第十章解析幾何（教案）

1、§10.1 坐標(biāo)法及其主要公式教學(xué)目的：1.理解直線的傾斜角、斜率的概念；2掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式；3.掌握點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行線間的距離公式。教學(xué)重點(diǎn):直線的斜率教學(xué)難點(diǎn):直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系。教學(xué)過(guò)程：一、 知識(shí)梳理1、直線的傾斜角：直線向上的方向和x軸正方向所成的最小正角，其范圍是。2、直線的斜率：不是的傾斜角的正切值，即。兩點(diǎn)式斜率公式：若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則該直線的斜率為。3、直線都有傾斜角，但不一定有斜率（當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜率不存在），它們的關(guān)系為，即k是在和上的增函數(shù)。4.距離（1）兩點(diǎn)間距離：若，則特別地：軸，則、軸，則。（2）平行線間距離：若， 則

2、：。注意點(diǎn)：x，y對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。（3）點(diǎn)到直線的距離：，則P到l的距離為：二、典型例題例1:（1995全國(guó)，5）圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（ ）Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案：D解析：直線l1的傾斜角1是鈍角，故k10，直線l2與l3的傾斜角2、3均為銳角，且23，所以k2k30，因此k2k3k1，故應(yīng)選D。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查直線的傾斜角、斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力。例2:（1）（05年江西高考）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是_。（2）（1997全國(guó)文，24）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分

3、別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)ylog2x的圖象交于C、D兩點(diǎn)。（1）證明點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上。（2）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。解析：（1）如圖，實(shí)數(shù)x，y滿足的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分（包括邊界），而表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，則直線AO的斜率最大，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，所以的最大值是。點(diǎn)評(píng)：本題還可以設(shè)，則，斜率k的最大值即為的最大值，但求解頗費(fèi)周折。（2）證明：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由題設(shè)知x11，x21，點(diǎn)A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.因?yàn)锳、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，所以，又點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（x1，log2x1），（x2，log2x

4、2）由于log2x13log8x1，log2x23log8x2，所以O(shè)C的斜率和OD的斜率分別為。由此得kOCkOD，即O、C、D在同一條直線上。由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1log8x2，解得 x2x13將其代入，得x13log8x13x1log8x1.由于x11，知log8x10，故x133x1，x1，于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，log8）.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力。例3:（2002全國(guó)文，21）已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（1，0）、N（1，0）距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1求直線PN的方程。解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5、x，y），由題設(shè)有，即。整理得 x2+y26x+1=0 因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|M|2，所以PMN30°，直線PM的斜率為±，直線PM的方程為y=±（x1） 將式代入式整理得x24x10。解得x2，x2。代入式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或（2，1）；（2，1）或（2，1）。直線PN的方程為y=x1或y=x+1。點(diǎn)評(píng)：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對(duì)思維的目的性、邏輯性

6、、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。§10.2 直線方程及其應(yīng)用教學(xué)目的：1、掌握直線方程的幾種形式，能根據(jù)條件求出直線的方程；2、掌握兩條直線平行與垂直的條件；能根據(jù)直線方程判定兩條直線的位置關(guān)系；會(huì)求兩條相交直線的交點(diǎn)；3、掌握點(diǎn)到直線的距離公式教學(xué)重點(diǎn)：直線的斜率、截距;直線方程的幾種形式；兩條直線的位置關(guān)系的判定；教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的理解。教學(xué)過(guò)程：一、 知識(shí)梳理1.直線方程的幾種形式直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱方程說(shuō)明適

7、用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90°的直線不能用此式點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上已知點(diǎn)，k斜率傾斜角為90°的直線不能用此式兩點(diǎn)式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個(gè)已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式截距式+=1a直線的橫截距b直線的縱截距過(guò)（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式Ax+By+C=0，分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不能同時(shí)為零直線的點(diǎn)斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 軸）的直線；兩點(diǎn)式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線及過(guò)原點(diǎn)的直線。注意：使用直線方程時(shí)要

8、注意方程的限制條件。2直線l1與直線l2的的平行與垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2；l1l2 k1k2=1。（2）若若A1、A2、B1、B2都不為零，l1/l2；l1l2 A1A2+B1B2=0；l1與l2相交；l1與l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與0的情況。兩條直線的交點(diǎn):兩條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)。二、典型例題例1：已知直線的點(diǎn)斜式方程為，求該直線另外三種特殊形式的方程。解析：（1）將移項(xiàng)、展開(kāi)括號(hào)后合并，即得斜截式方程。（2）因?yàn)辄c(diǎn)（2，1）、（0，）均滿足方程，故它們?yōu)橹本€上的兩點(diǎn)。 由兩

