高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第九篇解析幾何第7講拋物線

1、第 7 講 拋物線【20XX 年高考會(huì)這樣考】1考查拋物線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程2考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題3與向量學(xué)問交匯考查拋物線的定義、方程、性質(zhì)等【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】嫻熟把握拋物線的定義及四種不同的標(biāo)準(zhǔn)形式,會(huì)依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程爭論得出幾何性質(zhì)及會(huì)由幾何性質(zhì)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；把握代數(shù)學(xué)問,平面幾何學(xué)問在解析幾何中的作用基礎(chǔ)梳理1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線 ll 不過 F的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn) F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線 l 叫做拋物線的準(zhǔn)線其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF |d其中 d 為點(diǎn) M 到準(zhǔn)線的距離 2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)y 22pxy 2 2pxx 2 2py

2、x2 2pyp0 p0p0p0方程p 的幾何意義：焦點(diǎn)F 到準(zhǔn)線 l 的距離圖形頂點(diǎn)F p 2,0y0 F p 2,0O0,0 F 0,p 2x0 F 0,p 2對(duì)稱軸焦點(diǎn)離心xp 2xp 2e1 yp 2yp 2率準(zhǔn)線方程范疇x0,yRx0,yRy0,xRy 0,xR開口向右向左向上向下方向焦半|PF |PF|PF |PF|徑x0p 2x0p 2y0p 2y0p 2一個(gè)結(jié)論焦半徑：拋物線y 22pxp0上一點(diǎn) Px0, y0到焦點(diǎn) F2,0 的距離 |PF |x0p 2. 兩種方法1定義法：依據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)滿意的幾何特點(diǎn),從而確定 2待定系數(shù)法：依據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再確定參數(shù)p 的值,得到

3、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程p 的值,這里要留意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式從簡潔化角度動(dòng)身,焦點(diǎn)在x 軸的,設(shè)為y2axa 0,焦點(diǎn)在 y 軸的,設(shè)為x2byb 0雙基自測1人教 A 版教材習(xí)題改編拋物線 y 2 8x 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 A 1 B2 C4 D8 解析由 2p8 得 p4,即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4. 答案C 22022 金華模擬 已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是0, 3,就拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是A x 2 12y Bx 212yC y 2 12x Dy 212x解析 p23, p6, x 2 12y. 答案 A 32022 陜西 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程x 2,就拋物線的方程是A y 2 8x B

4、y 2 4x Cy 28x Dy 24x解析 由準(zhǔn)線方程 x 2,頂點(diǎn)在原點(diǎn),可得兩條信息：該拋物線焦點(diǎn)為 F2,0；該拋物線的焦準(zhǔn)距 p4.故所求拋物線方程為 y 28x. 答案 C 42022 西安月考 設(shè)拋物線 y 28x 上一點(diǎn) P 到 y 軸的距離是 4,就點(diǎn) P 到該拋物線焦點(diǎn)的距離是 A 4 B6 C8 D12 解析 據(jù)已知拋物線方程可得其準(zhǔn)線方程為 x 2,又由點(diǎn) P 到 y 軸的距離為 4,可得點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) xP4,由拋物線定義可知點(diǎn) P 到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離,即 |PF|xPp xP2426. 2答案 B 52022 長春模擬 拋物線 y 28x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

5、 _解析拋物線方程為 y 28x, 2p 8,即 p4.焦點(diǎn)坐標(biāo)為 2,0答案 2,0 考向一 拋物線的定義及其應(yīng)用【例 1】.2022遼寧 已知 F 是拋物線 y 2x 的焦點(diǎn), A,B 是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF |BF |3,就線段AB 的中點(diǎn)到 y 軸的距離為 AB 的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即可A.3B1 5 C. 4D.744審題視點(diǎn) 由拋物線定義將|AF| |BF|轉(zhuǎn)化為線段解析設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,作 AA1l 于 A1,BB1l 于 B1,由拋物線的定義知|AA1|BB1|AF|BF|3,就 AB的中點(diǎn)到y(tǒng) 軸的距離為1 2|AA 1|BB1|1 45 4. 焦答案C 涉及拋物線上的點(diǎn)

