高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算

1、高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算、單選題復(fù)數(shù)2,2cos isin 一55的三角形式是（A.2 ,2 cos5isin 5B.一 3 isin 103cos10C.cos 一 5isin 5D.4 isin54cos52.復(fù)數(shù)都可以表示zz (cosisin ) (02句,其中z為z的模,稱為z的輻角.已z的輻角為（2知復(fù)數(shù)z滿足支）-zB.D.7兀4重合于向量OM且3 .把復(fù)數(shù)zi與z2對(duì)應(yīng)的向量OAOB分別按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)模相等，已知z21 %/3i ,則復(fù)數(shù)乙的代數(shù)式和它的輻角主值分別是（A.應(yīng)應(yīng)，, B. V2 22,4 .復(fù)數(shù)Y3 1i化成三角形式，正確的是（C.2、2i,一

2、4D. 2 .2i-4A. cos-3i sin 一 3B . cos-6isin 62isin 一311 D . cos 611 isin65.設(shè)復(fù)數(shù)乙2sin icos -在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量 0乙，將向量O乙繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)3 3-后得到向量OZ2,4，OZ2對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2 r cos2 tan 12 tan 112 tan 12 tan 12 tan 12 cos i sin 貝(J z1z2332i2 2iisin ,貝U tan12 tan 1)D. 3i答案第1頁，總14頁A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形8.cos6i sin 6cos i sin

3、 33B. -1C.D.9.4 cosi sin2 cos i sin 33A.C.1 ,3iD.1,3i10.4 cos60isin60 3 cos150isin150A.6,3 6iB.6 3 6iC.6.36iD.6/36i1 cos3023.2 3,2. i22isin302 cos60isin60cos45isin 45B.3、. 2 3.2 . i22C.3.2D.3,212.將復(fù)數(shù)1 百 對(duì)應(yīng)的向量ON繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)萬，得到的向量為 ON1，那么ON1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(C.,3 i二、填空題13.設(shè)復(fù)數(shù) z r(cos isin )(r 0,02 ),其中i為虛數(shù)單位，若Z滿

4、足z2 Z 1 0,則tan14.復(fù)數(shù)sin1 icos1的輻角主值是15,復(fù)數(shù)z 4 cos sin i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第3316. 5 cos- 6三、解答題isin x2 cosisin 一417 .把復(fù)數(shù)zi.3 2y對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)- 后，所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為i,求復(fù)答案第2頁，總14頁7. A , B分別是復(fù)數(shù)Z1, Z2在復(fù)平面內(nèi)應(yīng)的點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn) 若 乙18.分別指出下列復(fù)數(shù)的模和輻角的主值，并將復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式.4 (cos isin_)662 (cos isin)333- 2219.已知k是實(shí)數(shù)，是非手受數(shù)，且滿足 arg 一， 11 i 14，(1)求；(2)設(shè)

5、 z cos isin ,0,2 ，若 z 1 夜，求的值.20.已知復(fù)數(shù)z1 2 i,2z2Zii2i 1Zi .(1)求 Z2 ；(2)在 ABC 中,2 Ccos A 2i cos 一2，求u Z2的取值范圍.21. 求證： (cos3 i sin3 )(cos 2 i sin 2 ) cos5 isin522 .若 z C, 4zsin i sin (為實(shí)數(shù))，i為虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)求 z的取值范圍.答案第3頁，總14頁根據(jù)題意，先求出復(fù)數(shù)Z,再結(jié)合 z z（cos isin ）（02兀）,即可求出,（1 i）2 * * 5由 （一）-1 i,得 zz21 i 2i1 i

6、 1 i故z 1 i、,2?學(xué).25 cos兀45isin 一 兀,4參考答案1 . C【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的除法法則求解即可.【詳解】解2J2 cos isin 552 cos0 isin 05所以 -兀.4故選C.B【分析】由題可知 4 cos isin 4455z cos i sin ,即可求出 乙，再根據(jù) 乙對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)即可 33答案第4頁，總14頁得出它的輻角主值【詳解】.5 sin,32 ,221由題可知 zi cos i sin z cos 443則 zi 遮工 i ,3i 1 -Ji 2222221 i 1 i 1 i i22可知Z1對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為J2,婢，則它的輻角主值為

