第八章玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計(2014)

1、1第八章 玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計8.1 熱力學的統(tǒng)計表達式8.2 弱簡并玻色氣體和費米氣體8.3 玻色愛因斯坦凝聚8.4 光子氣體8.5 金屬中的自由電子氣體2122321hmNVNZe213121mkThNV13n由由得出得出分子的平均間距遠小分子的平均間距遠小于德布羅意熱波長于德布羅意熱波長或者或者經(jīng)典極限條件經(jīng)典極限條件1e1leall1e過度到過度到leall得出非簡并性條件：得出非簡并性條件：lla經(jīng)典極限條件經(jīng)典極限條件3 不滿足經(jīng)典極限條件的氣體為簡并氣體，量子效應(yīng)明顯，不滿足經(jīng)典極限條件的氣體為簡并氣體，量子效應(yīng)明顯，需要用量子（玻色或費米）分布來處理。需要用量子（玻色或費米）分布

2、來處理。非簡并氣體總是可以用玻耳茲曼分布處理。非簡并氣體總是可以用玻耳茲曼分布處理。 微觀粒子全同性原理帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)，將對簡并氣體微觀粒子全同性原理帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)，將對簡并氣體的宏觀性質(zhì)產(chǎn)生決定性影響。的宏觀性質(zhì)產(chǎn)生決定性影響。 這種量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)不僅使得量子氣體的性質(zhì)有別于經(jīng)典理這種量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)不僅使得量子氣體的性質(zhì)有別于經(jīng)典理論，玻色氣體和費米氣體的性質(zhì)也是迥然不同的。論，玻色氣體和費米氣體的性質(zhì)也是迥然不同的。48.1 8.1 熱力學的統(tǒng)計表達式熱力學的統(tǒng)計表達式近獨立粒子的最概然分布：近獨立粒子的最概然分布：1leall是在孤立系統(tǒng)條件下，并且在一系列假定的基礎(chǔ)上推導出的。是在

3、孤立系統(tǒng)條件下，并且在一系列假定的基礎(chǔ)上推導出的。 系綜理論將會在開放系統(tǒng)條件下，避免存在嚴重缺陷的系綜理論將會在開放系統(tǒng)條件下，避免存在嚴重缺陷的假定，推導出表達式相同的近獨立粒子的平均分布：假定，推導出表達式相同的近獨立粒子的平均分布：1leall因此本章的討論擴展到開放系統(tǒng)。因此本章的討論擴展到開放系統(tǒng)。5一，玻色系統(tǒng)的巨配分函數(shù)一，玻色系統(tǒng)的巨配分函數(shù) llllle1定義巨配分函數(shù)：定義巨配分函數(shù)：巨配分函數(shù)是變量巨配分函數(shù)是變量 的函數(shù)的函數(shù), ,并取對數(shù)并取對數(shù) y,llle1lnln下面依次對下面依次對 求偏導數(shù)。求偏導數(shù)。y,1leall玻色分布：玻色分布：平均總粒子數(shù)：平均總

4、粒子數(shù)：llaN系統(tǒng)內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)能：lllaEU廣義力：廣義力：lllayY6系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)：系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)： lnNlnU系統(tǒng)內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)能： llllllleee1111lnllllllllleee11lnllle1lnln7廣義力：廣義力： ln1yYln1Vp簡單系統(tǒng)：簡單系統(tǒng)：yayeeyllllllll1lnllle1lnln二，熵的表達式玻耳茲曼關(guān)系二，熵的表達式玻耳茲曼關(guān)系開系的熱力學基本方程：開系的熱力學基本方程： NdYdydUTQdTdS11,1kT,kT8lnlnlndlnlnlnddyydNdYdydU是否還是是否還是 積分因子積分因子?Qddyydddlnl

5、nlnln注意到：注意到：dddddlnlnlnlnlnNdYdydU9積分積分lnlnlnkSlnkUNkSlnlnlnlnkddS所以所以 也是也是 的積分因子。的積分因子。Qd玻耳茲曼關(guān)系玻耳茲曼關(guān)系lnkS10三，費米系統(tǒng)的巨配分函數(shù)三，費米系統(tǒng)的巨配分函數(shù)llllle1玻色系統(tǒng)：玻色系統(tǒng)：費米系統(tǒng)：費米系統(tǒng)：llllle1llle1lnln熱力學量的統(tǒng)計表達式不變。熱力學量的統(tǒng)計表達式不變。lnNlnUln1yYlnlnlnkS11四，與玻耳茲曼統(tǒng)計表達式比較四，與玻耳茲曼統(tǒng)計表達式比較1lnZyNY1lnZVNplnNlnUln1yY1ZeN1lnZNUln1VplnlnlnkS1