9、點(diǎn)式方程得： 即（3）由知：直線在y軸上的截距 又令，得 故直線的截距式方程點(diǎn)評(píng)：直線方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線在不同條件下的不同表現(xiàn)形式，要掌握好它們之間的互化。在解具體問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的條件、結(jié)論，靈活恰當(dāng)?shù)剡x用公式，使問(wèn)題解得簡(jiǎn)捷、明了。例2：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-5，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。解析：設(shè)所求直線的方程為， 直線過(guò)點(diǎn)P（-5，-4），即。 又由已知有，即， 解方程組，得：或 故所求直線的方程為：，或。即，或點(diǎn)評(píng)：要求的方程，須先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三種：（1）從點(diǎn)的坐標(biāo)或中直接觀察出來(lái)；（2）由斜截式或截距式方

10、程確定截距；（3）在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a?？傊?，在求直線方程時(shí)，設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算途徑比訓(xùn)練提高運(yùn)算能力更為重要。解題時(shí)善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。例3:（2003北京春理，12）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知AOB三邊所在直線的方程分別為x=0，y=0，2x+3y=30，則AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（ ）A95 B91 C88 D75答案：B解析一：由y=10x（0x15，xN）轉(zhuǎn)化為求滿足不等式y(tǒng)10x（0x15，xN）所有整數(shù)y的值.然后再求其總數(shù).令x=0，y有11個(gè)整數(shù)，x=1，y有10個(gè)，x=2或x=3

11、時(shí)，y分別有9個(gè)，x=4時(shí)，y有8個(gè)，x=5或6時(shí)，y分別有7個(gè)，類推：x=13時(shí)y有2個(gè)，x=14或15時(shí)，y分別有1個(gè)，共91個(gè)整點(diǎn).故選B。圖解析二：將x=0，y=0和2x+3y=30所圍成的三角形補(bǔ)成一個(gè)矩形.如圖所示。對(duì)角線上共有6個(gè)整點(diǎn)，矩形中（包括邊界）共有16×11=176.因此所求AOB內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)共有=91（個(gè)）點(diǎn)評(píng)：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過(guò)不等式解等知識(shí)探索解題途徑。例4:（2003京春理，22）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=1相切，點(diǎn)C在l上。（）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜

12、率為的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)。（i）問(wèn)：ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由；（ii）當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。（）解法一，依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.圖解法二：設(shè)M（x，y），依題意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=?；?jiǎn)得：y2=4x。（）（i）由題意得，直線AB的方程為y=（x1）.由消y得3x210x+3=0，解得x1=，x2=3。所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），|AB|=x1+x2+2=。假設(shè)存在點(diǎn)C（1，y），使ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|

13、=|AB|，即由得42+（y+2）2=（）2+（y）2，解得y=。但y=不符合，所以由，組成的方程組無(wú)解。因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得ABC是正三角形。（ii）解法一：設(shè)C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由得y=2，即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故y2。又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=。當(dāng)CAB為鈍角時(shí)，cosA=<0。即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即，即y>時(shí)，CAB為鈍角。當(dāng)|AC|2>|BC|2+|AB|2，即，即y<時(shí)，CBA為鈍角。又|

14、AB|2>|AC|2+|BC|2，即，即。該不等式無(wú)解，所以ACB不可能為鈍角。因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是。解法二：以AB為直徑的圓的方程為（x）2+（y+）2=（）2。圓心（）到直線l：x=1的距離為，所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G（1，）。當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，ACB為直角，當(dāng)C與G點(diǎn)不重合，且A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，ACB為銳角，即ABC中，ACB不可能是鈍角。因此，要使ABC為鈍角三角形，只可能是CAB或CBA為鈍角。過(guò)點(diǎn)A且與AB垂直的直線方程為。令x=1得y=。過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線方程為y+2（x3）。令x=1得y=。又由解得

15、y=2，所以，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形。因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y<或y>（y2）。點(diǎn)評(píng)：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想.該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。例5:（1）（2006北京11）若三點(diǎn) A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共線，

