蘇科版初中數(shù)學(xué)教材培訓(xùn)

1、蘇科版教材編寫組蘇科版教材編寫組 蘇科版初中數(shù)學(xué)教材九年蘇科版初中數(shù)學(xué)教材九年級級“空間與圖形空間與圖形”部分主要包部分主要包括：括： 1.1.圖形與證明（二）圖形與證明（二） 2. 2.中心對稱圖形（二）中心對稱圖形（二） 根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）的意見，教材中，涉及幾何證明的內(nèi)容主要安排在八年級下學(xué)期及九年級進(jìn)行. 在學(xué)習(xí)“圖形與證明（一）”、“圖形與證明（二）”之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)過如下幾何內(nèi)容： 走進(jìn)圖形世界；平面圖形的認(rèn)識（一）；平面圖形的認(rèn)識（二）；圖形的全等；軸對稱圖形；中心對稱圖形（一）；圖形的相似等. 八年級（下冊）“圖形與證明（一）”是通過七、八年級幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)，學(xué)生對基本圖形有

2、了一定的直觀認(rèn)識，并進(jìn)行了簡單說理的基礎(chǔ)上設(shè)計的.目標(biāo)有2個： 1.1.通過生活中、數(shù)學(xué)中的具體例子，通過生活中、數(shù)學(xué)中的具體例子，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到僅憑觀察、實驗、歸納、引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到僅憑觀察、實驗、歸納、類比得出的結(jié)論，其正確性往往有待進(jìn)一類比得出的結(jié)論，其正確性往往有待進(jìn)一步確認(rèn)，感悟到合乎邏輯的推理證明是必步確認(rèn)，感悟到合乎邏輯的推理證明是必要的要的. . 根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿），“空間與圖形”主要包括“空間觀念”、“圖形的運(yùn)動變化”和“推理與證明”3個主題. 對對“空間觀念空間觀念”的理解的理解： 1.1.轉(zhuǎn)化是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要方法轉(zhuǎn)化是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要方法. . 2. 2.

3、觀察、觀察、操作是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要操作是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要手段手段（引導(dǎo)學(xué)生在（引導(dǎo)學(xué)生在“做做”中獲得感受，領(lǐng)中獲得感受，領(lǐng)悟具體事例的數(shù)學(xué)本質(zhì)；在悟具體事例的數(shù)學(xué)本質(zhì)；在“做做”中探索中探索知識和結(jié)論）知識和結(jié)論）. . 3.3.幾何直觀是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要途幾何直觀是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要途徑徑（直觀感知來自于沒有嚴(yán)格演繹體系的、（直觀感知來自于沒有嚴(yán)格演繹體系的、形象化的推理，是一種結(jié)合情境而進(jìn)行的形象化的推理，是一種結(jié)合情境而進(jìn)行的思維活動）思維活動）. . 對對“圖形的運(yùn)動變化圖形的運(yùn)動變化”的理解的理解： “圖形的運(yùn)動變化圖形的運(yùn)動變化”主要包括：圖形的主要包括：圖

4、形的對稱、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的平移、圖形的對稱、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的平移、圖形的相似、圖形的投影以及運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形相似、圖形的投影以及運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動等內(nèi)容的位置和運(yùn)動等內(nèi)容. . “圖形的運(yùn)動變化圖形的運(yùn)動變化”創(chuàng)設(shè)了有利于學(xué)生創(chuàng)設(shè)了有利于學(xué)生感知、理解的情境，揭示了其中所蘊(yùn)含的感知、理解的情境，揭示了其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)含義，是幾何課程改革的重要內(nèi)容數(shù)學(xué)含義，是幾何課程改革的重要內(nèi)容. . 對對“推理與證明推理與證明”的理解的理解： 推理一般包括合情推理和演繹推理推理一般包括合情推理和演繹推理. .在在解決問題的過程中，合情推理有助于探索、解決問題的過程中，合情推理有助于探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)

5、論發(fā)現(xiàn)結(jié)論. .演繹推理用于證明結(jié)論的正確性演繹推理用于證明結(jié)論的正確性. . 數(shù)學(xué)對發(fā)展推理能力的作用，人們早數(shù)學(xué)對發(fā)展推理能力的作用，人們早已認(rèn)同并深信不疑已認(rèn)同并深信不疑. . 通過演繹推理培養(yǎng)學(xué)生通過演繹推理培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，通過推理確認(rèn)圖形的性質(zhì)，是的思維能力，通過推理確認(rèn)圖形的性質(zhì)，是“空間與圖形空間與圖形”學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容. . 案例案例1 1 圖圖1 1是一張正方形紙片，按圖是一張正方形紙片，按圖示尺寸把它剪成示尺寸把它剪成4 4塊，按圖塊，按圖2 2重新拼合重新拼合. . 這這4 4塊能拼成一個長為塊能拼成一個長為1313、寬為、寬為5 5的矩形的矩形嗎？為什么

