高中數(shù)學(xué)“線面距離”典例剖析

1、高中數(shù)學(xué)“線面間隔 典例剖析線面間隔 典例剖析【例1】 求證：假如一個(gè)平面經(jīng)過一條線段的中點(diǎn)，那么這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)到這個(gè)平面的間隔 相等.：線段AB的中點(diǎn)為O，O平面.求證：A、B兩點(diǎn)到平面的間隔 相等.證明：1當(dāng)線段在平面上時(shí)，A、B兩點(diǎn)顯然到平面的間隔 相等且為0.2當(dāng)線段AB不在平面上時(shí)，作AA1，BB1，A1和B1為垂足，那么AA1、BB1分別是A、B到平面的間隔 ，且AA1BB1，AA1、BB1確定平面，=A1B1.OAB，AB，O，又O.OA1B1.AA1A1O，BB1B1O.AOA1=BOB1，AO=BO，RtAA1ORtBB1O.AA1=BB1，即線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)到平面的間

2、隔 相等.點(diǎn)評(píng)：該題中，證明A1、O、B1三點(diǎn)共線是關(guān)鍵，分開這一點(diǎn)，就無(wú)法證明三角形全等.另外，第1步有些同學(xué)往往漏掉，使證明失掉嚴(yán)謹(jǐn)性.【例2】 如圖，AB是異面直線A、B的公垂線段，B，a，求證：線段AB的長(zhǎng)就是a與平面之間的間隔 .證明：Ba，由直線a、點(diǎn)B可確定平面，設(shè)為，那么和相交，設(shè)=a.a，aa.又ABa，ABa.a、b是異面直線，ba=B.又b、a，AB，aa，A.AB的長(zhǎng)為a到之間的間隔 .點(diǎn)評(píng)：由本例的結(jié)論知異面直線a、b之間的間隔 公垂線段AB的長(zhǎng)度就是a與之間的間隔 ，利用這個(gè)結(jié)論，求異面直線間的間隔 可轉(zhuǎn)化為求線面之間的間隔 .【例3】 如圖，梯形ABCD的一底邊A

3、B在平面內(nèi)，另一底邊DC在平面外，對(duì)角線交點(diǎn)O到平面的間隔 為d，假設(shè)ABCD=mn，求CD到平面的間隔 .解：CD在平面外，CDBA，BA，CD平面.作CC1，C1為垂足，那么CC1就是CD和平面的間隔 .作OO1AC1于O1，CC1AC1，OO1CC1.CC1，OO1.OO1是O到平面的間隔 ，即OO1=d.在梯形ABCD中，=，=.在平面ACC1內(nèi)，=，CC1=d.因此，CD到平面的間隔 為d.點(diǎn)評(píng)：求線面之間的間隔 ，“作、證、算三步必不可少，即找出代表間隔 的垂線段并證明之，然后構(gòu)造平面圖形多數(shù)為三角形來算出.歸根結(jié)底求解它們都可以和直線與平面垂直建立親密的聯(lián)絡(luò)。比方，P到平面間隔

4、，AB這里PAB與平面所成的角，二面角-l-這里P，首先要在平面內(nèi)選定直線a，然后能作或找出直線a垂直于一個(gè)輔助平面，當(dāng)然要有P，這樣就有平面平面且設(shè)交線為b,最后就是過點(diǎn)P作交線b的垂線PH,就得到PH平面。要求點(diǎn)其明晰思維流程可參考以下圖：下面我就求點(diǎn)面距、線面角、二面角問題通過三個(gè)例子作詳細(xì)講解例1AB平面BCD,AB=2,CD=5,BCD的面積為，求點(diǎn)B到平面ACD的間隔 。解析：要過相關(guān)點(diǎn)B作平面ACD的垂線首先在平面ACD內(nèi)現(xiàn)有的三條直線AC、AD、CD中選定CD,因?yàn)槲覀冎辽貱DAB且BAB;然后過B作BECD于E，并連結(jié)AE，那么CD面ABE，于是就有面ABE面ACD且交線為A