6、1lnlnZZNkS玻耳茲曼統(tǒng)計玻耳茲曼統(tǒng)計玻色和費米統(tǒng)計玻色和費米統(tǒng)計12五，作為特性函數(shù)的巨配分函數(shù)五，作為特性函數(shù)的巨配分函數(shù)lnUln1yYlnlnlnkS 如果求得巨配分如果求得巨配分函數(shù)，據(jù)此可以求得函數(shù)，據(jù)此可以求得系統(tǒng)內(nèi)能、物態(tài)方程系統(tǒng)內(nèi)能、物態(tài)方程和熵。從而確定系統(tǒng)和熵。從而確定系統(tǒng)的全部平衡性質(zhì)。的全部平衡性質(zhì)。y,巨配分函數(shù)是以巨配分函數(shù)是以 為自然變量的特性函數(shù)。為自然變量的特性函數(shù)。NTSUJlnkT,VT對簡單系統(tǒng)就是對簡單系統(tǒng)就是 ，熱力學中對應(yīng)的是巨熱力勢：熱力學中對應(yīng)的是巨熱力勢：13六，當能量為準連續(xù)變量時六，當能量為準連續(xù)變量時 dDeN01lnln dD

7、eN011llle1lnln求和轉(zhuǎn)化為積分：求和轉(zhuǎn)化為積分： dDe01lnln玻色系統(tǒng)的巨配分函數(shù)：玻色系統(tǒng)的巨配分函數(shù)： dDfN0 f：一個量子態(tài)的平均粒子數(shù)：一個量子態(tài)的平均粒子數(shù) dD： 范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)d 當能量為準連續(xù)變量時，這個結(jié)論是普遍的，并不需要當能量為準連續(xù)變量時，這個結(jié)論是普遍的，并不需要借助上面的推導。借助上面的推導。14當能量為準連續(xù)變量時，上式和當能量為準連續(xù)變量時，上式和同樣的方式可以得到：同樣的方式可以得到： dDfU0 dDfN0對費米分布和玻耳茲曼分布也同樣成立。對費米分布和玻耳茲曼分布也同樣成立。事實上求任何一個宏觀量的統(tǒng)計平均都可以表為

8、：事實上求任何一個宏觀量的統(tǒng)計平均都可以表為： dDfdDfbb00158.2 8.2 弱簡并理想玻色氣體和費米氣體弱簡并理想玻色氣體和費米氣體 適用量子統(tǒng)計，但可以想象在此情形下，統(tǒng)計結(jié)果近似適用量子統(tǒng)計，但可以想象在此情形下，統(tǒng)計結(jié)果近似于玻耳茲曼分布。于玻耳茲曼分布。一，一，什么是弱簡并情形什么是弱簡并情形簡并性氣體簡并性氣體: :用玻色分布或費米分布處理。用玻色分布或費米分布處理。1e非簡并性氣體非簡并性氣體: :用玻耳茲曼分布處理用玻耳茲曼分布處理 13n滿足經(jīng)典極限條件滿足經(jīng)典極限條件不滿足滿足經(jīng)典極限條件不滿足滿足經(jīng)典極限條件弱簡并玻色氣體或費米氣體弱簡并玻色氣體或費米氣體3n接

9、近于滿足經(jīng)典極限條件呢？接近于滿足經(jīng)典極限條件呢？比較小但不能忽略比較小但不能忽略e1e比較大但還不能視作比較大但還不能視作16二，運用玻耳茲曼分布處理理想氣體二，運用玻耳茲曼分布處理理想氣體 簡單起見，不考慮分子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此只有平動自由度簡單起見，不考慮分子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此只有平動自由度, ,（相當于單原子分子），運用玻耳茲曼分布：（相當于單原子分子），運用玻耳茲曼分布： dDeN01 dDeU0視理想氣體分子視理想氣體分子為三維自由粒子：為三維自由粒子： dmhVdD2123322 deemhVdDeN0212330221采用歸一化變量，令：采用歸一化變量，令：x23021230212

10、dxxedex17 deemhVdDeU023233022250212502343dxxedex由此可以解出玻耳茲曼分布的由此可以解出玻耳茲曼分布的2322mkThVNe分子平均能量：分子平均能量：kTNU2323212543NkTU23232232332222hmkTVeemhVN18對量子氣體：對量子氣體： dDeN011 dDeU01弱簡并弱簡并量子氣體，量子氣體， 很大，但不足以忽略很大，但不足以忽略 ，以玻色氣體為例：，以玻色氣體為例：e1xxxxxeeeee111111xxxxeeee221相當于圍繞玻耳茲曼分布展開級數(shù)，保留兩項。相當于圍繞玻耳茲曼分布展開級數(shù)，保留兩項。UN、的

11、積分化為兩部分，第一部分和玻耳茲曼分布相同。的積分化為兩部分，第一部分和玻耳茲曼分布相同。三，弱簡并理想氣體適用量子統(tǒng)計三，弱簡并理想氣體適用量子統(tǒng)計192323212eAe注意此時的注意此時的不同不同 于玻耳茲曼分布于玻耳茲曼分布25252143eAeUdeAedeAeU2302223025232523252123212123212123ekTeekTeekTNUdeAedeAeN2102221023223222AeAeN23322mhVA 弱簡并量子統(tǒng)計對弱簡并量子統(tǒng)計對玻耳茲曼統(tǒng)計的修正玻耳茲曼統(tǒng)計的修正20依照同樣的方式處理費米氣體，我們有：依照同樣的方式處理費米氣體，我們有：eNkT

