺的周期公式實(shí)驗(yàn)證明單擺的周期與振幅 A關(guān)，與質(zhì)量m關(guān)，隨擺長(zhǎng)的增大而增大，隨重力加速度g的增

16、大而減小。荷蘭物理學(xué)家惠更斯總結(jié)出單擺周期公式：T（二）單擺的等時(shí)性在小振幅擺動(dòng)時(shí)，單擺的振動(dòng)周期與 無關(guān)的性質(zhì)稱為單擺的等時(shí)性利用單擺振動(dòng)周期與振幅無關(guān)的等時(shí)性，可制成計(jì)時(shí)儀器，如擺鐘等。由單擺周期公式知道，調(diào)節(jié) 即可調(diào)節(jié)鐘表的快慢。（三）等效擺長(zhǎng)與等效重力加速度在有些振動(dòng)系統(tǒng)中丨不一定是繩長(zhǎng)，g也不一定為9. 8m/s2，因此出現(xiàn)了等效擺長(zhǎng)和等效重力加速 度的問題。（1）等效擺長(zhǎng)m，球直徑為d。I?、I3與天花板的夾如圖所示，三根等長(zhǎng)的繩Ii、I2、I3共同系住一密度均勻的小球角：30°。若擺球在紙面內(nèi)做小角度的左右擺動(dòng)，則擺動(dòng)圓弧的圓心在Oi處，故等效擺長(zhǎng)，周期 Ti 二；若擺

17、球做垂直紙面的小角度擺動(dòng)，則擺動(dòng)圓弧的圓心在0處，故等效擺長(zhǎng)為.，周期T2二.（2）等效重力加速度 公式中的g由單擺所在的空間位置決定。由G耳二g知，g隨地球表面不同位置、不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此應(yīng)求出單 R2擺所在處的g 代入公式，即g不一定等于9. 8 m/s2。 g還由單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定。單擺處在向上加速發(fā)射的航天飛機(jī)內(nèi)，設(shè)加速度為 a此時(shí)擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧切線方向的回復(fù)力變大，擺球質(zhì)量不變，則重力加速度的等效值g、。若單擺若在軌道上運(yùn)行的航天飛機(jī)內(nèi)，擺球完全失重，回復(fù)力為零，則等效值 g>，所以周期為無窮大，即單擺不擺動(dòng)了。當(dāng)單擺有水平加速度a時(shí)（如加

18、速運(yùn)動(dòng)的車廂內(nèi)），等效重力加速g>，平衡位置已經(jīng)改變。單擺所處的物理環(huán)境決定。如帶電小球做成的單擺在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，回復(fù)力應(yīng)是 力和力的合力在圓弧切線方向的分力，所以也有等效值 g'的問題。:知識(shí)點(diǎn)四：用單擺測(cè)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?一) 實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦脝螖[測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?二) 實(shí)驗(yàn)器材鐵架臺(tái)(帶鐵夾)一個(gè)，中心有孔的金屬小球一個(gè)，長(zhǎng)約1m的細(xì)線一條，毫米刻度尺一根，游標(biāo)卡尺(選用)，秒表一塊(三) 實(shí)驗(yàn)原理單擺在偏角很小時(shí)的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期跟偏角的大小和擺球的質(zhì)量無關(guān)，這時(shí)單擺的周期公式是一匚g，變換這個(gè)公式可得-因此只要測(cè)出單擺的和，即可求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?g的

19、值。(四) 實(shí)驗(yàn)步驟(1) 在細(xì)線的一端打一個(gè)比小球上的孔徑稍大些的結(jié)，將細(xì)線穿過球上的小孔，制成一個(gè)單擺。(2) 將鐵夾固定在鐵架臺(tái)的上端，鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，把做好的單擺固 定在鐵夾上，使擺線自由下垂。(3) 測(cè)量單擺的擺長(zhǎng)1 :用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球直徑2r,再用米尺測(cè)出從懸點(diǎn)至小球上端的懸線長(zhǎng)1 ，則擺長(zhǎng)丨二。(4) 把單擺從平衡位置拉開一個(gè)小角度，使單擺在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，用秒表測(cè)量單擺完成全振動(dòng)30至50次所用的時(shí)間t，求出完成一次所用的平均時(shí)間，這就是單擺的周期 T。(5) 重復(fù)上述步驟，將每次對(duì)應(yīng)的擺長(zhǎng)1、周期T填于表中，按公式g二算出每次g值，然后求出結(jié)果擺長(zhǎng)1 (m)振動(dòng)次數(shù) n (s)N次歷時(shí)t (s)周期T (s)4兀21 g_ T2 (m/ s2)g(m/ s2)平均值(m/ s2)123(五) 注意事項(xiàng)(1) 選擇材料時(shí)擺線應(yīng)選擇 而不易的線，長(zhǎng)度一般不應(yīng)短于1m；小球應(yīng)選用密度較的金屬球，直徑應(yīng)較 ，最好不超過2cm；(2) 單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中，以免擺動(dòng)時(shí)發(fā)生擺線下滑、擺 長(zhǎng)改變的現(xiàn)象；(3) 擺動(dòng)時(shí)控制擺線偏離豎直方