6、到焦點(diǎn)準(zhǔn)線 的距離問題,可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線點(diǎn)的距離問題求解【訓(xùn)練 1】 2022濟(jì)南模擬 已知點(diǎn) P 是拋物線 y 22x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),就點(diǎn) P 到點(diǎn) 0,2的距離與點(diǎn) P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 A. 2 17B3 C. 5 D.9 2解析 由拋物線的定義知,點(diǎn) P 到該拋物線的距離等于點(diǎn) P 到其焦點(diǎn)的距離,因此點(diǎn) P 到點(diǎn) 0,2的距離與點(diǎn) P 到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和即為點(diǎn) P 到點(diǎn) 0,2的距離與點(diǎn) P 到焦點(diǎn)的距離之和,明顯, 當(dāng) P、F、0,2三點(diǎn)共線時(shí),距離之和取得最小值,最小值等于 01 2 2 20 22 . 17答案 A 考向二 拋物線

7、的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)【例 2】 .12022 南京模擬 以原點(diǎn)為頂點(diǎn),坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,并且經(jīng)過 P2, 4的拋物線方程為_22022浙江 設(shè)拋物線 y 22pxp0的焦點(diǎn)為 F,點(diǎn) A0,2如線段 FA 的中點(diǎn) B 在拋物線上,就 B 到該拋物線準(zhǔn)線的距離為 _審題視點(diǎn) 1 為求拋物線的方程問題,用待定系數(shù)法求解,依據(jù)題設(shè)條件,按焦點(diǎn)所在位置的可能情形,分類爭論2抓住 FA 的中點(diǎn) B 在拋物線上,求出 p. 解析 1由于點(diǎn) P 在第三象限當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸負(fù)半軸上時(shí),設(shè)方程為 y 2 2pxp0,把點(diǎn) P2, 4代入得： 4 2 2p 2,解得 p4,拋物線方程為 y 2 8x. 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸

8、負(fù)半軸上時(shí),設(shè)方程為 x 2 2pyp0,把點(diǎn) P2, 4代入得： 2 2 2p 4解得 p1 2.拋物線方程為 x 2 y. 綜上可知拋物線方程為 y 2 8x 或 x 2 y. 2拋物線的焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 p2,0 ,就線段 FA 的中點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 p4,1 ,代入拋物線方程得 12pp 4,解得 p2,故點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 4,1 ,故點(diǎn) B 到該拋物線準(zhǔn)線的距離為 242 23 4 . 2答案 1y 2 8x 或 x 2 y 23 4 2求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是判定焦點(diǎn)位置,開口方向,在方程的類型已經(jīng)確定的前提下,由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p,只需一個(gè)條件就可

9、以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【訓(xùn)練 2】 已知 F 為拋物線 x 22pyp0的焦點(diǎn), M 為其上一點(diǎn), 且|MF |2p,就直線 MF 的斜率為 3 3A3 B3 C3 D 3 解析 依題意,得 F 0,2,準(zhǔn)線為 y p 2,過點(diǎn) M 作 MN 垂直于準(zhǔn)線于 N,過 F 作 FQ 垂直于 MN 于 Q,就|MN |MF |2p,|MQ |p,故 MFQ 30,即直線 MF 的傾斜角為150 或 30,斜率為3 3或3 3 . 22的直線交拋物線于Ax1,y1,Bx2,答案B 考向三拋物線的綜合應(yīng)用【例 3】.2022江西 已知過拋物線y22pxp0的焦點(diǎn),斜率為y2x1x2兩點(diǎn),且 |AB|9.

10、 1求該拋物線的方程；2O 為坐標(biāo)原點(diǎn), C 為拋物線上一點(diǎn),如OC OA OB ,求 的值審題視點(diǎn) 1 聯(lián)立方程,利用焦點(diǎn)弦公式求解；2先求出 A、 B 坐標(biāo),利用關(guān)系式表示出點(diǎn)C 坐標(biāo),再利用點(diǎn) C 在拋物線上求解解 1 直線 AB 的方程是 y 2 2 xp 2,與 y22px 聯(lián)立,從而有4x25pxp 20,所以 x1x25p 4,由拋物線定義得：|AB|x1x2p9,所以 p4,從而拋物線方程是y28x. 2由 p4,4x 2 5pxp20 可簡化為 x25x 40,從而 x11,x24,y1 2 2,y24 2,從而 A1, 22,B4,42；222,設(shè)OC x3,y31, 2