16、則, 的值等于 。（2）（2006上海文11）已知兩條直線若，則_ _。解析：（1）答案：；（2）2。點(diǎn)評(píng)：（1）三點(diǎn)共線問(wèn)題借助斜率來(lái)解決，只需保證；（2）對(duì)直線平行關(guān)系的判斷在一般式方程中注意系數(shù)為零的情況。例6:（1）（2006福建文，1）已知兩條直線和互相垂直，則等于（ ）A2 B1 C0 D（2）（2006安徽理，7）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D解析：（1）答案為D；（2）與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為，故選A。點(diǎn)評(píng)：直線間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，同時(shí)兼顧到斜率為零和不存在兩種情

17、況。例7:（2002京皖春文，8）到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（ ）Axy=0 Bx+y=0 C|x|y=0 D|x|y|=0解析：設(shè)到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)為（x，y）|x|y| |x|y|0。答案：D點(diǎn)評(píng)：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過(guò)不等式解等知識(shí)探索解題途徑§10.3 圓的方程及其應(yīng)用教學(xué)目的：1、掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程；2、了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程。教學(xué)重點(diǎn): 圓的方程的兩種形式。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)條件求圓的方程。教學(xué)過(guò)程：一、 知識(shí)梳理圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。特殊地，當(dāng)時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：。圓的

18、一般方程，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：、項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0，即；、沒(méi)有xy項(xiàng)，即B=0；、二、典型例題例1：（1）已知ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，1），B（6，3），C（3，0），求ABC外接圓的方程。分析：如果設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即可確定出三個(gè)獨(dú)立參數(shù)a，b，r，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果注意到ABC外接圓的圓心是ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，由此可求圓心坐標(biāo)和半徑，也可以寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一：設(shè)所求圓的方程是因?yàn)锳（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程，于是 可解得所以ABC的外接圓的方程是。解

19、法二：因?yàn)锳BC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，所以先求AB、BC的垂直平分線方程，求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。，線段AB的中點(diǎn)為（5，1），線段BC的中點(diǎn)為，圖41AB的垂直平分線方程為，BC的垂直平分線方程解由聯(lián)立的方程組可得 ABC外接圓的圓心為（1，3），半徑。故ABC外接圓的方程是點(diǎn)評(píng)：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)。（2）求過(guò)A（4，1），B（6，3），C（3，0）三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。分析：細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例1是相同的，在那里我們用了兩種方法求圓的方程現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解（解法三），可

20、以比較一下哪種方法簡(jiǎn)捷。解析：設(shè)圓的方程為因?yàn)槿c(diǎn)A（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程的解，將它們的坐標(biāo)分別代入方程，得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的一個(gè)三元一次方程組： ，解得。所以，圓的方程是。圓心是坐標(biāo)（1，3），半徑為。點(diǎn)評(píng)：“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法一般地，在選用圓的方程形式時(shí)，若問(wèn)題涉及圓心和半徑，則選用標(biāo)準(zhǔn)方程比較方便，否則選用一般方程方便些。例2：若方程。（1）當(dāng)且僅當(dāng)在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個(gè)圓。（2）當(dāng)在以上范圍內(nèi)變化時(shí)，求圓心的軌跡方程。解析：（1）由， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 即時(shí)，給定的方程表示一個(gè)圓。（2）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則（為參數(shù)）。消

21、去參數(shù)，為所求圓心軌跡方程。點(diǎn)評(píng)：圓的一般方程，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。例3：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，給定y軸正半軸上兩點(diǎn)A（0，a），B（0，b）（），試在x軸正半軸上求一點(diǎn)C，使ACB取得最大值。解析：設(shè)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，在ABC中由正弦定理，有。其中R是ABC的外接圓的半徑。可見(jiàn)，當(dāng)R取得最小值時(shí)，ACB取得最大值。在過(guò)A、B兩定點(diǎn)且與x軸正向有交點(diǎn)C的諸圓中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C是圓與x軸的切點(diǎn)時(shí)，半徑最小。故切點(diǎn)C即為所求。由切割線定理，得：所以 ，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，ACB取得最大值。點(diǎn)評(píng)：圓是最簡(jiǎn)單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能作一個(gè)輔助