12、U241123玻色系統(tǒng)費米系統(tǒng):弱簡并量子氣體的壓強：弱簡并量子氣體的壓強：3241132ngVNkTVUp假如分子具有自旋量子態(tài)假如分子具有自旋量子態(tài)3241123ngNkTU如自旋引起的簡并度為如自旋引起的簡并度為 g ：32322nmkThVNee弱簡并情形下弱簡并情形下 依然很小，可近似取玻耳茲曼分布的依然很小，可近似取玻耳茲曼分布的3241123nNkTUe21 第一項是根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能，第一項是根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能，第二項是全同第二項是全同性原理引起的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)所導致的附加內(nèi)能；性原理引起的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)所導致的附加內(nèi)能； 說明：說明： 3241123ngNkTU

13、費米氣體的附加內(nèi)能為正，量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)使費米粒子間費米氣體的附加內(nèi)能為正，量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)使費米粒子間出現(xiàn)等效的排斥作用。出現(xiàn)等效的排斥作用。玻色氣體的附加內(nèi)能為負，玻色粒子玻色氣體的附加內(nèi)能為負，玻色粒子間則出現(xiàn)等效的吸引作用。間則出現(xiàn)等效的吸引作用。32411ngVNkTp228.3 8.3 玻色玻色- -愛因斯坦凝聚愛因斯坦凝聚13n 當經(jīng)典極限條件當經(jīng)典極限條件 不滿足時，由微觀粒子全同性不滿足時，由微觀粒子全同性帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)對物質(zhì)宏觀性質(zhì)的影響顯現(xiàn)。帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)對物質(zhì)宏觀性質(zhì)的影響顯現(xiàn)。 愛因斯坦愛因斯坦1925年預(yù)言：在達到一定的低溫（臨界溫度）下，年預(yù)言：在達到一定的低溫（

14、臨界溫度）下，理想玻色系統(tǒng)將會有宏觀量級的粒子凝聚于最低能級。即玻色理想玻色系統(tǒng)將會有宏觀量級的粒子凝聚于最低能級。即玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。一，愛因斯坦的預(yù)言一，愛因斯坦的預(yù)言 高溫時量子效應(yīng)不明顯，而低溫下則相反。高溫時量子效應(yīng)不明顯，而低溫下則相反。 在絕對零度下，玻色系統(tǒng)由于玻色子不受泡利不相容原在絕對零度下，玻色系統(tǒng)由于玻色子不受泡利不相容原理的約束，玻色子將全部處于理的約束，玻色子將全部處于 的最低能級。的最低能級。00“凝聚凝聚”不是發(fā)生在坐標空間，而是指動量空間。不是發(fā)生在坐標空間，而是指動量空間。23二，化學勢隨溫度的變化二，化學勢隨溫度的變化臨界溫度臨界溫

15、度 粒子數(shù)粒子數(shù)N、溫度、溫度T、體積、體積V的全同近獨立的玻色子組成的系統(tǒng)：的全同近獨立的玻色子組成的系統(tǒng)：011kTllllleea玻色分布：玻色分布：因此對所有能級：因此對所有能級： 即：即：1kTlel00取最低能級取最低能級 則要求則要求0假定自旋為零假定自旋為零 dmhVdD2123322demhnkT021233122粒子數(shù)密度粒子數(shù)密度24在確定的粒子數(shù)密度的情況下，積分值保持不變：在確定的粒子數(shù)密度的情況下，積分值保持不變：demhnkT021233122ckTcTT0125 . 00 . 10)()(T即：即：0,VNTu為了積分值保持不變?yōu)榱朔e分值保持不變假設(shè)溫度下降到某

16、一臨界溫度假設(shè)溫度下降到某一臨界溫度0,cT如果繼續(xù)下降溫度，化學勢為了保持負值而不再變化如果繼續(xù)下降溫度，化學勢為了保持負值而不再變化25令令 ckTxdxexmkThnxc021233122時積分化為：時積分化為：demhnckT021233122cTT 612. 221021dxexx612. 2222233cmkThn32232322612.22612.22nmknmkhTc 在臨界溫度下得到的粒子數(shù)密度，即使溫度發(fā)生變化，粒子在臨界溫度下得到的粒子數(shù)密度，即使溫度發(fā)生變化，粒子數(shù)密度將會保持不變，關(guān)系式依然成立。上式也可以寫成：數(shù)密度將會保持不變，關(guān)系式依然成立。上式也可以寫成：26