11、24,4241,4又 y2 38x3,即 22212841,即21241,解得 0,或 2. 此題綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、平面對(duì)量學(xué)問,以及數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想其中直線與圓錐曲線的相交問題一般是聯(lián)立方程,設(shè)而不求,借助根的判別 式及根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化【訓(xùn)練 3】 設(shè)拋物線 C： y 24x,F 為 C 的焦點(diǎn),過1設(shè) L 的斜率為 1,求 |AB|的大??；2求證： OA OB 是一個(gè)定值1解 F1,0,直線 L 的方程為 yx1,F 的直線 L 與 C 相交于 A、B 兩點(diǎn)設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2,由yx1,得 x26x10,y 24xx1x2

12、6, x1x2 1. |AB|x2x1 2 y2y1 22x1x2 24x1x22364 8. 2證明 設(shè)直線 L 的方程為 xky1,由xky1,得 y24ky4 0. y24xy1y24k,y1y2 4,OA x1,y1,OB x2,y2OA OB x1x2y1y2ky11ky2 1y1y2k 2y1y2 ky1 y21y1y2 4k 2 4k 214 3. OA OB 是一個(gè)定值閱卷報(bào)告 14忽視“ 判別式” 致誤【問題診斷】由于 “ 判別式 ” 是判定直線與圓錐曲線是否有公共點(diǎn)的重要方法,在解決直線與圓錐曲線相交的問題時(shí),有時(shí)不需要考慮判定式,致使有的考生思維定勢的緣由,任何情形下都沒

13、有考慮判別式,導(dǎo)致解題錯(cuò)誤 . 【防范措施】解題后任何情形下都來檢驗(yàn)判別式 . 【示例 】.2022福建 已知拋物線 C：y 2 2pxp0過點(diǎn) A1, 21求拋物線 C 的方程,并求其準(zhǔn)線方程；2是否存在平行于 OAO 為坐標(biāo)原點(diǎn) 的直線 l,使得直線 l 與拋物線 C 有公共點(diǎn),且直線 OA 與 l 的距離等于 5？如存在,求出直線 5 l 的方程；如不存在,說明理由實(shí)錄 1將點(diǎn) A1, 2代入 y 22px,得 p2,故所求拋物線 C 的方程為 y 24x,其準(zhǔn)線方程為 x 1. 錯(cuò)因 遺漏判別式的應(yīng)用2假設(shè)存在直線 l,設(shè) l ：y 2xt,由直線 OA 與 l 的距離 d5,5得|t

14、|1,解得 t1. 5 5故符合題意的直線 l 存在,其方程為 2xy1 0 或 2xy1 0. 正解 1將1, 2代入 y 22px,得 2 22p1,所以 p2. 故所求的拋物線C 的方程為 y 24x,其準(zhǔn)線方程為x 1. F1、2假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y 2xt,由y 2xt,得 y22y2t0. y24x,由于直線l 與拋物線 C 有公共點(diǎn),所以 48t0,解得 t1 2. 另一方面,由直線OA 與 l 的距離 d5 5,可得|t|15 5,解得 t1. 由于 1. 1 2, 1 1 2,所以符合題意的直線l 存在,其方程為2xy10. 【試一試】2022杭州模擬 在直角

15、坐標(biāo)系2 2xOy 中,橢圓 C1：x a 2y b 21ab0的左、右焦點(diǎn)分別為F2,F2也是拋物線C2：y2 4x 的焦點(diǎn),點(diǎn)M 為 C1 與 C2 在第一象限的交點(diǎn),且|MF 2|5 3. 1求 C1的方程；2平面上的點(diǎn)N 滿意 MN MF 1 MF 2 ,直線 l MN,且與 C1交于 A、B 兩點(diǎn),如 OAOB 0,求直線 l 的方程嘗試解答 1 由 C2：y 24x,知 F 21,0,設(shè) Mx1,y1,M 在 C2 上,由于 |MF 2|3,所以 x115 3,得 x12 3,y12 6 3 . 所以 M 2 3,2 3 6 . M 在 C1上,且橢圓 C1 的半焦距 c1,于是 9a 4 28 3b 21,b 2a 21,消去 b2并整理得 9a437a240. 解得 a2 a1 3不合題意,舍去. O,故 b2413. MF 1NF 2 是平行四邊形,其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)2 2故橢圓 C1 的方程為x 4y 31. 2由MF 1 MF 2 MN ,知四邊形由于 l MN,所以 l 與 OM 的斜率相同2 6故 l 的斜率 k36. 23設(shè) l 的方程為 y6xm