22、圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問(wèn)題得解，起到鋪路搭橋的作用。例4：已知O過(guò)定點(diǎn)A(0，p)(p>0)，圓心O在拋物線x2=2py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O截x軸所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，MAN=。（1）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；（2）求+的最大值，并求取得最大值的值。解析：設(shè)O(x0，y0)，則x02=2py0 (y00)，O的半徑|OA|=，O的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x22x0x+x02p2=0，解得xM=x0 p，xN=x0+p，|MN|=| xN xM|=2p為定

23、值。（2）M(x0-p，0) ，N(x0+p，0) d1=，d2=，則d12+d22=4p2+2x02，d1d2=，+=2=22=2。當(dāng)且僅當(dāng)x02=2p2，即x=±p，y0=p時(shí)等號(hào)成立，+的最大值為2。此時(shí)|OB|=|MB|=|NB|（B為MN中點(diǎn)），又OM=ON，OMN為等腰直角三角形，MON=90°，則=MON=45°。點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。§10.4 直線與圓的綜合問(wèn)題教學(xué)目的：1、能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；2、能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；3、在平面解析幾何初步的

24、學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。教學(xué)重點(diǎn): 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的處理方法。教學(xué)難點(diǎn)：解析幾何與平面幾何中的位置關(guān)系的銜接。教學(xué)過(guò)程：一、 知識(shí)梳理1、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有三種（1）若，；（2）；（3）。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過(guò)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷：（1）當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)（直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相交；（2）當(dāng)方程組有且只有1個(gè)公共解時(shí)（直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相切；（3）當(dāng)方程組沒(méi)有公共解時(shí)（直線與圓沒(méi)有交點(diǎn)），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為，圓心C到直線l的距離為d,則直

25、線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切d=r0；相交d<r>0；相離d>r<0。2、圓與圓的位置關(guān)系：兩圓位置關(guān)系的判定方法，設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。； 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系也可以通過(guò)聯(lián)立方程組判斷公共解的個(gè)數(shù)來(lái)解決。二、典型例題例1：（1）（2006安徽文，7）直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A B C D （2）（2006江蘇理，2）圓的切線方程中有一個(gè)是（ ）Axy0 Bxy0 Cx0 Dy0解析：（1）解析：由圓的圓心到直線大于，且，選A。點(diǎn)評(píng)：該題考察了直線與圓位置關(guān)系的判定。（2）直線ax+by=0

26、，則，由排除法，選C，本題也可數(shù)形結(jié)合，畫(huà)出他們的圖象自然會(huì)選C,用圖象法解最省事。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑。直線與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件：直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來(lái)解。例2：（2006江西理，16）已知圓M：（xcosq）2（ysinq）21，直線l：ykx，下面四個(gè)命題：（A） 對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M相切；（B） 對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點(diǎn)；（C） 對(duì)任意實(shí)數(shù)q，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與和圓M相切；（D）對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在

27、實(shí)數(shù)q，使得直線l與和圓M相切。其中真命題的代號(hào)是_（寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）解析：圓心坐標(biāo)為（cosq，sinq）d故選（B）（D）點(diǎn)評(píng)：該題復(fù)合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想。例3：（1999全國(guó)，9）直線x+y2=0截圓x2y24得的劣弧所對(duì)的圓心角為（ ）A B C D圖解析：如圖所示：由消y得：x23x+2=0，x1=2，x2=1。A（2，0），B（1，）|AB|=2 又|OB|OA|=2，AOB是等邊三角形，AOB=，故選C。點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓相交的基本知識(shí)，及正三角形的性質(zhì)以及邏輯思維能力和數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的簡(jiǎn)捷性。如果注意到直線AB的傾斜角為12

28、0°，則等腰OAB的底角為60°.因此AOB=60°.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。例4：（2006全國(guó)2，16）過(guò)點(diǎn)（1，）的直線l將圓(x2)2y24分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k 。解析：過(guò)點(diǎn)的直線將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線的斜率解析(數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點(diǎn)A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小,只能是直線，所以。點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)形結(jié)合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關(guān)系，難度中等。例5：（89年高考題）一束光線l自A（3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到C：x2y24x4y70上。() 求反

29、射線通過(guò)圓心C時(shí)，光線l的方程；() 求在x軸上，反射點(diǎn)M的范圍解法一：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2+(y2)2=1，它關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程是(x2)2+(y+2)2=1。設(shè)光線L所在的直線的方程是y3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題設(shè)知對(duì)稱圓的圓心C（2，-2）到這條直線的距離等于1，即d=1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= 或k= 。故所求直線方程是y3=(x+3)，或y3= (x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。解法二：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2+(y2)2=1，設(shè)交線L所在的直線的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題意知k0，于是L