17、原因是在求和轉(zhuǎn)化為積分時，默認：原因是在求和轉(zhuǎn)化為積分時，默認：0)(000Van即時，三，當溫度低于臨界溫度時三，當溫度低于臨界溫度時如果溫度繼續(xù)下降，勢必出現(xiàn)這樣的矛盾：如果溫度繼續(xù)下降，勢必出現(xiàn)這樣的矛盾：ndemhkT0)0(21233122溫度下降，化學勢不變（溫度下降，化學勢不變（- 0），被積函數(shù)變小。），被積函數(shù)變小。因此，在因此，在 時，應(yīng)該改為：時，應(yīng)該改為：cTT nTnTn00 ndemhTnkT021233012227 612. 22221222330212330mkThdemhTnkT612. 2222233cmkThn對比：對比： 230cTTnTn得到：得到：C

18、TT 2301CTTnTnCTT 當溫度低于臨界溫度時，理想玻色系統(tǒng)將會有宏觀量當溫度低于臨界溫度時，理想玻色系統(tǒng)將會有宏觀量級的粒子凝聚于最低能級。級的粒子凝聚于最低能級。28四，玻色四，玻色-愛因斯坦凝聚體愛因斯坦凝聚體 玻色玻色-愛因斯坦凝聚：當溫度低于臨界溫度時，有宏觀量級愛因斯坦凝聚：當溫度低于臨界溫度時，有宏觀量級的粒子在能級的粒子在能級= 0 凝聚凝聚 。在。在= 0 能級的粒子集合體稱為玻色凝能級的粒子集合體稱為玻色凝聚體。聚體。 凝聚體能量為零、動量為零，壓強為零（或者說對壓強沒有凝聚體能量為零、動量為零，壓強為零（或者說對壓強沒有貢獻），并產(chǎn)生超流現(xiàn)象。微觀狀態(tài)完全確定，微

19、觀狀態(tài)數(shù)為貢獻），并產(chǎn)生超流現(xiàn)象。微觀狀態(tài)完全確定，微觀狀態(tài)數(shù)為 1，熵為零。熵為零。nnoCTT1102nn029凝聚體的內(nèi)能：凝聚體的內(nèi)能：02325233023233122122xKTedxxkTmhVedmhVUCTT 341. 1432225233kTmhVU341. 14322233mkThnNkTU23612. 2341. 123cTTNkTU612. 2222233cmkThn23770. 0cTTNkTU注意到：注意到：30NkCVCTT1223925.13 定容熱容量在臨界溫度達到極大值，定容熱容量對溫度的定容熱容量在臨界溫度達到極大值，定容熱容量對溫度的偏導數(shù)在該點發(fā)生突

20、變偏導數(shù)在該點發(fā)生突變相變。相變。23925. 125CVVTTNkTUTUC定容熱容量：定容熱容量：CTT 31出現(xiàn)凝聚體的條件出現(xiàn)凝聚體的條件:cTT 即：即：612.23n可以通過降低溫度，或者增加粒子數(shù)密度來實現(xiàn)玻色凝聚。可以通過降低溫度，或者增加粒子數(shù)密度來實現(xiàn)玻色凝聚。五，出現(xiàn)凝聚體的條件五，出現(xiàn)凝聚體的條件612.2233nmkThnC可改寫為：可改寫為：322612.22nmkhTc32玻色玻色-愛因斯坦凝聚前后原子速度分布圖愛因斯坦凝聚前后原子速度分布圖33激光制冷（多普勒制冷）激光制冷（多普勒制冷）磁阱：兩個平行的電流方向相反的線圈構(gòu)成，中心磁場為零，磁阱：兩個平行的電流方

21、向相反的線圈構(gòu)成，中心磁場為零，四周磁場漸強。原子因具有磁矩而陷于在中心時勢能最低處。四周磁場漸強。原子因具有磁矩而陷于在中心時勢能最低處。磁光陷阱：激光制冷磁光陷阱：激光制冷+磁阱磁阱朱棣文：俘獲原子；朱棣文：俘獲原子；“光學粘團光學粘團”348.4 8.4 光子氣體光子氣體平衡輻射的熱力學平衡輻射的熱力學 Tup31輻射壓強：輻射壓強：VTuVTU)(),(pTpTVUuVT能量密度、內(nèi)能：能量密度、內(nèi)能：4aTu VaTS334熵熵一、一、空腔輻射空腔輻射平衡輻射平衡輻射黑體輻射黑體輻射運用能態(tài)方程：運用能態(tài)方程：得到斯特藩得到斯特藩玻耳茲曼定律：玻耳茲曼定律：441TcuJu35 從量

22、子理論出發(fā)，空腔輻射內(nèi)的輻射場可以看成是光子從量子理論出發(fā)，空腔輻射內(nèi)的輻射場可以看成是光子氣體。光子是波色子，平衡的光子氣體服從玻色分布。氣體。光子是波色子，平衡的光子氣體服從玻色分布。 從經(jīng)典理論出發(fā)，空腔內(nèi)的輻射場可以分解成無窮多單色平從經(jīng)典理論出發(fā)，空腔內(nèi)的輻射場可以分解成無窮多單色平面波的疊加。面波的疊加。LL2L5L4L3L.L36二、輻射場的二、輻射場的經(jīng)典統(tǒng)計經(jīng)典統(tǒng)計- -能量均分定理能量均分定理 空腔平衡輻射的能量由空腔平衡輻射的能量由輻射場的自由度決定。輻射場的自由度決定。dpphV234dppp動量大小體積體積 V V內(nèi)可能的平面波數(shù)：內(nèi)可能的平面波數(shù)：20032sin