7、 3-.故選：B.【點(diǎn)睛】 TOC o 1-5 h z 本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，屬于基礎(chǔ)題.B【分析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?cos, sin6262所以 “ -i cos i sin 2266故選：B【點(diǎn)睛】 本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)的三角形式，屬于基礎(chǔ)題.A【分析】先把復(fù)數(shù)Z1化為三角形式，再根據(jù)題中的條件求出復(fù)數(shù)Z2 ,利用復(fù)數(shù)相等的條件得到sin和cos 的值，求出tan .因?yàn)椤皊in 2cos2v1 3sin 2,所以 Zi 1 3sin22sin1 3sin2_icos_ 1 3sin2答案第5頁，總14頁設(shè)cos則tan2sin1 3si

8、n 1 2 *cos2sin sincos1 3sin2Z21 3sin cos34isin3-423sin5cos +4. .5 ,isin +4即 r .1 3sin2coscossin.5sin 4tantan.5 sin - 故 tan 45 cos 4cos 1 c，一1 tan 2sin 2 tan 1本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算,較難.解答時(shí)要注意將乙、z2化為三角形式然后再計(jì)算.D根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示，即得答案Z1Z2cos i sin 2 cos isin 6633 TOC o 1-5 h z 3 2 cos - - isin - 26 363 cos i s

9、in 3i22.故選：D .【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法的三角表示，屬于基礎(chǔ)題.B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示，以及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，可得結(jié)果答案第6頁，總14頁根據(jù)復(fù)數(shù)加（減）法的幾何意義及乙z2 乙z2| ,知以O(shè)A,OB為鄰邊所作的平行四邊形的對(duì)角線相等，則此平行四邊形為矩形，故AOB為直角三角形.故選：B【點(diǎn)睛】 TOC o 1-5 h z 本題主要考查復(fù)數(shù)加減的幾何意義，屬基礎(chǔ)題C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則，進(jìn)行整理化簡(jiǎn)即可.【詳解】cos i sin cos i sin 6633cos i sin 6 363cos i sin 22i故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，屬

10、基礎(chǔ)題C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】4(cos i sin )2 cos3i sin32 cos - i sin -33222 cosisin 33故選：C.答案第7頁，總14頁【點(diǎn)睛】本題考查三角形式的除法法則，屬基礎(chǔ)題10. D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則，進(jìn)行整理化簡(jiǎn)即可【詳解】4 cos60 i sin60 3 cos150 isin15012 cos 60150i sin 60 15012 cos210 isin21012i 26 3 6i故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的乘法，屬基礎(chǔ)題C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式乘法的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】i

11、sin 45 cos30 i sin 302 cos60 i sin 603 cos45 TOC o 1-5 h z 1 2 3 cos 306045 isin 30604523 cos135 i sin1352.i 222 3.2 i .22故選：C.【點(diǎn)睛】答案第8頁，總14頁本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則，屬基礎(chǔ)題12. A【分析】 先將復(fù)數(shù)1遍寫成三角形式，再根據(jù)三角形式的運(yùn)算法則求解即可【詳解】 復(fù)數(shù)1 #的三角形式是2 cos- isin，向量ONi對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 TOC o 1-5 h z 33cos sin 一32 cos i sin 3 i66cos i sin 22故選：A【點(diǎn)睛】本

12、題主要考查了復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.13. 而【分析】根據(jù)題意，求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，結(jié)合其三角形式即可求解【詳解】 TOC o 1-5 h z 由 z2z 1 0,得 zl3,即 z 1 i,2422因 z r(cos isin )(r 0,02 ),二所以tan型一 3.cos 12故答案為： 3.,3 14. 1 -2根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角形式即可求解 TOC o 1-5 h z 上33,由 cos1 sin1 , sin 1cos1,22答案第9頁，總14頁得 sinl i cosl cos 1 isin 1 , 22 3因此復(fù)數(shù)sinl i cosl的輻角王值為1 一 .