30、的反射點(diǎn)的坐標(biāo)是（，0），因?yàn)楣饩€的入射角等于反射角，所以反射光線L所在直線的方程為y= k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。這條直線應(yīng)與已知圓相切，故圓心到直線的距離為1，即d=1。以下同解法一。點(diǎn)評(píng)：圓復(fù)合直線的對(duì)稱問(wèn)題，解題思路兼顧到直線對(duì)稱性問(wèn)題，重點(diǎn)關(guān)注對(duì)稱圓的幾何要素，特別是圓心坐標(biāo)和圓的半徑。例6：已知函數(shù)f(x)=x21(x1)的圖像為C1，曲線C2與C1關(guān)于直線y=x對(duì)稱。（1）求曲線C2的方程y=g(x)；（2）設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镸，x1，x2M，且x1x2，求證|g(x1)g(x2)|<|x1x2|;（3）設(shè)A、B為曲線C2上任意不同兩點(diǎn)，證明直線A

31、B與直線y=x必相交。解析：（1）曲線C1和C2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)。y=x21，x2=y+1，又x1，x=，則曲線C2的方程為g(x)= (x0)。（2）設(shè)x1，x2M，且x1x2，則x1x20。又x10， x20，|g(x1)g(x2)|=| |=<|x1x2|。（3）設(shè)A(x1，y1)、B（x2，y2）為曲線C2上任意不同兩點(diǎn)，x1，x2M，且x1x2，由（2）知，|kAB|=|=<1直線AB的斜率|kAB|1，又直線y=x的斜率為1，直線AB與直線y=x必相交。點(diǎn)評(píng)：曲線對(duì)稱問(wèn)題應(yīng)從方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手來(lái)處理，最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

32、。例7：（2005山東理，22）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中。（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（I）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由知：所以。因此直線的方程可表示為，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)。（2）當(dāng)

33、時(shí)，由，得=，將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)。所以由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問(wèn)題，屬于難度較大的綜合題目。例8：（2005江蘇，19）如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過(guò)動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線（分別為切點(diǎn)），使得. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解析：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，。由已知，得。因?yàn)閮蓤A半徑均為1，所以。設(shè)，則，即(或)。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運(yùn)算能力。例9：已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最大值與最小值。

34、解析：表示過(guò)點(diǎn)A（0，1）和圓上的動(dòng)點(diǎn)（x，y）的直線的斜率。如下圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率分別取得最大值和最小值。設(shè)切線方程為，即，則，解得。因此，點(diǎn)評(píng)：直線知識(shí)是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用直線知識(shí)解題具有構(gòu)思巧妙、直觀性強(qiáng)等特點(diǎn)，對(duì)啟迪思維大有裨益。下面舉例說(shuō)明其在最值問(wèn)題中的巧妙運(yùn)用。例10：設(shè)雙曲線的兩支分別為，正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上。若在上，Q、R在上，求頂點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)。分析：正三角形PQR中，有，則以為圓心，為半徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點(diǎn)。根據(jù)兩曲線方程可求出交點(diǎn)Q、R坐標(biāo)。解析：設(shè)以P為圓心，為半徑的圓的方程為：，由得：。（其中，可令進(jìn)行換元解之）

35、設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則。即，同理可得：，且因?yàn)镻QR是正三角形，則，即，得。代入方程，即。由方程組，得：或，所以，所求Q、R的坐標(biāo)分別為點(diǎn)評(píng)：圓是最簡(jiǎn)單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能作一個(gè)輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問(wèn)題得解，起到鋪路搭橋的作用。歸納小結(jié)：1關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題：（1）關(guān)于l ：Ax By C 0對(duì)稱問(wèn)題：不論點(diǎn)，直線與曲線關(guān)于l 對(duì)稱問(wèn)題總可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于l 對(duì)稱問(wèn)題，因?yàn)閷?duì)稱是由平分與垂直兩部分組成，如求P（x0 ，y0）關(guān)于l ：Ax By C 0對(duì)稱點(diǎn)Q（x1 ，y1）有（1）與A·B·