6、？嗎？為什么？ 圖圖1 1 圖圖2 2 “圖圖1”1”的面積是的面積是6464，而，而“圖圖2”2”的面積是的面積是6565，顯然顯然“圖圖1”1”剪出的剪出的4 4塊不能拼成一個長為塊不能拼成一個長為1313，寬，寬為為5 5的矩形的矩形. . 證明證明：如圖如圖3 3，過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作ACAC的垂線，垂足為的垂線，垂足為F F. . 假設(shè)假設(shè)“圖圖2 2”是矩形，那么是矩形，那么“圖圖2 2” 的右下角應(yīng)是直角，在的右下角應(yīng)是直角，在“圖圖3 3”中中 有有1+3=901+3=900 0. . 又又2+3=902+3=900 0， 所以所以1=21=2，ABCABCDEFDEF. . 于

7、是，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成于是，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成 比例，有比例，有 ，而這是不可能，而這是不可能 的，即拼成的的，即拼成的“圖圖2 2”不是矩形不是矩形. . 圖圖3 3 5283 這里，由于 誤差很小，造 成了我們視覺上的誤差. 這個例子從一個側(cè)面說明：完全憑完全憑借直覺是不行的，還需要通過演繹推理借直覺是不行的，還需要通過演繹推理來確認(rèn)來確認(rèn). .2513824 推理能力是學(xué)生的重要能力. 基于此，即將公布的課程標(biāo)準(zhǔn)將標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）中的“圖形的認(rèn)識”（合情推理）（合情推理）、“圖形與證明”（演繹推理）（演繹推理）這2個具體目標(biāo)合并為“圖形的性 質(zhì)”，這樣在教材中就可以將合情推理與演繹

8、推理融合起來，從余角、補(bǔ)角、對頂角起開始組織推理證明，避免教學(xué)上的“重復(fù)”. 不過，不過，“通通過合情推理探索、推測圖形的性質(zhì)，運(yùn)用圖形的過合情推理探索、推測圖形的性質(zhì)，運(yùn)用圖形的運(yùn)動變化發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)圖形的性質(zhì)；通過演繹推理運(yùn)動變化發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)圖形的性質(zhì)；通過演繹推理證明圖形的性質(zhì)證明圖形的性質(zhì)”這一研究幾何圖形的思想方法這一研究幾何圖形的思想方法仍將會強(qiáng)化，不會回到舊教材的仍將會強(qiáng)化，不會回到舊教材的“學(xué)幾何學(xué)幾何= =學(xué)證學(xué)證明明= =學(xué)三段證學(xué)三段證”的老路子上去的老路子上去. . 2.從五個基本事實： 同位角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行； 兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同

9、位角相等； 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等； 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等； 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 出發(fā)，證明我們曾經(jīng)探索、發(fā)現(xiàn)的有關(guān)平行線、三角形的一些性質(zhì)是正確的. 同時，使學(xué)生理解證明的基本過程，掌握綜合法的基本格式，初步感受公理化思想. “圖形與證明（二）”是在“圖形與證明（一）”的基礎(chǔ)上設(shè)計的.目標(biāo)有目標(biāo)有2 2個：個： 1.繼續(xù)從5個基本事實出發(fā)，證明下列命題： （1 1）直角三角形全等的判定定理）直角三角形全等的判定定理. . （2 2）角

10、平分線的性質(zhì)定理及逆其定理；三角形的）角平分線的性質(zhì)定理及逆其定理；三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)（內(nèi)心）三條角平分線相交于一點(diǎn)（內(nèi)心）. . （3 3）線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆其定理；）線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆其定理；三角形的三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)（外心）三角形的三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)（外心）. . （4 4）三角形中位線定理）三角形中位線定理. . （5 5）等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性）等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)定理、判定定理質(zhì)定理、判定定理. . （6 6）平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯）平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質(zhì)

11、定理、判定定理形的性質(zhì)定理、判定定理. . 2.通過對有關(guān)命題的證明進(jìn)一步感受公理化思想，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，感受證明的必要性，并逐步學(xué)會分析、綜合的思考方法，發(fā)展有條理的思考和表達(dá)自己想法的能力 . 學(xué)生對學(xué)生對“三角形中位線的性質(zhì)三角形中位線的性質(zhì)”的探索、證的探索、證明存在如下難點(diǎn)：明存在如下難點(diǎn)： （1 1）課標(biāo)課標(biāo)末列入末列入“經(jīng)過三角形一邊的中經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊”的教學(xué)內(nèi)的教學(xué)內(nèi)容，這實際上是容，這實際上是“三角形中位線的判定定理三角形中位線的判定定理”. . 這樣，在三角形中位線的性質(zhì)的探索、證明中，

12、這樣，在三角形中位線的性質(zhì)的探索、證明中，就不能抓住三角形中位線的判定與三角形中位線就不能抓住三角形中位線的判定與三角形中位線的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行探索、證明的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行探索、證明. . （2 2）如何分析輔助線添加的方法，探索輔助）如何分析輔助線添加的方法，探索輔助線添加的線添加的“源源”. . 問題情境：問題情境：怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形？使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形？ 操作探索：操作探索： （1）在三角形紙片ABC中，分別 取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連接DE； （2）沿DE將ABC剪成兩部分， 并將

