本科優(yōu)秀數(shù)學本科畢業(yè)論文

1、*大學2014 屆本科畢業(yè)論文 論文題目： 行列式的計算及應用學生姓名：所在院系：數(shù)學科學學院所學專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學 （金融方向）導師姓名：完成時間：* 年 * 月 * 日行列式的計算及應用摘要在高等代數(shù)這門課程里， 行列式是最基本而又重要的內(nèi)容之一， 同時也是數(shù)學研究中的重要的 工具之一，在線性代數(shù)、 數(shù)學分析、解析幾何等眾多課程理論中以及實際問題中許也發(fā)揮著重要作 用，了解如何計算和應用行列式顯得尤為重要。本文首先闡述行列式的基本理論， 在此研究的基礎上介紹了降階法， 歸納法， 化三角形法等幾 種常見的且有一定技巧的解行列式的方法 , 并列舉了相關的例子，更直觀地了解解行列式方法的精 髓

2、。另外，本文又介紹了行列式在解析幾何、 代數(shù)及其他課程當中的應用，進一步加深了對行列式 的理解。最后本文又列舉實例闡述行列式在實際當中的應用，實現(xiàn)了行列式的理論與實際相結合。 研究行列式的計算方法及其應用可以提高對行列式的認識， 有利于把行列式的研究推向深入。 通過 這一系列的方法可以進一步提升對行列式的認識，為以后學習奠定了基礎。 關鍵詞： 行列式，因式分解，化三角形法 , 歸納法，加邊法， Matlab 軟件Determinant calculation and applicationAbstractThis course in advanced algebra, the determin

3、ant is one of the most basic and important content, while many math curriculum theory is one of the important research tools, linear algebra, mathematical analysis, analytic geometry, etc. as well as practical problems also plays an important role in understanding how to calculate and apply the dete

4、rminant is particularly important.This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction method, induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, mor

5、e intuitive understanding of the essence of the solution determinant method. In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant applicatio

6、n in practice to achieve a theoretical and practical determinant combined. Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen the study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants thr

7、ough this series of methods, laid the foundation for future learning.Keywords: determinants, factorization of a triangle, induction, plus side method, Matlab software 目錄行列式的定義及性質(zhì) 錯 誤! 未指定書簽。行列式的定義 錯 誤! 未指定書簽。排列 錯 誤! 未指定書簽。定義 錯 誤! 未指定書簽。行列式的相關性質(zhì) 錯誤! 未指定書簽。行列式的計算方法 錯誤! 未指定書簽幾種特殊行列式的結果 錯誤! 未指定書簽。三角行列式

8、錯 誤! 未指定書簽。對角行列式 錯 誤! 未指定書簽。定義法 錯 誤! 未指定書簽。利用行列式的性質(zhì)計算 錯誤! 未指定書簽。降階法 錯 誤! 未指定書簽。歸納法 錯 誤! 未指定書簽。遞推法 錯 誤! 未指定書簽。拆項法 錯 誤! 未指定書簽。用范德蒙德行列式計算 錯誤! 未指定書簽。化三角形法 錯 誤! 未指定書簽。加邊法 錯 誤! 未指定書簽。拉普拉斯定理的運用 錯 誤! 未指定書簽。行列式計算的 Matlab 實驗 錯 誤! 未指定書簽。行列式的應用 錯誤! 未指定書簽行列式應用在解析幾何中 錯 誤! 未指定書簽。用行列式表示的三角形面積 錯 誤! 未指定書簽。應用行列式分解因式 錯

9、 誤! 未指定書簽。利用行列式解代數(shù)不等式 錯 誤! 未指定書簽。利用行列式來證明拉格朗日中值定理 錯 誤! 未指定書簽。行列式在實際中的應用 錯 誤! 未指定書簽?？偨Y 錯誤! 未指定書簽參考文獻 錯 誤! 未指定書簽附錄 1 錯 誤! 未指定書簽附錄 2 錯 誤! 未指定書簽附錄 3 錯 誤! 未指定書簽謝辭 錯誤! 未指定書簽行列式的定義及性質(zhì)行列式的定義排列 1在任意一個排列中， 若前面的數(shù)大于后面的數(shù)，則它們就叫做一個逆序，在 任意一個排列中，逆序的總數(shù)就叫做這個排列的逆序數(shù) .定義 1n 階行列式就相當于全部不同行、列的 n 個元素的乘積a1j1 a2j2 anjn（1-1-1）的