36、C 0。（2）解出x1 與y1 ；若求C1 ：曲線f（x ，y）0（包括直線）關(guān)于l ：Ax By C1 0對(duì)稱的曲線C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 g1（x1 ，y1）與y0 g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）0，就得到關(guān)于l 對(duì)稱的曲線C2 方程：f g1（x ，y），g2（x ，y）0。（3）若l ：Ax By C 0中的x ，y 項(xiàng)系數(shù)|A|1，|B |1就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C1 ：y2 4 x 2關(guān)于l ：x y 40對(duì)稱的曲線l2 的方程為：(x 4) 2 4（y 4）2即y 用x 4代，x 用y

37、 4代，這樣就比較簡(jiǎn)單了。（4）解有關(guān)入射光線與反射光線問(wèn)題就可以用對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決。點(diǎn)與圓位置關(guān)系：P（x0 ，y0）和圓C ：(x a) 2 (y b) 2 r2。點(diǎn)P 在圓C 外有(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2；點(diǎn)P 在圓上：(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2；點(diǎn)P 在圓內(nèi)：(x0 a) 2 (y0 b) 2 r2 。3直線與圓的位置關(guān)系：l ：f1（x ，y）0圓C ：f2（x ，y）0消y 得F（x2）0。（1）直線與圓相交：F（x ，y）0中D 0；或圓心到直線距離d r 。直線與圓相交的相關(guān)問(wèn)題：弦長(zhǎng)|AB|·|x1 x2|·，或|AB|2；弦中

38、點(diǎn)坐標(biāo)（，）；弦中點(diǎn)軌跡方程。（2）直線與圓相切：F（x）0中D 0，或d r 其相關(guān)問(wèn)題是切線方程如P（x0 ，y0）是圓x2 y2 r2 上的點(diǎn)，過(guò)P 的切線方程為x0x y0y r2 ，其二是圓外點(diǎn)P（x0 ，y0）向圓到兩條切線的切線長(zhǎng)為或；其三是P（x0 ，y0）為圓x2 y2 r2 外一點(diǎn)引兩條切線，有兩個(gè)切點(diǎn)A ，B ，過(guò)A ，B 的直線方程為x0x y0y r2 。（3）直線與圓相離：F（x）0中D 0；或d r ；主要是圓上的點(diǎn)到直線距離d 的最大值與最小值，設(shè)Q 為圓C ：(x a) 2 (y b) 2 r2 上任一點(diǎn)，|PQ|max |PC|r ；|PQ|min |PQ|

39、r ，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值4圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距|O1O2|與兩半徑r1 ，r2 的和差關(guān)系判定（1）設(shè)O1 圓心O1 ，半徑r1 ，O2 圓心O2 ，半徑r2 則：當(dāng)r1 r2 |O1O2|時(shí)O1 與O2 外切；當(dāng)|r1 r2|O1O2|時(shí)，兩圓相切；當(dāng)|r1 r2|O1O2|r1 r2 時(shí)兩圓相交；當(dāng)|r1 r2|O1O2|時(shí)兩圓內(nèi)含；當(dāng)r1 r2 |O1O2|時(shí)兩圓外離。（2）設(shè)O1 ：x2 y2 D1x E1y F1 0，O2 ：x2 y2 D2x E2y F2 0。兩圓相交A 、B 兩點(diǎn)，其公共弦所在直線方程為（D1 D2）x （E1 E2

40、）y F1 F2 0；經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓系方程為x2 y2 D1x E1y F1 l（x2 y2 D2x E2y F2）0（不包括O2 方程）。§10.5 橢 圓教學(xué)目的：1、掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、了解運(yùn)用曲線的方程研究曲線幾何性質(zhì)的思想方法；3、能運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn): 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程：一、 知識(shí)梳理1、橢圓的概念：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。

41、若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（）（焦點(diǎn)在x軸上）或（）（焦點(diǎn)在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。3、橢圓的幾何性質(zhì)：范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說(shuō)明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對(duì)稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱。若同時(shí)以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫

42、橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為和，和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比叫橢圓的離心率。，且越接近，就越接近，從而就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。二、典型例題例1：求

43、適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于；（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（3）焦點(diǎn)在軸上，；（4）焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)點(diǎn)；（5）焦距為，；（6）橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，。解析：（1）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）橢圓焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓的定義知，又，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（3），又由代入得，又焦點(diǎn)在軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（4）設(shè)橢圓方程為， ， 又，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（5）焦距為， ，又，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或（6）設(shè)橢圓方程為（）， 由得，所以，橢圓方程為點(diǎn)