13、ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)1800，得四 邊形BCFD（如圖4）. 四邊形四邊形BCFDBCFD是平行四邊形嗎？是平行四邊形嗎？ 圖4 ?F?E?D?C?B?A 九（上）教材九（上）教材P30中：中：“延長延長DEDE到點(diǎn)到點(diǎn)F F，使，使EFEF= =DEDE，連接，連接CF.CF.”正是由上述的操作、探索活動正是由上述的操作、探索活動得到的得到的. . 這樣，通過問題情境“怎 樣將一張三角形紙片剪成兩部 分，使分成的兩部分能拼成一 個平行四邊形”的操作、探索 活動，就分析出了添加輔助線 的方法，找到了解決問題的“源”,感悟了其中的數(shù)學(xué)思想，獲得了數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗.?F?E?D?C?B?A 三角形中位線

14、性質(zhì)的應(yīng)用：三角形中位線性質(zhì)的應(yīng)用： 如圖是一個四邊形的活如圖是一個四邊形的活動框架，在四邊的中點(diǎn)處依動框架，在四邊的中點(diǎn)處依次連接橡皮筋次連接橡皮筋. . 改變框架的改變框架的形狀，不管四邊形怎樣活動，形狀，不管四邊形怎樣活動，由橡皮筋組成的四邊形是什由橡皮筋組成的四邊形是什么特殊的四邊形？么特殊的四邊形？?D?C?B?A 作為三角形中位線性質(zhì)的證明，是作為三角形中位線性質(zhì)的證明，是把三角形中點(diǎn)問題通過添加輔助線，轉(zhuǎn)把三角形中點(diǎn)問題通過添加輔助線，轉(zhuǎn)化為平行四邊形來解決；反過來，作為化為平行四邊形來解決；反過來，作為三角形中位線性質(zhì)的運(yùn)用，又通過添加三角形中位線性質(zhì)的運(yùn)用，又通過添加輔助線把

15、四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解決輔助線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解決. .這這種三角形與四邊形的相互轉(zhuǎn)化是種三角形與四邊形的相互轉(zhuǎn)化是“圖形圖形與幾何與幾何”中典型的轉(zhuǎn)化中典型的轉(zhuǎn)化. . 將將“圖形與證明（一）圖形與證明（一）”、“圖圖形與證明（二）形與證明（二）”的教學(xué)內(nèi)容與前面的教學(xué)內(nèi)容與前面7 7章的幾何教學(xué)內(nèi)容比較一下，似乎章的幾何教學(xué)內(nèi)容比較一下，似乎給人以給人以“證證2 2次，用次，用2 2次次”的感覺的感覺. . 這這種觀點(diǎn)有其正確的一面種觀點(diǎn)有其正確的一面（重新修訂后（重新修訂后的的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)在這方面作了比較大的修在這方面作了比較大的修改，不再將合情推理與演繹推理分隔改，不再將合情推理與演

16、繹推理分隔開來），開來），但也有認(rèn)識不夠全面的一面但也有認(rèn)識不夠全面的一面. . （以（以“中心對稱圖形（一）中心對稱圖形（一）”為為例說明）例說明） 八年級教材中探索、判定四邊形是平行四邊形八年級教材中探索、判定四邊形是平行四邊形的條件：的條件：一組對邊平行并且相等的四邊形是平行一組對邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形四邊形. . 在方格紙上畫兩條互相平行并且相等的線段在方格紙上畫兩條互相平行并且相等的線段ADAD、BCBC，連接，連接ABAB、DCDC，你能說明所畫四邊形是平，你能說明所畫四邊形是平行四邊形嗎行四邊形嗎？ 如圖，由于如圖，由于ADADBCBC，ADAD = =BCBC，這樣

17、就可以把這樣就可以把BCBC看成看成 是由是由ADAD沿沿ABAB方向平移得到方向平移得到 的，根據(jù)平移的性質(zhì)，得的，根據(jù)平移的性質(zhì)，得 ABABDCDC，于是可以判斷四于是可以判斷四 邊形邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形. . ?D?C?B?A 探索平行四邊形的性質(zhì)：探索平行四邊形的性質(zhì)： 如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)O是對角線的交點(diǎn)是對角線的交點(diǎn). 因為平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)是它的對因為平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)是它的對稱中心，所以平行四邊形稱中心，所以平行四邊形ABCD繞點(diǎn)繞點(diǎn)O互換了位置，旋轉(zhuǎn)互換了位置，旋轉(zhuǎn)后的圖形與

