高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積 新人教B版

1、名師伴你行 平面向量的數(shù)量積(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. (2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.名師伴你行 這一部分是向量的核心內(nèi)容，高考的一個(gè)命題點(diǎn)，這一部分是向量的核心內(nèi)容，高考的一個(gè)命題點(diǎn)，填空題、選擇題重在考查數(shù)量積的概念、運(yùn)算律、性填空題、選擇題重在考查數(shù)量積的概念、運(yùn)算律、性質(zhì)、向量平行、垂直、向量的夾角、距離等，解答題質(zhì)、向量平行、垂直、向量的夾角、距離等，解答題重在與幾何、三角、代數(shù)等結(jié)合的綜合題重在與幾何、三角、代數(shù)等結(jié)合

2、的綜合題.名師伴你行1.平面向量的數(shù)量積的概念平面向量的數(shù)量積的概念（1）已知兩個(gè)非零向量）已知兩個(gè)非零向量a與與b，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量 叫做向量叫做向量a和和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab,即即ab= ，其中，其中是是a與與b的夾角，的夾角， 叫叫做向量做向量a在在b方向上（方向上（b在在a方向上）的投影方向上）的投影.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積都為規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積都為0.|a|b|cos |a|b|cos |a|cos(|b|cos) 名師伴你行（2）數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積）數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于等于a 的長度的長度|a|與與 上的

3、投影上的投影|b|cos的乘積的乘積.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)如果如果e是單位向量，則是單位向量，則ae=ea= ;(2)ab a b=0且且ab=0 ab;(3)aa=|a|2或或 ;(4)cos= ;(5)|ab|a|b|.b在在a方向方向 |a|cos aaaa= = | |a a| | |b b|a a| |abab名師伴你行3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：）交換律： ；（2）分配律：）分配律： ；（3）數(shù)乘向量結(jié)合律：）數(shù)乘向量結(jié)合律： .4.向量的長度、距離和夾角公式向量的長度、距離和夾角公式(1)設(shè)設(shè)a=(a1,a2),則則

4、|a|= .(2)若若A(x1,y1),B(x2,y2)，則，則|AB|= .(3)設(shè)設(shè)a=(a1,b1),b=(a2,b2),則則cos=2 22 22 22 22 21 12 21 12 21 12 21 1b b+ +a ab b+ +a ab bb b+ +a aa a= =| |b b| | |a a| |a ab bab=ba (a+b)c=ac+bc ()a=(a) 2 22 22 21 1a a+ +a a2 21 12 22 21 12 2) )y y- -( (y y+ +) )x x- -( (x x名師伴你行5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（1）若）

5、若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則則ab= .（2）若）若a=(x,y)，則，則|a|2=aa= ,|a|= .（3）若）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則，則ab .x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 2 22 2y y+ +x xx2+y2 名師伴你行已知向量已知向量a,b滿足滿足|a|=1,|b|=2,a與與b的夾角為的夾角為60,則則|a-b|= .【分析】【分析】求求|a-b|可先求可先求|a-b|2.名師伴你行 【解析解析】|a-b|=360cos21221ba2ba)ba(22222名師伴你行 求平面向量數(shù)量積的步驟求平面向量數(shù)量積的步驟:首先求首先求

6、a與與b的夾角為的夾角為,0,180,再分別求再分別求|a|,|b|,然后再求數(shù)量積即然后再求數(shù)量積即ab=|a|b|cos,若知道向量的坐標(biāo)若知道向量的坐標(biāo) a=(x1,y1), b= (x2,y2),則則ab=x1x2+y1y2.名師伴你行已知向量已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos ,-sin ),且且x - , .(1)求求ab及及|a+b|;(2)若若f(x)=ab-|a+b|,求求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值.2 23 32 23 32 2x x2 2x x3 34 4名師伴你行 (1)ab=cos xcos -sin xsin =cos2x, a+b=

7、(cos x +cos ,sin x sin ), x ,cosx0, |a+b|=2cosx.2 23 32 23 32 2x x2 2x x2 23 32 2x x2 23 32 2x x| |, ,c co os sx x| |2 2= =2 2c co os s2 2x x+ +2 2= =) )2 2x xs si in n- -x x2 23 3( (s si in n+ +) )2 2x xc co os s+ +x x2 23 3( (c co os s= =b b+ +a a2 2, ,3 3- -4 4名師伴你行(2)由（由（1）可得）可得f(x)=cos2x-2cosx=

8、2cos2x-2cosx-1=2(cosx- )2- .x , cosx1,當(dāng)當(dāng)cosx= 時(shí)時(shí),f(x)取得最小值為取得最小值為- ;當(dāng)當(dāng)cosx=1時(shí)時(shí),f(x)取得最大值為取得最大值為-1.2 21 12 23 3, ,3 3- -4 42 21 12 21 12 23 3名師伴你行設(shè)向量設(shè)向量a,b,c滿足滿足a+b+c=0,(a-b)c,ab.若若|a|=1,則則|a|2+|b|2+|c|2的值是的值是 .由垂直的充要條件由垂直的充要條件,尋找尋找|a|,|b|,|c|之間的關(guān)系之間的關(guān)系.ab,b=-a-c,ab=a(-a-c)=-|a|2-ac=0,ac=-|a|2=-1.又又(

