人教九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)(小結(jié))教學(xué)設(shè)計(jì)

2018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案授課目的:·知識與技術(shù)：1、使學(xué)生會把實(shí)責(zé)問題轉(zhuǎn)變成解直角三角形問題，進(jìn)而會把實(shí)責(zé)問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問題來解決；2、漸漸培養(yǎng)學(xué)生解析問題、解決問題的能力；3、浸透數(shù)學(xué)本源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的見解，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識．·過程與方法：在研究用銳角三角函數(shù)解決實(shí)責(zé)問題的過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)分類的思想有條理地思慮、解析、表達(dá)、解決問題的能力，漸漸培養(yǎng)學(xué)生解析問題、解決問題的能力。·感神態(tài)度與價值：激勵學(xué)生敢于實(shí)踐，勇于發(fā)現(xiàn)，英勇研究，合作創(chuàng)新的精神；領(lǐng)悟數(shù)學(xué)在生活中的作用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教材解析：認(rèn)知基礎(chǔ)：作為初中數(shù)學(xué)解直角三角形的知識在航海、航空、測量等等各領(lǐng)域的運(yùn)用是特別廣泛的，而有的學(xué)生在解決此類應(yīng)用問題時，解答書寫過程繁瑣、凌亂、甚至錯誤，既浪費(fèi)時間又不用然能獲得理想的解答?；顒咏?jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：解直角三角形的知識在航海、航空、測量、修路、筑壩建房、機(jī)械加工等領(lǐng)域，甚至在我們的平常生活中運(yùn)用也特別廣泛，其應(yīng)用價值和重要性是不言而喻的。因此在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，也要特地談到對解直角三角形應(yīng)用問題的要求，其內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)是：“使學(xué)生會運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形在有關(guān)的簡單的實(shí)責(zé)問題”，因此在整個初中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容系統(tǒng)中占有重要的一席之地，也正由于如1/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案此，在全國各地多年的中考試題中，幾乎都少不了直角三角形應(yīng)用問題的題型。授課重點(diǎn)：要修業(yè)生善于將某些實(shí)責(zé)問題中的數(shù)量關(guān)系，歸納為直角三角形元素之間的關(guān)系，進(jìn)而利用所學(xué)知識把實(shí)責(zé)問題解決．授課難點(diǎn)：實(shí)責(zé)問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型．授課過程：知識回顧：在解答解直角三角形應(yīng)用題型時，我們已經(jīng)掌握解直角三角形必備的基本知識及其互相間的關(guān)系：1）三邊之間的關(guān)系：勾股定理2）兩銳角之間的關(guān)系：兩銳角互余3）邊角之間的關(guān)系：銳角三角函數(shù)我們知道在解直角三角形有關(guān)的應(yīng)用題時，有的題只要在一個直角三角形中即可解決問題，這類情況可把它叫做“單直角三角形問題”。解“單直角三角形問題”只要我們具備上述的知識及關(guān)系，基本能夠解決問題了。而有的情況需要兩個直角三角形互相配合才能決問題，這類情況可把它叫做“雙直角三角形問題”。解決這類問題，我們除具備上述的知識及關(guān)系外，還需要擁有必然的觀察、解析及轉(zhuǎn)變問題的能力，再掌握一些在解題過程中總結(jié)出來的卓有收效的模式才能迅速解決問題。本節(jié)課，我們把“雙直角三角形問題”分成幾種題型來進(jìn)行談?wù)摗?