18、原來的圖形重合后的圖形與原來的圖形重合. 這樣，這樣， AB=DC，AD=BC； ABCABC= = CDACDA， BCDBCD=DABDAB； OAOA= =OCOC，OBOB= =ODOD. . 即即 平行四邊形的對邊相等平行四邊形的對邊相等. . 平行四邊形的對角相等平行四邊形的對角相等. . 平行四邊形的對角線互相平分平行四邊形的對角線互相平分. . O A(C) D(B) B(D) C(A) 蘇科版初中數(shù)學(xué)教材作這樣安排的目的在于： 1.在基本符合標(biāo)準(zhǔn)總體設(shè)計的原則下，盡量避免教學(xué)上的重復(fù). 2.滲透乃至強(qiáng)化圖形運(yùn)動變化（如軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移）的教學(xué)內(nèi)容，并運(yùn)用運(yùn)用圖形的運(yùn)動變化，

19、直觀地探索、確認(rèn)圖形圖形的運(yùn)動變化，直觀地探索、確認(rèn)圖形的一些性質(zhì)，使學(xué)生在掌握圖形的性質(zhì)的的一些性質(zhì)，使學(xué)生在掌握圖形的性質(zhì)的同時，獲得研究圖形的一種有效途徑和方同時，獲得研究圖形的一種有效途徑和方法法. . 標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）在設(shè)計思路部分，對“圖形與幾何”的教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)作了如下闡述： “圖形與幾何”的主要內(nèi)容是： （1 1）空間與平面的基本圖形，圖形的性質(zhì)和分類；空間與平面的基本圖形，圖形的性質(zhì)和分類；（2 2）圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；（3 3）平面圖形基本性質(zhì)的證明；平面圖形基本性質(zhì)的證明； （4 4）運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動運(yùn)用坐

20、標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動. . 要運(yùn)用多種方法研究圖形的性質(zhì)：通過合情推理探索、推測圖形的性質(zhì)；運(yùn)用圖形的運(yùn)動變化發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)圖形的性質(zhì)；通過演繹推理證明圖形的性質(zhì). 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）對“圖形與幾何”的教學(xué)定位，“圖形與證明（二）”的設(shè)計，較多地關(guān)注對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)：教材設(shè)置了思考與表述、證明的途徑兩個欄目，其中“怎么想？”滲透分析的思考方法，“怎么寫？”幫助學(xué)生用綜合法書寫證明的過程，以引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會分析和綜合的思考方法；教材配置了生活中運(yùn)用分析法和反證法的閱讀材料，以幫助學(xué)生理解分析的思考方法、體會反證法的含義；教材為學(xué)生提供了將結(jié)論進(jìn)行拓展和延伸，以及探索多種證明思路的空間，以發(fā)展學(xué)

21、生數(shù)學(xué)思考和多角度的思維能力. 對“圖形與證明（二）”的教學(xué)，應(yīng)注意： 1.發(fā)展學(xué)生合乎邏輯的思考和有條理的表達(dá)能力是本章教學(xué)的重點(diǎn). 教學(xué)中要進(jìn)一步為學(xué)生的積極思考創(chuàng)設(shè)條件，為學(xué)生提供自主探索的空間，同時要鼓勵學(xué)生進(jìn)行不同證明思路的交流和討論. 2.要注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注證明的出發(fā)點(diǎn)（源頭）和過程（路徑），不斷感受公理化思想. 3.強(qiáng)化綜合法證明的格式.在本章的前半部分應(yīng)側(cè)重呈現(xiàn)分析的思考方法，后半部分應(yīng)側(cè)重呈現(xiàn)綜合的思考方法. 九年級教材“圖形與證明（二）”重在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會形式化證明的書寫格式，引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會分析與綜合的方法，舉反例的方法及反證思想. 九年級教材“中心對稱圖形（二）”中，對圓

22、的一些性質(zhì)，先引導(dǎo)學(xué)生通過合對圓的一些性質(zhì)，先引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論；再用演繹推理的情推理探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論；再用演繹推理的方法加以證明方法加以證明. . 這種編寫方式，力圖體現(xiàn)這種編寫方式，力圖體現(xiàn)合情推理與演繹推理都是研究圖形的重要合情推理與演繹推理都是研究圖形的重要方法，兩者互相協(xié)調(diào)，相輔相成方法，兩者互相協(xié)調(diào)，相輔相成. . 對九上教材對九上教材“中心對稱圖形（二）中心對稱圖形（二）-圓圓”的教學(xué)要重點(diǎn)關(guān)注如下幾點(diǎn)：的教學(xué)要重點(diǎn)關(guān)注如下幾點(diǎn)： 1.1.如何體現(xiàn)合情推理與演繹推理的融合如何體現(xiàn)合情推理與演繹推理的融合. . 2. 2.如何滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的如何滲透數(shù)學(xué)思

23、想方法，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)思維品質(zhì). . 創(chuàng)新源于創(chuàng)新源于“問題問題”，往往發(fā)端于，往往發(fā)端于“直直覺覺”. .幾何圖形的直觀形象為學(xué)生進(jìn)行自主幾何圖形的直觀形象為學(xué)生進(jìn)行自主探索、創(chuàng)新活動提供了有利條件，探索、創(chuàng)新活動提供了有利條件，解決解決“圖形與幾何圖形與幾何”問題，常常要運(yùn)用觀察、問題，常常要運(yùn)用觀察、操作、運(yùn)動變化等手段操作、運(yùn)動變化等手段. . 讓圖形讓圖形“動動”起來是研究圖形的好方起來是研究圖形的好方法法，它具有直觀、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，它具有直觀、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，易于接受等特點(diǎn)易于接受等特點(diǎn).“.“圖形與幾何圖形與幾何”學(xué)習(xí)的本學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是研究圖形在運(yùn)動變化過程中的不變