23、ddhdpVp平面波可以看成是簡諧振動，并且考慮到有兩個偏振方向平面波可以看成是簡諧振動，并且考慮到有兩個偏振方向dpphV238dppp動量大小體積體積 V V內(nèi)可能的振動模式數(shù)：內(nèi)可能的振動模式數(shù)：37 一個簡諧振動的能量可以寫成兩個平方項，根據(jù)能量均一個簡諧振動的能量可以寫成兩個平方項，根據(jù)能量均分定理，在分定理，在 范圍內(nèi)，空腔內(nèi)的內(nèi)能：范圍內(nèi)，空腔內(nèi)的內(nèi)能：ddcVkTdU232221dcV232在體積為在體積為 的空窖內(nèi)的空窖內(nèi) V在在 的圓頻率范圍內(nèi)的圓頻率范圍內(nèi)d cp內(nèi)可能的振動模式數(shù)：內(nèi)可能的振動模式數(shù)：dpphV238dUU0黑體輻射的黑體輻射的“紫外災(zāi)難紫外災(zāi)難”。瑞利

24、金斯公式瑞利金斯公式kTdcVdU23238實際上：實際上： 平衡輻射的能量密度與平衡輻射的能量密度與絕對溫度的四次方成正比。絕對溫度的四次方成正比。4),(aVTVTU 有限溫度下平衡輻射的內(nèi)能和定容熱容量是有限溫度下平衡輻射的內(nèi)能和定容熱容量是發(fā)散的，發(fā)散的，與實際嚴重不符。與實際嚴重不符。dUU0瑞利瑞利金斯公式金斯公式U實驗曲線實驗曲線kTcVU232LL2L5L4L3L.L原因：原因：39三、黑體輻射的量子理論三、黑體輻射的量子理論普朗克公式普朗克公式 從粒子觀點研究平衡輻射問題，把空窖內(nèi)的輻射場看作光從粒子觀點研究平衡輻射問題，把空窖內(nèi)的輻射場看作光子氣體，子氣體，光子是玻色子，達

25、到平衡后遵從玻色分布。光子是玻色子，達到平衡后遵從玻色分布。只需引入一個拉氏乘子只需引入一個拉氏乘子 0lnE1leall11sefs 平衡輻射場光子數(shù)不守恒，在推導玻色分布時只存在一平衡輻射場光子數(shù)不守恒，在推導玻色分布時只存在一個限制條件：個限制條件：constE constN 0kT平衡狀態(tài)下光子氣體的化學勢為零平衡狀態(tài)下光子氣體的化學勢為零 40光子的自旋量子數(shù)為光子的自旋量子數(shù)為1 1，在動量方向上的投影有兩個可能值：，在動量方向上的投影有兩個可能值：dpphV238內(nèi)光子的量子態(tài)數(shù)：內(nèi)光子的量子態(tài)數(shù)：（這也是經(jīng)典理論考慮偏振的振動自由度數(shù)）（這也是經(jīng)典理論考慮偏振的振動自由度數(shù)）自

26、旋簡并度自旋簡并度2gdppp動量大小動量大小體積體積 VdpphV234dppp動量大小動量大小體積體積 V內(nèi)自由粒子可能的內(nèi)自由粒子可能的量子量子態(tài)數(shù)：態(tài)數(shù)：20032sinddhdpVp（這也是經(jīng)典理論的平面波數(shù)）（這也是經(jīng)典理論的平面波數(shù)）41dcV232光子的量子態(tài)數(shù)為：光子的量子態(tài)數(shù)為：在體積為在體積為 的空窖內(nèi)的空窖內(nèi) V在在 的圓頻率范圍內(nèi)的圓頻率范圍內(nèi)dcp（或經(jīng)典理論的（或經(jīng)典理論的振動自由度數(shù)）振動自由度數(shù)） 如果采用經(jīng)典理論的如果采用經(jīng)典理論的能量均分定理，將得到能量均分定理，將得到瑞瑞利金斯公式利金斯公式：dcVkTdU232dUU0維恩公式維恩公式 至此，量子統(tǒng)計的