13、2.3故答案為：1 .一【分析】將復(fù)數(shù)化為z 2 J3i,由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】z 4 cos sin i 2 石i , 33所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 .故答案為：一【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，理解復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題 TOC o 1-5 h z v6 J2 6 J2 i 22【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算求解即可.【詳解】兀5 cosisin x2 cosisin 10 cos i sin 6644646“c 626.2.10i5 .6256、2 i22,故答案為：.6 、2 62 i22本題主要考查了復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題117.2根據(jù)向量的

14、旋轉(zhuǎn)，利用復(fù)數(shù)的乘法，化簡(jiǎn)即可求解答案第10頁，總14頁【詳解】復(fù)數(shù)zi 對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2可得(zi+ -)(cos 23一 2 isin -3-.3)m+萬)(-后，33.一 i) ，23(zi+ T2i1 Vi22所以zi=解得18. (1)答案見解析；(2)答案見解析.【分析】(1)復(fù)數(shù)4(cos- isin;：)為復(fù)數(shù)的三角形式，再寫出其模和輻角的主值，然后再轉(zhuǎn)化為 66a bi a, bR的形式;(2)先把復(fù)數(shù)2 cos isin ,轉(zhuǎn)化為三角形式3355cos i sin 33,再寫出其模和輻角的主值，然后再轉(zhuǎn)化為 a bi a,b R的形式;(1)復(fù)數(shù) 4(cos-

15、isin-)模 r = 4, 66輻角的主值為4(cos isin ) 4cos 6664isin 一 6 2 cos i sin 233cos 2i sin復(fù)數(shù)的模為2,輻角的主值為e= 532 cos 3i sin 一 32cos 32i sin 319. (1)i (2)(1)根據(jù)輻角，設(shè)出復(fù)數(shù),再根據(jù)等量關(guān)系待定系數(shù)即可;(2)由(1)中所求復(fù)數(shù)代入(2)中的模長計(jì)算公式，即可化簡(jiǎn)求得答案第11頁，總14頁，、3(1) arg ,可設(shè) a ai a R ,22將其代入11 i 1k,化簡(jiǎn)可得 2a 2a 1 a i 2i ka kai,2a ka2a 1 a 2ka，解得(2) z c

16、os 1sin z | 1 J2 , .3 272 cos-1 度,化簡(jiǎn)得cos1.424即.4【點(diǎn)睛】 本題考查復(fù)數(shù)的三角形式的化簡(jiǎn)和計(jì)算，屬綜合基礎(chǔ)題2520. (1) z2i (2)，【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可(2)由條件得u Z2 cosA i cosC , u 4 2 cos2 A cos2C化成基本型，利用三角函數(shù) 的知識(shí)求出范圍.【詳解】(1)因?yàn)閦. 2 i,2z2 2 i i 所以72 23 i J cos7Sin 了F_z2 2i 12 i i 1答案第12頁，總14頁 cos sin2c .因?yàn)?u Z2 cos A 2i cos - i cosA i co

17、sC TOC o 1-5 h z 2，211 cos2A 1 cos2C所以u(píng) Z2-cos(2C -) 1 - -1-cos2 A cos2C22 一因?yàn)锽不，所以A C 所以A干C , 33341.cos2C2-3 sin 2c cos(2C -)23所以 cos2A cos2C cos(-2C) cos2Ccos2c 衛(wèi) sin 2c cos2C221即 u Z2cos(2C ) 1因?yàn)镃0,2-，所以2c 33所以 cos(2C 3)12151，2 ，所以 u z22,4所以u(píng) Z2的取值范圍為.252，-2-【點(diǎn)睛】三角函數(shù)有關(guān)的范圍問題，一般要先將函數(shù)化為基本型，然后利用三角函數(shù)的

18、圖象及其性質(zhì)求解.證明見解析.【分析】利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則，模相乘、輻角相加，即可得到證明【詳解】(cos3 isin3 )(cos2 i sin 2 )cos( 3 ) isin( 3 )cos( 2 ) i sin( 2 )cos( 5 ) isin( 5 ) cos5i sin5 .【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算、誘導(dǎo)公式，考查對(duì)概念的理解與應(yīng)用，考查基本運(yùn)算求解能力. (1) z 與，(2) 0,2 .【分析】答案第13頁，總14頁(1)設(shè)z a bi a,b R ,根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得出關(guān)于實(shí)數(shù)a、b的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)，即可得出復(fù)數(shù) z的值;(2)利用復(fù)數(shù)的模長公式以及輔助角公式得出2sin-,利用