24、質(zhì)就是研究圖形在運(yùn)動變化過程中的不變的關(guān)系的關(guān)系. . 案例案例3 3 如如圖圖5，AB是是 O的直徑，的直徑，CD、EF是是 O的弦，且的弦，且ABCD，ABEF，AB=10，CD=8，EF=6，求圖中陰影部分的面積，求圖中陰影部分的面積. （圖（圖5） （圖（圖6） 思考方法思考方法 根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用有關(guān)面積計算公根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用有關(guān)面積計算公式直接求出圖中陰影部分的面積有困難，于是對式直接求出圖中陰影部分的面積有困難，于是對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化： （1 1）分別將點(diǎn)）分別將點(diǎn)A A、B B沿直徑平移到點(diǎn)沿直徑平移到點(diǎn)O.O. 由于由于ABABCDCD，ABABEFEF，于是圖中

25、陰影部分的面積轉(zhuǎn)化，于是圖中陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形為扇形CODCOD、扇形、扇形EOFEOF的面積（如圖的面積（如圖6 6）. . （2 2）將扇形）將扇形EOFEOF繞點(diǎn)繞點(diǎn)O O按逆時按逆時 針方向旋轉(zhuǎn)，使針方向旋轉(zhuǎn)，使OFOF與與ODOD重合重合. . 由題設(shè)條件由題設(shè)條件ABAB=10=10，CDCD=8=8，EFEF =6=6，得旋轉(zhuǎn)后的兩個扇形構(gòu)成，得旋轉(zhuǎn)后的兩個扇形構(gòu)成 一個半圓（如圖一個半圓（如圖7 7），這樣就），這樣就 可以求出圖中陰影部分的面積可以求出圖中陰影部分的面積. . （圖圖7 7） 關(guān)于關(guān)于合情推理與演繹推理的融合：合情推理與演繹推理的融合： （1 1）在合情

26、推理過程中，探索問）在合情推理過程中，探索問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，往往要運(yùn)用題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，往往要運(yùn)用觀察、操作、圖形的運(yùn)動變化等手段觀察、操作、圖形的運(yùn)動變化等手段. . （2 2）運(yùn)用圖形運(yùn)動變化的觀點(diǎn)研）運(yùn)用圖形運(yùn)動變化的觀點(diǎn)研究圖形的性質(zhì)，往往是進(jìn)行演繹推理，究圖形的性質(zhì)，往往是進(jìn)行演繹推理，探索解題途徑的探索解題途徑的“源源”. .案例案例4 4 運(yùn)用合情推理與演繹推理研究運(yùn)用合情推理與演繹推理研究“同圓與等同圓與等圓中，圓心角與其所對的弧、弦之間的相等系圓中，圓心角與其所對的弧、弦之間的相等系”. .發(fā)現(xiàn)結(jié)論：發(fā)現(xiàn)結(jié)論：（1）在兩張透明紙上，分別作半徑相等的在兩張透明紙上

27、，分別作半徑相等的O O和和O O ；（2）在在O O和和O O ，分別作相等的圓心角，分別作相等的圓心角AOBAOB、 AOBAOB，連接，連接ABAB、ABAB；（3）將兩張紙片疊在一起，使將兩張紙片疊在一起，使O O和和OO重合（如圖）；重合（如圖）；（4 4）固定圓心，將其中一個圓旋轉(zhuǎn)某個角度，使得）固定圓心，將其中一個圓旋轉(zhuǎn)某個角度，使得OAOA與與O O A A 重合重合. . 你發(fā)現(xiàn)了什么？你發(fā)現(xiàn)了什么？ 這是運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)圖形這是運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的過程性質(zhì)的過程. .?B?A?A?B?O(O)證明結(jié)論的正確性：證明結(jié)論的正確性：如圖，當(dāng)如圖，當(dāng)OAOA與與O O A

28、A 重合時，重合時，AOBAOB=A A O O B B ，OBOB與與O O B B 重合重合. . 又又OAOA= =O O A A ，OBOB= =O O B B ，點(diǎn)點(diǎn)A A與點(diǎn)與點(diǎn)A A 重合，點(diǎn)重合，點(diǎn)B B與點(diǎn)與點(diǎn)B B 重合重合. .這樣，這樣， 與與 重合，重合，ABAB與與A A B B重合，重合，即即 = = ，AB AB = =A A B B.這是通過演繹推理證明圖形性質(zhì)的過程這是通過演繹推理證明圖形性質(zhì)的過程. .這樣就將合情推理與演繹推理有機(jī)融合在一起這樣就將合情推理與演繹推理有機(jī)融合在一起. .?B?A?A?B?O(O)ABAB ABAB 案例案例5 5 運(yùn)用合情