9、a-b)c,(a-b)c=0,ac=bc=-1.a=-b-c,|a|2=|b|2+|c|2+2bc,|b|2+|c|2=|a|2-2bc=3,|a|2+|b|2+|c|2=4.名師伴你行垂直問題是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)垂直問題是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn),在高考題中常常出在高考題中常常出現(xiàn)現(xiàn),常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一起，要常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別特別注意垂直與平行的區(qū)別.若若a=(a1,a2),b=(b1,b2),則則ab a1a2+b1b2=0,ab a1b2-a2b1=0.名師伴你行已知已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1

10、)求證求證:a+b與與a-b互相垂直互相垂直;(2)若若ka+b與與a-kb的模相等的模相等,求求-(其中其中k為非零實(shí)數(shù)為非零實(shí)數(shù)).名師伴你行(1)證明證明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b與與a-b互相垂直互相垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),|ka+b|= ,|a-kb|= .|ka+b|=|a-kb|,2kcos(-)=-2kcos(-).又又k0,cos(-)=0.而而0 | |3 3b b- -a a| | |b b+ +2

11、 2a a| |3 3b b) )- -a ab b) )( (+ +( (2 2a a= =c co os s名師伴你行由由(2a+b)(a-3b)0得得2+-60,2或或0), 2=k =-3k, 故使向量故使向量2a+b和和a-3b夾角為夾角為0的的不存在不存在.當(dāng)當(dāng)2或或-3時(shí)時(shí),向量向量(2a+b)與與(a-3b)的夾角是銳角的夾角是銳角.解得解得k2=- . 3 32 2 名師伴你行已知向量已知向量m=(cos,sin)和和n=( -sin,cos),(,2),且且|m+n|= ,求求cos( )的值的值.從向量的模入手，求出從向量的模入手，求出滿足的條件滿足的條件.2 25 52

12、 28 88 8+ +2 2名師伴你行解法一解法一：由題意知：由題意知m+n=(cos-sin+ ,cos+sin),|m+n|=由已知由已知|m+n|= ,得得cos+ = .又又cos(+ )=2cos2( + )-1,cos2( )= .2, .cos( )0.cos( )=- .2 25 52 28 84 42 22 2s si in nc co os s2 2s si in nc co os s) )+ + +( () )+ +- -( () )4 4+ +c co os s( (+ +1 12 2= =) )4 4+ +4 4c co os s( (+ +4 4= =) )s si

13、 in n- -( (c co os s2 22 2+ +4 425257 74 48 82 28 8+ +2 2252516168 85 58 8+ +2 28 89 98 8+ +2 28 8+ +2 25 54 4名師伴你行解法二解法二：|m+n|2=(m+n)2=m2+2mn+n2=|m|2+|n|2+2mn+2cos( -sin)+sincos=4+2 (cos-sin)=4 1+cos(+ ) =8cos2( ).由已知由已知|m+n|= ,得得cos = .2, .cos( )0.cos( )=- .( () ) 2 22 22 22 22 22 2c co os s) )s s

14、i in n2 2s si in nc co os s+ +- -( (+ + += =2 22 24 48 8+ +2 2) )8 82 2( (+5 52 28 85 54 48 85 58 8+ +2 28 89 98 8+ +2 28 8+ +2 25 54 4名師伴你行 本題主要以向量作為載體，實(shí)質(zhì)上是考查三角中的本題主要以向量作為載體，實(shí)質(zhì)上是考查三角中的求值問題，注意倍角公式的運(yùn)用求值問題，注意倍角公式的運(yùn)用.名師伴你行已知向量已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),c=(-1,0).(1)求向量求向量b+c的長度的最大值的長度的最大值;(2)設(shè)設(shè)= ,且且a(b

15、+c)，求，求cos的值的值.4 名師伴你行 【解析】【解析】(1)解法一解法一:由已知得由已知得b+c=(cos-1,sin),則則|b+c|2=(cos-1)2+sin2=2(1-cos).-1cos1,0|b+c|24,即即0|b+c|2.當(dāng)當(dāng)cos=-1時(shí)時(shí),有有|b+c|max=2,向量向量b+c的長度的最大值為的長度的最大值為2.名師伴你行解法二解法二:|b|=1,|c|=1,|b+c|b|+|c|=2,當(dāng)當(dāng)cos=-1時(shí)時(shí),有有b+c=(-2,0),即即|b+c|=2,向量向量b+c的長度的最大值為的長度的最大值為2.(2)解法一解法一:由已知可得由已知可得b+c=(cos-1,

16、sin),a(b+c)=coscos+sinsin-cos=cos(-)-cos.a(b+c),a(b+c)=0,即即cos(-)=cos.名師伴你行由由= ,得得cos( -)=cos ,即即- =2k (kZ),=2k+ 或或=2k,kZ,于是于是cos=0或或cos=1.解法二：解法二：若若= ,則則a=( , ).又由又由b=(cos,sin),c=(-1,0),得得a(b+c)=( , )(cos-1,sin)= cos+ sin- .4 4 4 4 4 2 4 22222222222222名師伴你行a(b+c),a(b+c)=0,即即cos+sin=1.sin=1-cos,平方后化簡得平方后化簡得cos(co