/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案活動一：第一種題型：“一點(diǎn)兩角一線段”，此種題型又可分為兩種情況：第1種情況：對應(yīng)圖形的特點(diǎn)是：兩直角三角形有“一已知的公共邊”，“已知兩角”有一“公供極點(diǎn)”，“公供極點(diǎn)”在“已知公共邊”的“同一端點(diǎn)”處，“已知兩角”分別在“已知公共邊”的“兩側(cè)”，這“一已知公共邊‘垂直于’所求線段”。故形象地稱這類題型為“一點(diǎn)兩角一線段”題例1（人教版九年級下冊28.2解直角三角形第89頁，例4）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30o，看這棟離樓底部的俯角為60o，熱氣球與高樓的水平距離為120m.這棟高樓有多高(結(jié)果精確到0.1m)?解析：在中，，m因此能夠利用解直角三角形的知識求出BD；近似地能夠在Rt△ACD中求出CD，進(jìn)而求出BC.幾何法：解：如圖,在△ABD和△ACD中，,m3/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案∴BDADtan120tan30012034033∴CDADtan120tan60012031203答:這棟樓高約為277.1m.代數(shù)法：若是設(shè)所求線段BC=xm，AD=L，∠BAD=α、CAD=β，那么把它們代入上面的解答過程求解，可歸納成一個比較簡短簡要的公式模型：xL(tantan)運(yùn)用公式①進(jìn)行代數(shù)法解答以下：解：設(shè)所求線段00BC=Xm，L=AD=120m，α=∠BAD=30，β=∠CAD=60，由題意得方程：xL(tantan)x120(tan300tan600)答：這棟樓高約為顯然，代數(shù)解法簡化了好多。活動二：第2種情況：對應(yīng)圖形的特點(diǎn)是：兩直角三角形有“一已知的公4/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案共邊”，“已知兩角”有一“公供極點(diǎn)”，“公供極點(diǎn)”在“已知公共邊”的“同一端點(diǎn)”處，“已知兩角”分別在“已知公共邊”的“兩側(cè)”，這“一已知公共邊‘垂直’于所求線段”。故這類題型也形象地稱為“一點(diǎn)兩角一線段”題。例2、（人教版九年級下冊28.2解直角三角形，第93頁練習(xí)第1題）如圖，建筑物BC上有一旗桿,由距40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為50o，觀察旗桿底部B的仰角為45o，求旗桿的高度（精確到）。0解析：在Rt△ADC中，DC=40m,∠ADC=50，因此能夠利用解直角三角形的知識求出AC;近似地能夠在Rt△BDC中求出BC，進(jìn)而求出AB.幾何法：A解：如圖,在Rt△ADC中和Rt△BDC中

BADC=500，∠BDC=450，DC=40mDjCtanADCAC,tanBDCBCDCDC·tan500≈40×1.198＝47.67；BC=DC·tan450=40×1=40AC=DC∴≈答:旗桿高約為7.7m.代數(shù)法：5/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案若是設(shè)所求線段AB=xm，DC=L，∠ADC=α、∠BDC=β，那么把它們代入按上面的解答過程求解，可歸納成一個比較簡短簡要的公式模型：xL(tantan)②（注意：只要括號內(nèi)是大角的正切值減去小角的正切值，便能夠保證結(jié)果是正當(dāng)）。運(yùn)用公式②進(jìn)行代數(shù)法解答以下：00，解：設(shè)AB=xm，L=DC=40m，α=∠ADC=50β=∠BDC=45由題意得方程xL(tantan)x40(tan500tan450)答:旗桿高約為7.7m。顯然，代數(shù)解法簡化了好多。活動三：第二種題型“兩點(diǎn)兩角一線段”。對應(yīng)圖形的特點(diǎn)是：兩直角三角形有“一已知的公共線段”，“已知兩角的極點(diǎn)”分別在“已知公線段的兩端點(diǎn)”處，“已知兩角”分別在“已知公共線段”所在直線的“同側(cè)”，這“一已知的公共線段”的延長線“垂直”于所求線段。故形象地稱這類題型為“兩點(diǎn)兩角一線段”題。例3、如圖，已知：在塔前的平川上選擇一點(diǎn)A，測出這點(diǎn)看塔頂6/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案0的仰角∠DAC=35，在A點(diǎn)和塔之間的水平線AC上，選擇一點(diǎn)B，測這0點(diǎn)看塔頂?shù)难鼋恰螪BC=50，AB=20m.求塔DC的高度。幾何法：0解：由題意得∠DCB=∠DCA=900在Rt△BCD中，∵∠DBC=50DCDC∴BCtan500tanDBC