29、推理與演繹推理研究運(yùn)用合情推理與演繹推理研究“切切線長定理線長定理”. . 發(fā)現(xiàn)結(jié)論：發(fā)現(xiàn)結(jié)論： 在透紙上畫如圖所示在透紙上畫如圖所示的圖形：的圖形： 設(shè)設(shè)PAPA、PBPB是是O O的兩條的兩條切線，切點(diǎn)為切線，切點(diǎn)為A A、B B. .沿直線沿直線OPOP將圖形對折，你發(fā)現(xiàn)了什么？將圖形對折，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 這是運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的過程這是運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的過程. .POBA 證明結(jié)論的正確性：證明結(jié)論的正確性： 如圖，連接如圖，連接OAOA、OBOB. . 因為因為PAPA、PBPB是是O O的的切線，則切線，則PAOPAO = = PBOPBO = = 90900 0 ，

30、即，即POAPOA和和POBPOB 為為直角三角形直角三角形. . 又因為又因為OA OA = =OBOB ，OPOP = =OPOP ， 所以所以POAPOAPOBPOB . . 于是于是PA PA = =PBPB，APOAPO = = BPOBPO. . 這是通過演繹推理證明圖形性質(zhì)的過程這是通過演繹推理證明圖形性質(zhì)的過程. .POBA 在圓的許多重要性質(zhì)中，圓的對稱性在圓的許多重要性質(zhì)中，圓的對稱性（軸對稱、中心對稱及旋轉(zhuǎn)不變性）是最（軸對稱、中心對稱及旋轉(zhuǎn)不變性）是最基本的性質(zhì)，基本的性質(zhì)，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對圓的對教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對圓的對稱性有較為深刻的理解稱性有較為深刻的理解. 課標(biāo)

31、課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：教學(xué)中，要注意教學(xué)中，要注意引導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生感悟到學(xué)生感悟到“證明的過程可以有不同的表證明的過程可以有不同的表達(dá)形式達(dá)形式”. . 為落實為落實課標(biāo)課標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生感悟到引導(dǎo)學(xué)生感悟到“證證明的過程可以有不同的表達(dá)形式明的過程可以有不同的表達(dá)形式”的教學(xué)的教學(xué)要求；同時，強(qiáng)化對圓的對稱性的認(rèn)識要求；同時，強(qiáng)化對圓的對稱性的認(rèn)識. 教學(xué)中，也可以教學(xué)中，也可以從運(yùn)動變化的角度來研究從運(yùn)動變化的角度來研究“切線長定理切線長定理”（對學(xué)有余力的學(xué)生）（對學(xué)有余力的學(xué)生）. 如圖，如圖，PAPA、PBPB是是O O 的兩條切線，切點(diǎn)分別為的兩條切線，切點(diǎn)分別為A A、B B. . 沿直線沿直線

32、OPOP將圖形對折，試說明將圖形對折，試說明 ：APOAPO= =BPOBPO，PA=PB.PA=PB. 連接連接OAOA、OBOB，因為，因為PAPA、 PB PB 是是 O O 的兩條切線，所以的兩條切線，所以O(shè)AP OAP = =OBPOBP= = 900. .又又OA=OA=OBOB，所以，所以APOAPO =BPO， AOP=BOP. 當(dāng)當(dāng)APO=BPO，AOP= BOP時，沿直線時，沿直線OP將圖形對折，將圖形對折，PA與與PB重合，重合，OA與與OB重合重合. 又又“兩條直線相交只有一個交點(diǎn)兩條直線相交只有一個交點(diǎn)”，因此點(diǎn)，因此點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，重合，PA=PB. P B O

33、 A(B) 在這個探索、推證的過程中，運(yùn)用圖形在這個探索、推證的過程中，運(yùn)用圖形的運(yùn)動變化展示了一種推理方法的運(yùn)動變化展示了一種推理方法-折疊法折疊法. . 在此之前，我們研究了圓的對稱性，知道圓既在此之前，我們研究了圓的對稱性，知道圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且如果是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且如果某圖形與圓有共同的對稱中心或?qū)ΨQ軸，那么某圖形與圓有共同的對稱中心或?qū)ΨQ軸，那么這個圖形與圓組成的整個圖形也是中心對稱或這個圖形與圓組成的整個圖形也是中心對稱或軸對稱圖形，這一特征就是探索、推證的依據(jù)軸對稱圖形，這一特征就是探索、推證的依據(jù). . 這樣，我們就找到了解決問題的這樣，

34、我們就找到了解決問題的“源源”-運(yùn)運(yùn)用圓的對稱性，將圖形沿直線用圓的對稱性，將圖形沿直線OPOP折疊折疊. . 同樣，可以探索、推證同樣，可以探索、推證“垂徑定理垂徑定理”. . P D O A B C(D) 在在“中心對稱圖形（二中心對稱圖形（二）”的設(shè)計中，充分的設(shè)計中，充分體現(xiàn)了學(xué)生已有經(jīng)驗的作用：體現(xiàn)了學(xué)生已有經(jīng)驗的作用： 1.1.用對稱變換的方法探索垂徑定理，然后說用對稱變換的方法探索垂徑定理，然后說明其理由；明其理由； 2. 2.用旋轉(zhuǎn)變換的方法探索圓心角、弧、弦之用旋轉(zhuǎn)變換的方法探索圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系，然后說明其理由；間的相等關(guān)系，然后說明其理由； 3.3.用說理的方法