5、E;最后過相關(guān)點(diǎn)B作BHAE，那么BH面ACD。例2：如圖在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=4,BC=3,AA1=5,試求B1D1與平面A1BCD1所成的角的正弦值。解析：要作B1D1與平面A1BCD1所成的角，可考慮怎樣作出平面A1BCD1的垂線在平面A1BCD1內(nèi)現(xiàn)有的四條直線A1B，BC，CD1，A1D1中選定A1D1或BC因?yàn)槿菀字繟1D1面A1B1BA不選A1D1面D1C1CD因?yàn)檫@里有相關(guān)點(diǎn)B1B1D1且B1A1B1BA。于是得出面A1D1CB面A1B1BA且交線為A1B;最后過B1作交線A1B的垂線B1H，得到B1H面A1BCD1，連結(jié)D1H，那么B1DH為所求的線面角

6、。例3：在如下圖的幾何體中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC,且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點(diǎn)1求證：CMEM;2求CM與平面CDE所成的角;3求二面角M-EC-D的大小語(yǔ)文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。假如有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對(duì)進(jìn)步學(xué)生的程度會(huì)大有裨益。如今,不少語(yǔ)文老師在分析課文時(shí),把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果老師費(fèi)力,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的為難場(chǎng)面的關(guān)鍵就是對(duì)文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見,假如有目的、有方案地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀

7、課文,或細(xì)讀、默讀、跳讀,或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章的思想內(nèi)容和寫作技巧,可以在讀中自然加強(qiáng)語(yǔ)感,增強(qiáng)語(yǔ)言的感受力。久而久之,這種思想內(nèi)容、寫作技巧和語(yǔ)感就會(huì)自然浸透到學(xué)生的語(yǔ)言意識(shí)之中,就會(huì)在寫作中自覺不自覺地加以運(yùn)用、創(chuàng)造和開展。解析：對(duì)于3求二面角M-EC-D時(shí)，選定面CEM還是面CDE作為中心平面呢?關(guān)鍵是看能否作出其所在平面的垂線，進(jìn)一步說是看哪一個(gè)平面中有某一條直線垂直于第三個(gè)平面!因?yàn)镃MAB，于是有CM面ABDE，可選定面CEM作為中心平面。這樣因?yàn)橛蠧M面ABDE，所以就有面DEM面CEM且交線為EM。這里由于邊的關(guān)系，根據(jù)勾股定理的逆定理有

8、EMDM,所以到這里我們就找到一條直線DM與中心平面CEM垂直并且D面CDE。最后只需過M作MOEC于點(diǎn)O,并連接DO,那么DOM為所求二面角M-EC-D的平面角。宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱。其實(shí)“教諭在明清時(shí)還有學(xué)官一意，即主管縣一級(jí)的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正。“教授“學(xué)正和“教諭的副手一律稱“訓(xùn)導(dǎo)。于民間，特別是漢代以后，對(duì)于在“校或“學(xué)中傳授經(jīng)學(xué)者也稱為“經(jīng)師。在一些特定的講學(xué)場(chǎng)合，比方書院、皇室，也稱老師為“院長(zhǎng)、西席、

9、講席等。對(duì)于3也可試著把另一個(gè)平面CDE視作中心平面，設(shè)法作或找出其垂線即可。例如可按如圖2所提供的解法考慮：因?yàn)镃MAB，于是有CM面ABDE,可得CMED.過M作MFED,那么DE面CFM,我們就得到面CDE面CFM且交線為CF,然后過M作MHCF,那么MH面CDE。最后過點(diǎn)M作MOEC于點(diǎn)O,并連接HO,那么HOM為所求二面角M-EC-D的平面角。一般說來，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實(shí)就是先秦而后歷代對(duì)老師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長(zhǎng)教之弗為變其“師長(zhǎng)當(dāng)然也指老師。這兒的“師資和“師長(zhǎng)可稱為“老師概念的雛形，但仍說不上是名副其實(shí)的“老師，因?yàn)椤袄蠋煴匦枰忻鞔_的傳授知識(shí)的對(duì)象和本身明確的職責(zé)。由以上闡述，可見作好線面垂直在求解空間的間隔 和角時(shí)能起到事半功倍的效果，其中尤其把握好這兩點(diǎn)：一是確定中心平面內(nèi)的直線a如例1 中的CD;怎樣選定直線a呢