DjCAB0在Rt△ACD中，∵∠DAC=35，DC=AC·tan∠DAC=（AB+BC）·tan∠DAC=AB·tan∠DAC+BC·ta∠DAC20×tan350+BC×tan350把BCDC0代入進(jìn)行計(jì)算：tan50DCDC=20×tan350+tan500×tan350DCtan500=20×tan350×tan500+DC·tan350DC·tan500-DC·tan350=20×tan350×tan500DC·（tan500-tan350）=20×tan350×tan50020tan350tan50014.29(m)DCtan350tan500答：塔高約為14.29m.代數(shù)法：若是設(shè)所求線段DC=xm，∠DAC=β，∠DBC=α，AB=L，那么把它們代入，按上面的解答過程求解，可歸納成一個比較簡短簡要的公式模型：7/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案Ltantanx③tantan（注意：分母只若是大角的正切值減去小角的正切值，就能保證結(jié)果是正當(dāng)）。運(yùn)用公式③進(jìn)行代數(shù)法解答以下：00解：設(shè)DC=Xm，β=∠DAC=35，α=∠DBC=50，L=AB=20m，由題意可得方程：x

Ltantantantan20tan350tan500答：塔高約為27.16m.xtan35027.16(m)tan500課后小結(jié)：三個公式的運(yùn)用價值的解析思慮與談?wù)摚?、三個公式完好合用于吻合“雙直角三角形問題”的“一點(diǎn)兩角一線段”、“兩點(diǎn)兩角一線段”等題的已知條件及圖形特點(diǎn)的題型，是擁有很強(qiáng)的代表性的，可作為解決擁有此類應(yīng)用問題題型的公式模型。故其合用價值是高的。2、用三個公式進(jìn)行代數(shù)解答，不會失去幾何解答的合理性和科學(xué)性。3、為了正確運(yùn)用、深刻理解和記憶這三個公式，可引導(dǎo)學(xué)生親自著手參加推導(dǎo)，并指出在運(yùn)用公式時，要注意要嚴(yán)格確定題型的已知條件和圖形特點(diǎn)可否已經(jīng)吻合公式要求，只有這樣才能正確高效地使用公式。三個公式中的三角函數(shù)值都是正切值。公式①、②針對的8/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案是“一點(diǎn)兩角一線段”的題型，一點(diǎn)在指什么、在哪里？兩角是指什么、在哪里？一線段又是指什么、在哪里？為什么是一加一減？圖形有什么不相同或相同點(diǎn)？相減時分母中的大角的正切值應(yīng)在什么地址時才不會出現(xiàn)負(fù)數(shù)？公式③針對的是“兩點(diǎn)兩角一線段”的題型，兩點(diǎn)在指什么、在哪里？兩角是指什么？在哪里？一線段又是指什么、在哪里？適合公式①②的題對應(yīng)的圖形，直觀上看，正由于兩角在已知公供線段的異側(cè)，或兩角在已知公供線段的同側(cè)才形成了所求線段是由兩條線段相加或相減所得，故公式中間用加號或減號，因此兩公式可合起來記憶，可是中間是一加一減。適合公式③的題型與適合公式①、②的是不相同的，就圖形而言最根本的差異是：兩已知角的極點(diǎn)可否在已知線段的同一端點(diǎn)，已知線段是直接垂直所求線段還是其延長線垂直于所求線段。且公式③是一分式。公式①、②都是多項(xiàng)式。學(xué)生練習(xí)：1、如圖，上午10點(diǎn)整，不明漁輪在小島上哨所A的南偏西30°方向的O處，不明漁輪正以每小時10海里的速度向O點(diǎn)的正東方向行駛，哨所A距離正東方向的OB直線8海里，漁輪至B處時，從哨所A上的測得B點(diǎn)在哨所向南偏東60°方向．那么漁輪到達(dá)正東方向B點(diǎn)時是什么時間？(精確到1分)．解析說明：此題的圖形可看作是由公式①的原圖形經(jīng)過順時針旋轉(zhuǎn)900所得，可過A點(diǎn)作AD⊥OB于D，9/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案這樣，觀察圖形知：一點(diǎn)是A，兩已知角是∠OAD，∠BAD，已知一線段是AD，兩角的極點(diǎn)都在已知一線段AD的同一瑞點(diǎn)A地方求線段是OB同。從圖形特點(diǎn)和已知條件解析，可發(fā)現(xiàn)它仍就是“一點(diǎn)兩角一線段”第1種情況的題型特點(diǎn)，可是圖形的地址發(fā)生了變動，自然以可用公式①求解。2、如圖，小蕓在自家樓房的窗戶A處，測量樓前的一棵樹CD的高.現(xiàn)測得樹頂C處的俯角為450，樹底D處的俯角為60°，樓底到大樹的距離BD為20米.請你幫助小蕓計(jì)算樹的高度（精確到米）．（2009年云南省中考題，第17題，分值8分。此題與人教版九年級下冊28.2解直角三角形，第101頁，復(fù)習(xí)題28綜合運(yùn)用第8題幾乎相同，可是把其中的數(shù)值改變了一下）A4560°先看幾何法解答：解：過點(diǎn)A作AE∥BD交DC的延長線于點(diǎn)E，