35、研究圓周角與圓心用說理的方法研究圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系，其說理過程體現(xiàn)了角之間的數(shù)量關(guān)系，其說理過程體現(xiàn)了非常典型的分類、轉(zhuǎn)化思想；非常典型的分類、轉(zhuǎn)化思想； 4. 4.用反證的思想研究切線的性質(zhì)；用反證的思想研究切線的性質(zhì)； 5.5.用對稱變換的方法探索切線長定用對稱變換的方法探索切線長定理，然后說明其理由；理，然后說明其理由； 6. 6.用運(yùn)動的觀點(diǎn)研究直線與圓、圓用運(yùn)動的觀點(diǎn)研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生明確圖形在運(yùn)與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生明確圖形在運(yùn)動變化中的特點(diǎn)和規(guī)律動變化中的特點(diǎn)和規(guī)律. . 案例案例6 6 用運(yùn)動的觀點(diǎn)研究直線與圓、圓與圓用運(yùn)動的觀點(diǎn)研究直線與圓、圓與

36、圓的位置關(guān)系的位置關(guān)系. . 1. 1.直線與圓的位置關(guān)系（直線與圓的位置關(guān)系（P127P127）：）：在紙上在紙上畫一個圓，上、下移動直尺畫一個圓，上、下移動直尺. .在移動過程中直在移動過程中直線（直尺的邊緣）與圓的位置關(guān)系發(fā)生了怎樣線（直尺的邊緣）與圓的位置關(guān)系發(fā)生了怎樣的變化的變化？你能描述這種變化嗎你能描述這種變化嗎？ 創(chuàng)設(shè)問題情境，意在引導(dǎo)學(xué)生明確圖形在創(chuàng)設(shè)問題情境，意在引導(dǎo)學(xué)生明確圖形在運(yùn)動變化中的特點(diǎn)和規(guī)律：運(yùn)動變化中的特點(diǎn)和規(guī)律：直線與圓的公共點(diǎn)直線與圓的公共點(diǎn)的個數(shù)有變化；圓心到直線的距離有變化，為的個數(shù)有變化；圓心到直線的距離有變化，為運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法探究直線與圓的位置

37、關(guān)系運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法探究直線與圓的位置關(guān)系作鋪墊作鋪墊. . 2.圓與圓的位置關(guān)系（圓與圓的位置關(guān)系（P138）：）：在兩張透在兩張透明紙上畫大小不同的明紙上畫大小不同的O O1 、O O2 ， O O1 固定固定不動不動， O O2 從從O O1的外部逐漸向的外部逐漸向O O1移動移動. .在在移動過程中移動過程中，O O1 與與O O2 的位置發(fā)生了怎樣的的位置發(fā)生了怎樣的變化變化？你能描述這種變化嗎你能描述這種變化嗎？ 創(chuàng)設(shè)問題情境，意在引導(dǎo)學(xué)生明確圖形在創(chuàng)設(shè)問題情境，意在引導(dǎo)學(xué)生明確圖形在運(yùn)動變化中的特點(diǎn)和規(guī)律：運(yùn)動變化中的特點(diǎn)和規(guī)律：圓與圓的公共點(diǎn)的圓與圓的公共點(diǎn)的個數(shù)有變化；兩圓

38、心之間的距離有變化，為運(yùn)個數(shù)有變化；兩圓心之間的距離有變化，為運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法探究圓與圓的位置關(guān)系作鋪用數(shù)形結(jié)合的方法探究圓與圓的位置關(guān)系作鋪墊墊. . 一個數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)和解決，往往要經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、說理等思維過程，而這個過程實際上就是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的發(fā)生過程，是學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能的同時獲得基本數(shù)學(xué)思想和基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程，這也是我們進(jìn)一步研究其他圖形性質(zhì)的一個帶普遍性的認(rèn)識過程. “創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境”和和“自主探索自主探索” ” 是展是展開數(shù)學(xué)知識的形成和應(yīng)用過程，落實課開數(shù)學(xué)知識的形成和應(yīng)用過程，落實課程總體目標(biāo)的主要教學(xué)方式程總體目標(biāo)的主要教學(xué)方式. .