10、代數(shù)和，這里 j1j2 jn是1,2, ,n的一個排列，每一項（ 1-1-1 ）都按下列規(guī)則 帶有符號：當 j1j2 j n是偶排列時，（ 1-1-1 ）是正值，當 j1j2 j n是奇排列時， （1-1-1 ）是負值 . 這一定義可以表述為2 a a1)12nna1 a2 a（1-1-2）我們也可以把這里 表示對所有 n級排列求和 . j1j 2 jn號，由于行列指標的地位是對稱的， 所以為了決定每一項的符每一項按照列指標排起來，所以定義又可以表述為a11a21a12a22a1na2ni1i2( 1)in(i1ii)ai11ai2 2ainnan1an 2anna11a12a1na11a21

11、an1a21a22a2n, Da12a22an2an1an2anna1nan2ann記DD 的轉置行列式 .2則行列式 D性質(zhì) 1（ 1-1-3 ）行列式的相關性質(zhì)叫做行列式即 D D.行列式和它的轉置行列式是相等的 證明：記 D中的一般項 n個元素的乘積是應是它處于 D 的不同行和不同列，所以它也處于 D 的不同行和不同列，在 D中所以它也是 D中的一項 . 反之, D 的每一項也是 D的一項，即 D 和 D有相證明：kai1kai 2kainkai1Ai1kai 2Ai2kain Ainan1an2ann同的項.再由上面（ 1-2 ）和（ 1-3 ）可知這兩項的符號也相同，所以 D D.a

12、11a12a1na11a12a1n性質(zhì) 2kai1kai2kainkai1ai2ainan1an2annan1an2anna11a12a1n性質(zhì) 3 如果行列式的某行 （列）的元素都為兩個數(shù)之和 2 ，如D b1 c1 b2 c2bn cnan1an2ann ，那么行列式 D 就等于下列兩個行列式的和： 可以參照性質(zhì) 2 的證明得出結論 .性質(zhì) 4 對換行列式中任意兩行的位置，行列式值相反 . 即若設則 D1 D.證明：記 D 中的一般項中的 n個元素的乘積是它在 D 中處于不同行、不同列，因而在 D1中也處于不同行、不同的列，所 以它也是 D1的一項.反之， D1中的每一項也是 D中的一項，

13、所以 D和D1有相同 的項，且對應的項絕對值相同 .現(xiàn)在看該項的符號：它在 D 中的符號為由于 D1是由交換 D的i 、k 兩行而得到的，所以行標的 n級排列 12 i k n 變?yōu)?n 級排列 12 i k n ，而列標的 n 級排列并沒有發(fā)生變化 . 因此 D 和 D1 中 每一對相應的項絕對值相等，符號相反，即 D1 D.性質(zhì) 5 如果行列式中任有兩行元素完全相同，那么行列式為零 .證明：設該行列式為 D，交換 D相同的那兩行，由性質(zhì) 4 可得D D,故 D 0.性質(zhì) 6 如若行列式中任有兩行或者兩列元素相互對應成比例，則行列式為 零.證明：設n階行列式中第 i 行的各個元素為第 j 行

14、的對應元素的 k 倍，由性質(zhì) 2，可以把 k提到行列式外，然后相乘 . 則剩下的行列式的第 i行與第 j 行兩行相 同，再由性質(zhì) 5，最后得到行列式為零 .性質(zhì) 7 把任意一行的倍數(shù)加到另一行，行列式的值不改變 .a11 a12ai1ai 2ak1ak 2an1an2a1nainaknann行列式的計算方法幾種特殊行列式的結果三角行列式a11a12a1n0a22a2n00anna1100a21a220an1an2ann對角行列式a11a22 ann （上三角行列式）a11a22 ann （下三角行列式）a11 00 a2200anna11a22ann .定義法a1b1a2b2a3b3a4b4a

15、5b5例 1 用定義法證明c1c20000d1d2000e1e2000證明：行列式的一般項可表成 中取不同的值，故 j3, j4 , j 5三個下標中至少有一個要取 3,4,5中的一個數(shù)，則任意 一項里至少有一個 0 為因子，故任一項必為零，即原行列式的值為零 . 2.3 利用行列式的性質(zhì)計算例 2 一個n階行列式 DnDn 叫做反對稱行列式 ,證明：證明：由 aijaji知 aiia1j1a2j2a3 j3a4 j4a5 j5. 列標 j3,j4, j 5只能在1,2,3,4,5的元素都滿足 aija ji ,i, j 1,2, ,n ， 那么0.aij奇數(shù)階的反對稱行列式的值等于，即 ai