27、量子態(tài)數(shù)和經(jīng)典理論的振動的自由度至此，量子統(tǒng)計的量子態(tài)數(shù)和經(jīng)典理論的振動的自由度數(shù)并無差異。數(shù)并無差異。瑞利瑞利金斯公式金斯公式U實驗曲線實驗曲線維恩公式維恩公式42量子統(tǒng)計：光子遵從玻色分布量子統(tǒng)計：光子遵從玻色分布 11sefs111232232kTkTedcVedcV在體積為在體積為 的空窖內(nèi)的空窖內(nèi) V在在 的圓頻率范圍內(nèi)的圓頻率范圍內(nèi)d平均光子數(shù)為平均光子數(shù)為量子態(tài)數(shù)量子態(tài)數(shù) X X一個量子態(tài)平均光子數(shù)：一個量子態(tài)平均光子數(shù)：該范圍內(nèi)的能量：該范圍內(nèi)的能量：decVdTUkT1,2321,332kTecVTU普朗克公式普朗克公式給出輻射場的內(nèi)能按圓頻率的分布。給出輻射場的內(nèi)能按圓頻率

28、的分布。43的低頻范圍的低頻范圍：1kTkTekT1kTcVTU232,瑞利瑞利金斯公式金斯公式decVdTUkT1,332四、普朗克公式在高低頻的極限結(jié)果四、普朗克公式在高低頻的極限結(jié)果瑞利瑞利金斯公式金斯公式U實驗曲線實驗曲線維恩公式維恩公式普朗克公式和實驗相吻合普朗克公式和實驗相吻合44的高頻范圍：的高頻范圍：1kTkTkTee1kTecVTU332,維恩公式維恩公式1,332kTecVTU當當 時，時， 隨隨 的增加而迅速地趨近于零的增加而迅速地趨近于零。1kTTU,在一定溫度在一定溫度 的平衡輻射中，高頻光子幾乎是不存在的。的平衡輻射中，高頻光子幾乎是不存在的。T滿足滿足 的高頻自由

29、度因為級差太大的高頻自由度因為級差太大而被凍結(jié)在而被凍結(jié)在kT0n的基態(tài)。的基態(tài)。普朗克公式的量子統(tǒng)計解釋：普朗克公式的量子統(tǒng)計解釋：11kTsef對于低頻，能級間距對于低頻，能級間距 遠小于遠小于 ，其能量可看作準，其能量可看作準kT連續(xù)的變量，經(jīng)典統(tǒng)計的結(jié)論成立。連續(xù)的變量，經(jīng)典統(tǒng)計的結(jié)論成立。4503321decVUkT4334215VTck空腔輻射的內(nèi)能空腔輻射的內(nèi)能vn41也可以根據(jù)瀉流來計算輻射通量密度：也可以根據(jù)瀉流來計算輻射通量密度：VUcNUncJu441（習題（習題8 81111） 平衡輻射的能量密度與絕對溫度的四次方成正比平衡輻射的能量密度與絕對溫度的四次方成正比：4aT

30、u 334215 cka輻射通量密度輻射通量密度444141TcaTcuJu324260ck46五，量子數(shù)五，量子數(shù)n的含義的含義 空腔平衡輻射由無窮多個單色平面波組成，空腔平衡輻射由無窮多個單色平面波組成，每個平面波具有每個平面波具有量子化的能量：量子化的能量：21nn, 2 , 1 , 0n從粒子觀點看，從粒子觀點看， 是平均光子數(shù)；是平均光子數(shù)；從波動觀點看，從波動觀點看， 是量子數(shù)是量子數(shù) 的平均值。的平均值。nnn 當平面波處在量子數(shù)為當平面波處在量子數(shù)為 的狀態(tài)時，相應(yīng)的狀態(tài)時，相應(yīng)存在存在 個能量為個能量為 nn玻色分布給出在溫度為玻色分布給出在溫度為 的平衡狀態(tài)下的平衡狀態(tài)下

31、的平均值：的平均值：Tn11kTen的光子。的光子。47六，用波長表示的普朗克公式六，用波長表示的普朗克公式dceccVdTUkThc2332212,c2dcd22decVdTUkT1,332用圓頻率表示的用圓頻率表示的普朗克公式：普朗克公式：dehcVdTUkThc118,5用波長表示的用波長表示的普朗克公式：普朗克公式：原始形式：原始形式：11251TCeCe VUcJeu41212 hcCkhcC 2第一、第二輻射常數(shù)第一、第二輻射常數(shù)面輻射強度面輻射強度48七、維恩的貢獻七、維恩的貢獻 1，維恩是第一個制作出實用黑體的人。，維恩是第一個制作出實用黑體的人。維恩公式在維恩公式在高頻段和實

32、驗相符高頻段和實驗相符瑞利瑞利金斯公式金斯公式U實驗曲線實驗曲線維恩公式維恩公式TCeCe251換成以圓頻率為變量：換成以圓頻率為變量：decVdUkT332即普朗克公式高頻極限結(jié)果即普朗克公式高頻極限結(jié)果2，維恩公式：黑體輻射的半經(jīng)驗公式。，維恩公式：黑體輻射的半經(jīng)驗公式。49 3，維恩位移定律維恩位移定律),(TU1231T2T3T123TTT由普朗克公式：由普朗克公式：decVdTUkT1,332m輻射場的能量密度隨輻射場的能量密度隨 的分布有一極大值，用的分布有一極大值，用 表示。表示。 輻射場的能量密度的峰值將隨溫度的升高向高頻移動，輻射場的能量密度的峰值將隨溫度的升高向高頻移動，或

