102-2一階微分方程ppt課件

1、1/18設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù) f ( x )，滿足，滿足 ，求，求)()()(22xfdttfxxfx 解：求導(dǎo)得解：求導(dǎo)得)()()(xfxfxxf 即：即：dxxydy2 解之：解之：2xcy 又由又由 22 f (2)=0 可得：可得：f ( 2 )=14212 cc24xy 積分：積分：cxylnln2ln Basic concept of differential equations三、齊次方程一、一階微分方程的形式四、一階線性微分方程微微積積分分電電子子教教案案二、可分離變量的微分方程3/18方程中方程中f ( x ,y )就是就是零次齊次函數(shù)零次齊次函數(shù)二、齊次方程二、齊次方程)

2、(xyfdxdy 3.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式得代入原式得,dxduxudxdy ),(ufdxduxu 1.1.標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式2.2.常見形式常見形式0)(22 xydydxyxyxyxdxdy 齊次函數(shù)齊次函數(shù)概念？概念？要分清新老變量！要分清新老變量！關(guān)于關(guān)于u u的微分方程的微分方程4/18用用“”不用不用“”代入原式得代入原式得),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即.)(xdxuufdu 2)求解：分離變量求解：分離變量 ）（uufduu)()( ,)(uCex 即即積分得：積分得：cxulnln)( 可分離變量的方程可分離變量的方

3、程,3)將代入yux,)(xyCex 得得通通解解5/18例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解為微分方程的解為解解例例 2 2 求解微分方程求解微分方程)0(22 xyxyyx6/1821,1uudxduxu ）代代入入方方程程（xdxudu 21分離變量得：分離變量得：cxulnlnarcsin 積積分分得得：微分方程的解為微分方程的解為xyecxarcsin uecxucxa

4、rcsinarcsinln xuyxyu 則則令令,dxduxudxdy 且且例例 2 2 求解微分方程求解微分方程)0(22 xyxyyx解解2)(1xyxydxdy （1）7/18dxduxudxdyuxyxyu ,令令代入原方程代入原方程12 uudxduxudxxduuu11 化化簡簡，分分離離變變量量得得cxuulnlnln, 積分積分ucexuucxu 即即ln原方程的通解為原方程的通解為xyecy 1)(222 xyxyxxyydxdy原原方方程程化化為為：對不好判斷的微分對不好判斷的微分方程方程,先化為正規(guī)型先化為正規(guī)型.322的通解的通解求求例例yyxyyx 8/18)()(

5、xQyxPdxdy 一一 階階 線線 性性 微微 分分 方方 程程 的的 標(biāo)標(biāo) 準(zhǔn)準(zhǔn) 形形 式式 :, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上述方程稱為齊次的上述方程稱為齊次的.上述方程稱為非齊次的上述方程稱為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)三、一階線性方程三、一階線性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.未知函數(shù)及導(dǎo)未知函數(shù)及導(dǎo)數(shù)都是一次的數(shù)都是一次的9/18. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線

6、性齊次方程 的通解的通解.一階線性微分方程的一階線性微分方程的 解解 法法(使用分離變量法使用分離變量法)例例1 1.012的的通通解解求求方方程程 xyy解解1:分離變量分離變量dxxdyy121 10/18,12)( xxP212)()1( xcececydxxdxxp解解2:兩端積分得兩端積分得:cxyln)1ln(2ln 2)1( xCy.)1(2為為所所求求通通解解 xcy2. 線性非齊次方程線性非齊次方程 的通解的通解).()(xQyxPdxdy dxxPexuy)()(猜測其解可能是猜測其解可能是當(dāng)當(dāng)ux）？時，）？時，y 真的是解。真的是解。,)()()()()( dxxPdx

7、xPexPxuexuy11/18代代入入原原方方程程得得和和將將yy ),()()(xQexudxxP 積分得積分得,)()()(CdxexQxudxxP dxxpexQxu)()()(即即一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為:)()()(CdxexQeydxxPdxxp 此法稱為常數(shù)變易法：此法稱為常數(shù)變易法：1 1、求齊次方程的通解。、求齊次方程的通解。2 2、把齊次方程通解中的任意常數(shù)、把齊次方程通解中的任意常數(shù)C C變易為變易為待定函數(shù)待定函數(shù) u(x).u(x).3 3、代入原方程確定、代入原方程確定 u(x).u(x).12/18.sin1的通解的通解求方程