16、i 0,i0aii所以行列式 Dn 可寫為 Dn質(zhì) 2 ， A A 得到Dna12a13a1na120a23a2n1,2,a13a230a3n,na1na2na3n，再由行列式的性0a12a13a1n0a12a13a1na120a23a2na120a23a2na13a230a3na13 a230a3na1na2na3n0a1na2na3n00a12a13a1na120a23a2n1)na13a230a3n( 1)nDn ，a1na2na3n0(DnDn 0.Dn ，因而得到當 n 為奇數(shù)時，得2.4 降階法x0yx0 y0000例3 計算n(n 2)級行列式 d000 xyy000 x解：按第

17、一列展開得到xy000y0000 xy00n1 y ( 1)xy00000 xy00y00000 x(n 1) 階00 xy原式x(n 1)階xn ( 1)(n 1) yn(n 2) .歸納法 形如行列式 叫做 n階范德蒙 ( Vandermonde)行列式 . 下面證明，對每一個 n(n 2)，n 階范德蒙行列式就等于a1,a2, , an這n個數(shù)的所有可能的差 ai aj(1 j i n) 的乘積. 用數(shù)學歸納法證明范德蒙德行列式 我們對 n作歸納法 .11當 n 2 時，a2 a1，結果是對的 .a1 a2設對于 n 1級的范德蒙行列式，結論是成立的，先來看n級的情況 .在中，第 n行減

18、第 n 1行的 a1倍，第 n 1行減第 n 2行的 a1倍，即由下而上逐次地從每一行減它上一行的 a1 倍，得到111a2a3an(a2 a1 )( a3 a1) (an a1)2a22a32 ann2n2n2a2n 2a3n 2ann 2最后面這個行列式是 n 1級范德蒙德行列式， 再由歸納法假設， 它的值就是 ai aj(1 j i n) ；而所有帶有 a1的差即為上式最后等式行列式的前面 .所以， 結論對 n級范德蒙德行列式也是成立的 . 由數(shù)學歸納法，證明了結論 .用連乘號，這個結果可以簡寫為1111a1a2a3anDn2a12a22a32 an(ai aj ).1jin( 2-5-

19、1 )n1n1n1n1a1a2a3an2.6 遞推法給定一個遞推關系式，再給定某一個較低階初始行列式的值，就可遞推求得所給 n 階行列式的值，運用這種方法計算的方法就叫做遞推法。1111a1a2a3an一個典型的例子是范德蒙德行列式. Dn2a122a22a322an2n1a1n 1n1a2n 1n1a3n 1n1ann 1分析：如果第一行全是 1 把第一行變出一排 0 其他位置將會變得不好掌握， 所以通過把第一列變出一排 0 來降階；并且，為了使降階后的行列式仍然具有原 來的形式，不能用第一行的若干倍加到其他各行的辦法，而用逐行變零的方法 .解：同上題，第 n行減第 n 1行的 a1倍，第

20、n 1行減第 n 2行的 a1倍，即由下而上逐次地從每一行減它上一行的 a1 倍，有11110a2a1a3 a1ana1原式02a2a1a22a3 a1a32 ana1an0n1n2n 1 n 2n1n2a2a1a2a3a1a3ana1an(a2a1)(a3 a1)(ana1)Dn 1.其中行列式 Dn 1仍然是同樣形式的但階數(shù)少 1的范德蒙德行列式， 所以可以 按同樣的辦法反復降階 . 從上面的計算知道，這樣的辦法做一次，出現(xiàn)的因式是 第一列后面的每列的字母 a j減去第一列的字母的差之積 . 因此得(a2a1)(a3a1)(ana1)(a3a2)(a4a2)(ana2)(anan 1)所以