33、者說向短波長方向移動?；蛘哒f向短波長方向移動。維恩位移定律維恩位移定律0,TU通過求通過求 可以找到峰值位置，并給出該位置可以找到峰值位置，并給出該位置圓頻率和溫度之間的關(guān)系。圓頻率和溫度之間的關(guān)系。5031xxexe821. 2x821. 2kTm圓頻率表示的維恩位移定律圓頻率表示的維恩位移定律decVdTUkT1,332kTx013xexx0113232xxxeexex運用歸一化變量：運用歸一化變量：只需求：只需求：51用波長表示的維恩位移定律用波長表示的維恩位移定律dehcVdTUkThc118,5kThcx015xexx51xxexe965. 4x965. 4kThcm維恩常數(shù)：維恩常

34、數(shù)：Kmb2898bTm維恩位移定律維恩位移定律UUmmmmc252 4，維恩最大發(fā)射本領(lǐng)定律，維恩最大發(fā)射本領(lǐng)定律將將 代入代入Tbm11251TCeCe5515111122TebCeCebCTCmmm求得普朗克公式峰值處的面輻射強度：求得普朗克公式峰值處的面輻射強度：52111/10286. 1KmmWb也叫維恩常數(shù)也叫維恩常數(shù)51Tbem維恩最大發(fā)射本領(lǐng)定律維恩最大發(fā)射本領(lǐng)定律53八，光子氣體的巨配分函數(shù)八，光子氣體的巨配分函數(shù)llle1lnlnllllle1玻色系統(tǒng)的巨配分函數(shù)：玻色系統(tǒng)的巨配分函數(shù)：運用到光子氣體：運用到光子氣體：llllle1dcV232體積體積 內(nèi)，圓頻率內(nèi)，圓頻

35、率 范圍內(nèi)光子的量子態(tài)數(shù)：范圍內(nèi)光子的量子態(tài)數(shù)：decV1lnln0232巨配分函數(shù)的對數(shù)轉(zhuǎn)化為積分：巨配分函數(shù)的對數(shù)轉(zhuǎn)化為積分：Vd采用歸一化變量：采用歸一化變量：dxexcVx1lnln0233254 30021ln311lnxdedxexxxxxedxex1ln311ln3030345906311311310440303dxexdxeexxxx45ln4332cV332145lncV55例例 根據(jù)光子氣體的巨配分函數(shù)計算其它熱力學量根據(jù)光子氣體的巨配分函數(shù)計算其它熱力學量433424332333215345145lnVTckcVcVU（1）內(nèi)能）內(nèi)能33342154VTckTUCVV33

36、2145lncV56VUTckVp3145ln143342輻射壓強輻射壓強（習題（習題7 72 2）（2）壓強）壓強332145lncV33342454lnVTckUkS（3）熵）熵或者習題或者習題8 8.10.10：dTTCSTV033342023342454154VTckdTTVckST33342154VTckCV578.5 8.5 金屬中的自由電子氣體金屬中的自由電子氣體一、自由電子氣體模型一、自由電子氣體模型電子經(jīng)過電子經(jīng)過1 1mmmm，變化變化710 個周期，忽略周期性變化個周期，忽略周期性變化認為原子實形成均勻的正電荷背景。價電子之間的庫侖認為原子實形成均勻的正電荷背景。價電子之

37、間的庫侖相互作用可以忽略。相互作用可以忽略。組成金屬的原子全部分解成原子實和價電子，組成金屬的原子全部分解成原子實和價電子，58金屬中的自由電子構(gòu)成一個近獨立粒子的費米系統(tǒng)。金屬中的自由電子構(gòu)成一個近獨立粒子的費米系統(tǒng)。由于金屬的密度很高由于金屬的密度很高3310n強簡并的費米系統(tǒng)。強簡并的費米系統(tǒng)。經(jīng)典理論：金屬中價電子可以看做近獨立的自由粒子經(jīng)典理論：金屬中價電子可以看做近獨立的自由粒子一個自由電子對熱容量的貢獻一個自由電子對熱容量的貢獻 與事實不符。與事實不符。23kT11kTef根據(jù)費米分布，溫度為根據(jù)費米分布，溫度為T T時處在能量為時處在能量為的一個量子的一個量子態(tài)上的平均電子數(shù)為

38、：態(tài)上的平均電子數(shù)為：59二、量子態(tài)數(shù)與平均自由電子數(shù)二、量子態(tài)數(shù)與平均自由電子數(shù) dmhVdD21233222考慮到電子自旋在其動量方向的投影有兩個可能值，考慮到電子自旋在其動量方向的投影有兩個可能值，電子的量子態(tài)數(shù)為電子的量子態(tài)數(shù)為在體積在體積 內(nèi)，內(nèi)，在在d的能量范圍內(nèi)的能量范圍內(nèi)V 12421233kTedmhVdDfdN平均電子數(shù)為平均電子數(shù)為在體積在體積 內(nèi)，內(nèi)，在在d的能量范圍內(nèi)的能量范圍內(nèi)V60在一定的溫度在一定的溫度T T和體積和體積V V下，系統(tǒng)總的電子數(shù)下，系統(tǒng)總的電子數(shù)021233124kTedmhVN如果給定電子數(shù)如果給定電子數(shù)N N，可以求出化學勢可以求出化學勢。n