44、評(píng)：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關(guān)系。例2：（1）（06山東）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。（2）（06天津理，8）橢圓的中心為點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為，則這個(gè)橢圓的方程是（） 解析：（1）已知為所求；（2）橢圓的中心為點(diǎn)它的一個(gè)焦點(diǎn)為 半焦距，相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線方程為 ，則這個(gè)橢圓的方程是，選D。點(diǎn)評(píng)：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好基礎(chǔ)知識(shí)就可以。例3：（1）（06山東理，7）在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為

45、（ ）(A) (B) (C) (D)（2）（1999全國(guó)，15）設(shè)橢圓=1（ab0）的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為l1，若過(guò)F1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到l1的距離，則橢圓的離心率是 。解析：（1）不妨設(shè)橢圓方程為（a>b>0），則有，據(jù)此求出e，選B。（2）；解析：由題意知過(guò)F1且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為，即e=。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的基本性質(zhì)。例4：（1）（2000京皖春，9）橢圓短軸長(zhǎng)是2，長(zhǎng)軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準(zhǔn)線距離是（ ）A. B. C. D.（2）（1998全國(guó)理，2）橢圓=1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|P

46、F2|的（ ）A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍解析：（1）D；由題意知a=2，b=1，c=，準(zhǔn)線方程為x=±，橢圓中心到準(zhǔn)線距離為（2）A；不妨設(shè)F1（3，0），F(xiàn)2（3，0）由條件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故選A。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義及數(shù)形結(jié)合思想，具有較強(qiáng)的思辨性，是高考命題的方向。例5：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為（）證明；（）求使得下述命題成立：設(shè)圓上任意點(diǎn)處的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，則（）證法一：由題設(shè)及，不妨設(shè)點(diǎn)，其中，由于點(diǎn)在橢圓上，有，解得，從而得到，直線的方程為，整理

47、得由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即，將代入原式并化簡(jiǎn)得，即證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知，故由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：圓上的任意點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí)，圓上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)和，因此點(diǎn)，的坐標(biāo)是方程組的解當(dāng)時(shí)，由式得代入式，得，即，于是，若，則所以，由，得在區(qū)間內(nèi)此方程的解為當(dāng)時(shí)，必有，同理求得在區(qū)間內(nèi)的解為另一方面，當(dāng)時(shí)，可推出，從而綜上所述，使得所述命題成立歸納小結(jié)：1定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡3圖形如圖2-15、2-164焦點(diǎn)：F1(-c，0)

48、，F(xiàn)2(c，0)F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)§10.6 雙曲線 教學(xué)目的：1、了解雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、會(huì)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn): 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程：一、 知識(shí)梳理1、雙曲線的定義：平面上與兩點(diǎn),距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)（）的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（）。注意：（*）式中是差的絕對(duì)值，在條件下；時(shí)為雙曲線的一支（含的一支）；時(shí)為雙曲線的另一支（含的一支）；當(dāng)時(shí)，表示兩條射線；當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形；兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。2、

49、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點(diǎn)注意：如何由方程確定焦點(diǎn)的位置！3、雙曲線的性質(zhì)：范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里，對(duì)稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn)。令，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒(méi)有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線的

50、頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。漸近線：注意到開(kāi)課之初所畫(huà)的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當(dāng)時(shí)交

51、點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。注意與的區(qū)別：三個(gè)量中不同（互換）相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。二、典型例題例1：（1）已知焦點(diǎn)，雙曲線上的一點(diǎn)到的距離差的絕對(duì)值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程；（3）已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，。所以所求雙曲線的方程為；（2）橢圓的焦點(diǎn)為，可以設(shè)雙曲線的方程為，則。又過(guò)點(diǎn)，。綜上得，所以。點(diǎn)評(píng)：雙曲線的定義；方程確定焦點(diǎn)的方法；基本量之間的關(guān)系。（3）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程。將分別代入方程中，得方程組：將和看著整體，解得，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。點(diǎn)評(píng)：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒(méi)有必要求出的值；在求解的過(guò)程中也可以用換元思想，可能會(huì)看的更清楚。例2：(06上海卷)已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.解析：雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,則焦點(diǎn)在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，即，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)以及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為直觀簡(jiǎn)捷。例3：（1）（06福建卷）已知雙曲線(