8、求方程xxyxy ,1)(xxP xcecydxx11 其其通通解解2*1)(1)()(xxcxxcy cxxc cos)( .cos1Cxxy 故故通通解解解解1:例例2 2用常數(shù)變易法及公式法用常數(shù)變易法及公式法原方程對應(yīng)的齊次方程為原方程對應(yīng)的齊次方程為:01 yxy其中其中設(shè)原方程的解為設(shè)原方程的解為 求導(dǎo)得求導(dǎo)得xxcy1)(* 代入原方程整理得代入原方程整理得:xxcsin)( kdxxkxe 13/18,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxedxxdxx11sin Cdxxxxxsin1 Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解2:)()()(CdxexQeydxx

9、Pdxxp kdxxkxe 練習(xí)練習(xí):22xexxyy )21(22cxeyx 14/18 cdxexedxxdxx12312)1()21()1()1()1(222cxxxcdxxx ,21|0 xy由由,21 C得得所求特解為所求特解為.)1(214 xy21)1(2)1(04 xyxyyx例例3:解解:原方程化為原方程化為:3)1(12xyxy 3)1()(12)(xxQxxp 其其中中)()()(CdxexQeydxxPdxxp 15/18;2.42xyxy 例例解解:原方程化為原方程化為微微分分方方程程為為未未知知函函數(shù)數(shù)的的一一階階線線性性這這是是以以 y 可化為一階線性微分方程的微

10、分方程可化為一階線性微分方程的微分方程2)(2)(xyxy 2)(2)(xxQxxp 其其中中)()()(CdxexQeydxxPdxxp cdxexedxxdxx222232222)()(xcxcxxcdxxxx . y不不顯顯含含未未知知函函數(shù)數(shù)特點特點解法解法),(xFy 令令),(xFy 16/18積分積分:13423341)(cxcxdxxcxdxyy ;02)6(.52 yyxy例例解解:將原方程化為正規(guī)型將原方程化為正規(guī)型微分方程微分方程為未知函數(shù)的一階線性為未知函數(shù)的一階線性這是以這是以 xyxydydxxyydxdy266222 23yxydydx 2)(3)(yxQyyp

11、其其中中17/18 cdyeyedyydyy332325333101)101()21(ycycyycdyyyy )()()(CdyeyQexdyyPdyyp );()()()(.60 xfdttfexfxfxx求求滿滿足足設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)例例 解解:求導(dǎo)得求導(dǎo)得)()(xfexfx 18/18xexfxf )()(即即xexQxp )(1)(其其中中)()()()(CdxexQexfdxxPdxxp cdxeeexxx)(cxex 由題意知由題意知 代入通解代入通解:1)0 (1, 1)0 (0 ccef)1()(xexfx 注意注意: 和和 的區(qū)別的區(qū)別. 10)()(dttfexfx作

12、業(yè)：作業(yè)：P384，21，3，5），），31，4，7），），44，6，7） P396 14）19/181 1、假設(shè)、假設(shè)則則f(x)= _ 2、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù)f(t)在在0,+)上連續(xù)上連續(xù),且滿足方程且滿足方程求求f(t).解釋解釋:1:1、利用微分法消去可變上限積分、利用微分法消去可變上限積分, ,使方程變使方程變?yōu)槲⒎址匠虨槲⒎址匠? ,再求解再求解. .解：方程兩邊對解：方程兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo),得：得：f (x)=f(x)(2x)=2f(x)記記f(x)=y,則上式為：則上式為：2,ln)2()(20 dttfxfxdxdyyxfetftyxt 22224224)21()(p pydxd

13、y2 分離變量分離變量, ,得：得：dxydy2 lny=2x+lnC注意注意:1:1、求導(dǎo)、求導(dǎo)2 2、隱條件隱條件代入初始條件代入初始條件f(0)=ln2,得得:C=ln2xCey2 2ln2xey 2ln2xe練習(xí)：練習(xí)：20/182、解：積分區(qū)域、解：積分區(qū)域D是以是以2t為半徑的園域為半徑的園域D=(r,)|02，0r2t于是有：于是有：ttyxdrrrfddxdyyxf2020422)21()21(222ptdrrrf20)21(2pttdrrrfetf204)21(2)(2pp對對t求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：22)(28)( 24ttftetftppp此為關(guān)于此為關(guān)于f(t)的微分方程的微分方程248)(8)( ttettftfppp248)(,8)(ttetQttPppp8)()8(4)8(2Cdtet