21、階范德蒙德行列式為 Dn(ai a j).1jin拆項法 把給定的行列式的某一行或者某一列的元素表述為兩數(shù)之和的形式， 再根據(jù) 行列式的性質(zhì)把原行列式表示為兩行列式的和的方法叫做拆項法. 把一個繁瑣的行列式化簡為兩個簡單的行列式，把問題簡單化以便于計算 .a1a2an1a2an解： Dna1a2 2an+0a2 2ana1a2ann0a2anna1a2an化簡020+ 1Dn 100na1n12a2ann(1n aii 1 i例 4 計算行列式 Da1a1a2a2 2anan用范德蒙德行列式計算例 5 計算 Dn1223212n3n解： Dn 中的各行元素都各自是一個數(shù)不同的方冪，方冪的次數(shù)從

22、左到右依 次遞升，次數(shù)由 1 遞升至 n .提取出每一行的公因數(shù)，那么方冪的次數(shù)就由 0 增 至 n 1 ，得到上等式右端的行列式是 n 階范德蒙德行列式，由（ 2-5-1 ）公式得n!(n 1)!(n 2)! 2!1!下）三角形或者對角形或者階梯形行列式計算的化三角形法 把原有的行列式簡化為上 方法叫做化三角形法。例6x1 mx1x2x2 mx1解：將第 2、x23、xnmn 列的元素都加到第一列上，提出公因式，得nDn (a1d1 b1c1)D n 1原式=i1ni1nxii1m)x2xnm)x2 mxnm)x2xnxixin( xi m)( m)n 1 i1加邊法 加邊法是把原來的行列式

23、加上一行， 一列然后再利用性質(zhì)簡化進行計算的方 法。它的一般做法是：an 1 或 b1 b2bn 1.特殊情況取 a1 a2 讓我們以例 6 為例把第2列，第 3列，第 n1列加到第一列 (m)nnxii1m00 x1m10 x2m01xnm00( m)n(1xmi )i1m1)個行. 那么行列式 D k 級子式和它們的代數(shù)余子式的乘積的和 .2.11 拉普拉斯定理的運用 拉普拉斯定理： 設任意取定行列式 D 中的 k(1 k 就等于這 k 行元素所構成的所有b1例7 計算2n階行列式 Dnan bncn dnc1d1解：由拉普拉斯展開定理，按照第1 行和第 2n 列展開得2(n 1)階的行列

24、式 Dn 1也按同樣方法展開，得Dn (a1d1 b1c1)(a2d2 b2c2 )Dn 2依次類推，得nDn(aidi bici) .i12.12 行列式計算的 Matlab 實驗 除了上述幾種常規(guī)方法， 還可以借助一些數(shù)學軟件進行計算， 它不僅簡便易 操作，而且計算效率高。求解方陣 A 的行列式時可調(diào)用 det(A) .135例 8 求矩陣 A 2 4 2 的行列式. 639用 Matlab 編程 A=1 3 5;2 4 2;6 3 9 det(A)運行后得到結果為 -78.( 見附錄 1)例 9 解方程組用 Matlab 編程 A=1 1 1 1;1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;

25、3 1 2 11 b=4 6 -7 17 x=inv(A)*bx11運行后得到結果為x21(見附錄 2)x31x41Matlab 可以進行符號運算，首先應對數(shù)學式將用到的符號用語句 syms 定 義.ab例 10 求行列式 a b 的值 .cd用 Matlab 編程 syms a b c d A=a b;c d det(A)運行后得到結果為 a*d - b*c. (見附錄 3)行列式的應用行列式應用在解析幾何中根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充要條件這一重要結論， 在中學解析幾何中 直線方程、圓錐曲線方程中可以給出行列式的形式 .例 11 求解過點 1, 4 233743 ，而且焦點在 x 軸上的

26、橢圓方程 .2解：設所求的橢圓方程為2x2a2 y b21，如果點 x1,y1 和 x2,y2 在橢圓上，11把它看成是關于 12 , 12 , 和 1的齊次線性方程組，由于它有非零解，故橢圓 ab方程可寫為2x2 x12 x22y2y12y20，代值得0，2y329910.2 y463162x32991 632y163162x113299解得用行列式表示的三角形面積例 12 在一個平面內(nèi)以三點 P( x1, y1 ), Q(x2,y2), R(x3,y3)為頂點的 PQR的面積 S，是 12的絕對值 .x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1證明：把平面中 P(x1,y1), Q(x2,y

27、2), R(x3, y3 )為三點擴充到三維空間里 , 設 它的坐標分別為 (x1, y1,k),(x2,y2,k),(x3, y3,k), k是任意的常數(shù) . 則：(x3 x1,y3 y1,0)PQ (x2 x1, y2 y1 ,0) , PRPQR 面積為=12 PQ PRx2 x1 y2 y1 x3 x1 y3 y13.3 應用行列式分解因式 利用行列式分解因式主要在于構造， 取公因式.例 13 解因式 x3 x2解： x3 x2 x 2x21再根據(jù)行列式的性質(zhì)來計算， 以便于提(x(x2)(xx 2.x2(x 1) (x2)( 把第一列加到第二列 )2)(xx21)1)提取公因式)3.