39、T,三、絕對零度時自由電子的分布三、絕對零度時自由電子的分布 kTT100，時，當61 0當當 時：時：11111eefkTf01)0(分布由泡利不分布由泡利不相容原理決定相容原理決定 0011ef當當 時：時：能量小于能量小于 的每個量子態(tài)上一個電子，能量的每個量子態(tài)上一個電子，能量大于大于 的量子態(tài)上沒有電子。的量子態(tài)上沒有電子。)0()0(62時電子的最大能量（費米能級）時電子的最大能量（費米能級）: : 3222320VNmFKT0 2323300212330322424mhVdmhVN平均自由電子數(shù)：平均自由電子數(shù)： 3222320VNm由此解出絕度零度時化學勢：由此解出絕度零度時化

40、學勢：63 mpFF2023123VNpF是是0 0K K時電子的最大動量，稱為費米動量。時電子的最大動量，稱為費米動量。FpxpypzpFp動量空間費米球動量空間費米球等能面費米面等能面費米面費米動量費米半徑費米動量費米半徑費米速率費米速率mpvFF64 J191012. 10銅的費米能級銅的費米能級; ;銅的費米溫度銅的費米溫度KTF4102 . 8定義費米溫度定義費米溫度 0FkT費米溫度可以用來衡量費米能級和基態(tài)之間的能級級差。費米溫度可以用來衡量費米能級和基態(tài)之間的能級級差。結(jié)論：電子很難從較低的能級因為熱激發(fā)而躍遷到比費結(jié)論：電子很難從較低的能級因為熱激發(fā)而躍遷到比費 米能級更高的

41、能級上，只有接近費米能級的電子米能級更高的能級上，只有接近費米能級的電子 才有這個可能。才有這個可能。f01)0(65時電子氣體的內(nèi)能時電子氣體的內(nèi)能 05324000232330NdmhVdfDUKT0 05300NU時電子的平均能量時電子的平均能量KT0銅的電子氣體簡并壓銅的電子氣體簡并壓Pa10108 . 3 0523020nVUp時電子氣體的壓強（簡并壓）時電子氣體的壓強（簡并壓）KT066四、四、T0 K T0 K 時自由電子的分布時自由電子的分布f01 T21 由于電子的費米能級（或者說費米溫度）很高，由于電子的費米能級（或者說費米溫度）很高，絕對溫度大于零度時，電子也很難從較低的

42、能級因為絕對溫度大于零度時，電子也很難從較低的能級因為熱激發(fā)而躍遷到比費米能級更高的能級上，只有接近熱激發(fā)而躍遷到比費米能級更高的能級上，只有接近費米能級的電子才有這個可能。費米能級的電子才有這個可能。 21f21f21f T)(T)(T11kTef可以推想某一溫度可以推想某一溫度T時：時：67絕大多數(shù)狀態(tài)的占據(jù)情況并不改變。只是在絕大多數(shù)狀態(tài)的占據(jù)情況并不改變。只是在附近的數(shù)量級為附近的數(shù)量級為kTkT的能量范圍內(nèi)發(fā)生變化的能量范圍內(nèi)發(fā)生變化. .由于一般情況下由于一般情況下FTT 0對熱容量有貢獻的有效電子數(shù)：對熱容量有貢獻的有效電子數(shù)：NTTNkTNF有效FVTTNkC23估算：2701

43、FTT銅：kTf01 2168五、五、T T0時時自由電子氣體的熱容量和內(nèi)能自由電子氣體的熱容量和內(nèi)能電子數(shù)電子數(shù)N N滿足滿足021233124kTedmhVN通過積分可得通過積分可得22238132kTCN23324mhVC3222328132kTCN 2201210kT 00 時注意T69電子氣體的內(nèi)能為電子氣體的內(nèi)能為023233124kTedmhVU222585152kTCU 2201251053kTNU 代入上式將2201210kT70電子氣體的定容熱容量為：電子氣體的定容熱容量為： 022kTNkTUCVVFVTTNkC23和以前的估算值的數(shù)量級相符：和以前的估算值的數(shù)量級相符： TkTNkCV022電子氣體的定容熱容量還可表為：電子氣體的定容熱容量還可表為：71 金屬的熱容量的貢獻可以分為兩部分：自由電子的金屬的熱容量的貢獻可以分為兩部分：自由電子的熱容量和離子振動的熱容量。常溫下自由電子的貢獻可熱容量和離子振動的熱容量。常溫下自由電子的貢獻可忽