39、“問題情境問題情境”是否是否“好好”，一般是相，一般是相對的，主要是看是否切合學(xué)生實際，是對的，主要是看是否切合學(xué)生實際，是否對學(xué)生認(rèn)識問題有幫助；是否能體現(xiàn)否對學(xué)生認(rèn)識問題有幫助；是否能體現(xiàn)通俗性、切實性、適度性（學(xué)生易接通俗性、切實性、適度性（學(xué)生易接受）受）. . “問題情境問題情境”未必是生活情境，多數(shù)未必是生活情境，多數(shù)情況可以情況可以從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題情境從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題情境 課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：“動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.” 數(shù)學(xué)探究是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程. 探究學(xué)習(xí)應(yīng)滲透在教學(xué)過程中，要更多關(guān)注學(xué)生的探究的習(xí)慣、探究的意識、探究的

40、方法，更多關(guān)注學(xué)生探究的過程而不是結(jié)果. 探究活動應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的常態(tài). 案例案例7 7 探索圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系探索圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系 課本安排以下幾個層次引導(dǎo)學(xué)生探究：課本安排以下幾個層次引導(dǎo)學(xué)生探究： 第第1 1層次：先提出一種特殊情況：層次：先提出一種特殊情況：BACBAC的一的一邊經(jīng)過圓心，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考邊經(jīng)過圓心，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考. . 對于圓心對于圓心O O與與BACBAC的特殊位置關(guān)系，學(xué)生運(yùn)用的特殊位置關(guān)系，學(xué)生運(yùn)用“三角形的三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”及及“等邊對等角等邊對等角”的知識，不難得

41、出結(jié)論：的知識，不難得出結(jié)論：BACBAC=1/2=1/2BOCBOC. . 對于這一特殊情況，課本同樣采用了由特殊對于這一特殊情況，課本同樣采用了由特殊到一般的方法加以處理：先給出圓心角的一些特到一般的方法加以處理：先給出圓心角的一些特殊度數(shù)，求同弧上的圓周角的度數(shù)，由些猜想結(jié)殊度數(shù)，求同弧上的圓周角的度數(shù)，由些猜想結(jié)論；再對圓心角的一般情況，用說理方式推證出論；再對圓心角的一般情況，用說理方式推證出結(jié)論結(jié)論. . 第第2 2層次：創(chuàng)設(shè)問題情境（展開探究過程）層次：創(chuàng)設(shè)問題情境（展開探究過程）. . 1. 1.如圖（如圖（P118P118），）， 所對的圓心角有多少個？所對的圓心角有多少個？

42、 所對的圓周角有多少個？請在圖中畫出所對的圓周角有多少個？請在圖中畫出 所對所對的圓心角和圓周角，并與同學(xué)交流的圓心角和圓周角，并與同學(xué)交流. . 2.2.設(shè)設(shè) 所對的圓周角為所對的圓周角為BACBAC，除了圓心，除了圓心O O在在BACBAC的一邊上外，的一邊上外， 圓心圓心O O與與BACBAC還有哪幾種位置還有哪幾種位置關(guān)系？對于這幾種位置關(guān)系，結(jié)論關(guān)系？對于這幾種位置關(guān)系，結(jié)論 BACBAC= = 1/21/2BOCBOC還成立嗎？還成立嗎？BCBCBCBC 這里創(chuàng)設(shè)問題情境的目的有兩個：這里創(chuàng)設(shè)問題情境的目的有兩個： 1. 1.引引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、觀察、實踐，導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、觀察、實

43、踐，認(rèn)識到一條弧所對的圓心角只有一個，而認(rèn)識到一條弧所對的圓心角只有一個，而一條弧所對的圓周角有無數(shù)多個一條弧所對的圓周角有無數(shù)多個. . 2. 2.通過探究圓心通過探究圓心O O與與BACBAC的位置關(guān)系，的位置關(guān)系，為分類研究圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)為分類研究圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系做好鋪墊系做好鋪墊. . 第第3 3層次：用說理的方法，分類層次：用說理的方法，分類研究圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)研究圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系，實現(xiàn)由特殊到一般，再由一般系，實現(xiàn)由特殊到一般，再由一般到特殊的轉(zhuǎn)化到特殊的轉(zhuǎn)化. . 課本中，課本中，“圓周角定理圓周角定理”的說理過程體的說理過程體現(xiàn)了非

44、常典型的分類、轉(zhuǎn)化思想：現(xiàn)了非常典型的分類、轉(zhuǎn)化思想： 從特殊入手從特殊入手（ BACBAC 的一邊經(jīng)過圓心，的一邊經(jīng)過圓心，對于圓心對于圓心O O與與BACBAC的特殊的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)的特殊的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考）生觀察、思考）發(fā)展到一般，而解決一般情況發(fā)展到一般，而解決一般情況又要用到特殊的結(jié)論又要用到特殊的結(jié)論（將圓心（將圓心O O與與BACBAC的位置的位置關(guān)系分為關(guān)系分為3 3類，并通過作直徑類，并通過作直徑ADAD將將BACBAC轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成兩角的和或差，轉(zhuǎn)化成特殊情況、特殊位置）兩角的和或差，轉(zhuǎn)化成特殊情況、特殊位置）. . 這就是由特殊到一般，再由一般到特殊這就是由特殊到一般，再由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)思想方法. . 1. 1.對直線與圓相切的性質(zhì)的推理，課對直線與圓相切的性質(zhì)的推理，課本采用了本采用了“反證法反證法”. .