28、4 利用行列式解代數(shù)不等式333例 14 求證不等式 a b c abc ，其中 a,b,c R .3證明：要證明333abc3abc ，只需證明 a3 b3 c3 3abc 0;333 abc3abc( 把第二行、第三行各自加到第一行 )因為 a,b,c R ，所以 a3b3333c3 3abc 0，故 a b3 cabc得證.利用行列式來證明拉格朗日中值定理 7證明拉格朗日中值定理時，一般要構建一個輔導函數(shù)，讓它滿足羅爾定理， 于是一般要構建一個輔導函數(shù)，讓它滿足定理中的條件，從而得到結論 . 下面給 出證明.拉格朗日中值定理設函數(shù) f 滿足條件(1) f 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，(2)

29、 f 在開區(qū)間 (a, b)上可導，則在 (a,b)內(nèi)至少存在有一點 ，使得 ： 構建行列式型的輔助函數(shù)來證明a f(a) 1證明：設 (x) b f(b) 1x f(x) 1(x) 在 a,b 上是連續(xù)因 f(x) 在 a,b 上是連續(xù)的，在 (a,b) 內(nèi)是可導的，故的，在 (a,b) 內(nèi)是可導的，且 (a)(b) 0 ，故由羅爾定理得，至少存在有點 (a,b) ，使得af (a)1af(a) 1()bf (b)1=baf (b) f (a) 11f ( )01f(x) 10f ( )f (b) f (a) ba所以行列式在實際中的應用行列式在許多工程上的問題上，特別是在電子工程和控制論，

30、 能用拉普拉斯變換進行分析， 在經(jīng)濟管理和工業(yè)生產(chǎn)中也有著很普遍的應用， 可以根據(jù)行列式 的性質(zhì)來解決一部分工程中的現(xiàn)實的問題 .例 15 現(xiàn)有三塊草地人工飼養(yǎng)羊，草地的草是一樣密集，生長速度也一樣 . 這三塊草地的面積分別為 3 1畝、10畝和 24畝，第一塊草地飼養(yǎng) 12只羊可維持 34 周；第二塊草地飼養(yǎng) 21 只羊可支撐 9 周，問在第三塊草地上應豢養(yǎng)幾只羊恰 巧能支撐 18 周？解： 設每畝草地有草 x kg，每周每畝生長新草 y kg，第三片牧場可飼養(yǎng) z 只 羊，每只羊每周吃草 a kg，由題意，得即可以得到，這是以 x,y,a 為未知數(shù)的齊次線性方程組，由于它有非零解，故 它的

31、系數(shù)行列式10 40 -144D 10 90 -189 04 72 -3z ，展開后得 z 36 ，即可以在第三塊草地飼養(yǎng) 36 只羊維持 18 周.總結行列式從線性方程組的問題引出來，成為線性代數(shù)中一個最基本的工具. 在高深的高等數(shù)學領域里和現(xiàn)實生活里的實際問題當中， 都有著直接或者間接的聯(lián) 系.行列式一般有很多種計算方法， 綜合性要求也很高，比較靈活，這就要求我 們平時在學習當中多練習多總結 . 一般常用來計算行列式的方法主要有降階法， 歸納法， 化三角形法， 范德蒙德行列式等 . 本文先從行列式的定義以及性質(zhì)出發(fā)， 介紹了求解行列式比較基本的方法 . 隨后又介紹了幾種比較常見的有技巧的方 法，如加邊法、降階法、化三角形法等，加深了對行列式的研究. 最后還列舉了用數(shù)學軟件 Matlab 求解行列式的方法，給求行列式帶來了極大的方便 .行列式在數(shù)學科學領域中有著普遍的應用，本文介紹了行列式在解析幾何、 代數(shù)及其他課程中的應用 . 通過這一系列應用進一步提高對行列式的認識