CBD則∠AEC=∠BDC=90°．∵EAC45，AEBD20，∴ECAE20．···················3分4560°∵tanADBtanEADAB，CBD∴AB20tan60203，········6分DB10/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案CDEDECABEC2032014.6（米）．答：樹高約為米．·····························8分解析說明：此題的圖形可看作是由公式②的原圖形以已知線段AE所在的直線為對稱軸翻轉(zhuǎn)1800所得。延長CD交過A點(diǎn)的平行線AE于E點(diǎn)，∠AED=900，經(jīng)過增加軒輔助線后，觀察一點(diǎn)是A點(diǎn)，已知兩角∠DAE=600、∠C=450，的極點(diǎn)都在已知線段AE（AE=BD）的同一端點(diǎn)A，已知線段是AE=BD=20米。從圖形特點(diǎn)和已知條件解析，可發(fā)現(xiàn)它就是“一點(diǎn)兩角一線段第2情況”的題型，可是圖形的地址發(fā)生了變動，故可用公式②求解。若是從代數(shù)法解答的角度思慮，過點(diǎn)A作AE∥BD，AE交DC的延長線于點(diǎn)E，設(shè)DC=X米，∠α=∠DAE=600，∠β=∠CAE=300，L=BD=AE=20米，代入公式②得方程：xL(tantan),很快即可出CD的長度。3、上午10時，我軍駐某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上有一艘敵軍艦艇正從C處向海島駛來，當(dāng)時的俯角，經(jīng)過5分鐘后，艦艇到達(dá)D處，測得俯角。已知觀察所A距水面高度為80米，我軍武器射程為100米，現(xiàn)在必定迅速計(jì)算出艦艇何時駛?cè)胛臆娖髁ι涑讨畠?nèi)，以便及時還擊。解析說明：此題的圖形可看作是由公式②的原圖形經(jīng)過圖形必然的圖形變換所得。要計(jì)算出艦艇何時駛?cè)胛臆娖髁ι涑虄?nèi)，就是要求敵艦11/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案艇恰巧進(jìn)入我軍器力100米射程的時辰，求時間就得知道行程和速度，求艦艇的速度時，可先求出行程CD的長，爾后用已知C處到A處的時間是5分鐘，進(jìn)而可求得艦艇的速度，接著可求艦艇10：05分從D處至BD方向100米處的時間，最后求得敵艦艇恰巧進(jìn)入我軍器力100米射程的時辰。在求解的過程中，求線段CD的長時，從圖形特點(diǎn)和已知條件解析看，它就是“一點(diǎn)兩角一線段”的題型，一點(diǎn)是A點(diǎn)，可是圖形的地址發(fā)生了變動，兩角為∠CAB=900-α，∠DAB=900-β，此兩角可經(jīng)過兩個俯角的值及互余關(guān)系求得，因此仍可用公式②求解。即CD=AB（tan∠CAB-tan∠DAB）=80·［tan（900-α）-tan（900-β）］。4、如圖1，一枚運(yùn)載火箭從地面O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時，從地面C處的雷達(dá)站測得仰角是43．1s后，火箭到B達(dá)B點(diǎn)，此時測得仰角為，OC的距離是A米，解答以下問題：OC（1）火箭到達(dá)B點(diǎn)時距離發(fā)射點(diǎn)有多遠(yuǎn)（精確到圖1）？2）火箭從A點(diǎn)到B點(diǎn)的平均速度是多少（精確到）？（人教版九年級下冊，28.2解直角三角形，第97頁，習(xí)題28.2，第題與此題幾乎近似）解析說明：第（1）問，只要在單Rt△OBC中，利用已知的邊角關(guān)系并可求出BC長。而第（2）問中求火箭從A點(diǎn)到B點(diǎn)的平均速度是多少，就是要先求出AB的長，進(jìn)而求出火箭的平均速度。從圖形特12/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案點(diǎn)和已知條件解析，求AB的長它，就是“一點(diǎn)兩角一線段”的題型，可是圖形的地址發(fā)生了變動，可用公式②求解。5、（人教版九年級下冊，28.2解直角三角形，第99頁數(shù)學(xué)活動2測量塔高）如圖（1）在塔前的平川址選擇一點(diǎn)A，用活動1中制作的測角儀測出你看塔頂?shù)难鼋铅粒?）在A點(diǎn)和塔之間選擇一點(diǎn)B，測出你由B點(diǎn)看塔頂?shù)难鼋铅拢?）量出A、B兩點(diǎn)的距離；4）計(jì)算塔的高度．解析說明：此題的求解從圖形特點(diǎn)和已知條件解析，它就是“兩點(diǎn)兩角一線段”的題型個，可用公式③Ltantanxtan,X的值再加上人的高度即可得塔的高度tan可是把分母中的小角α和大角β的值互相調(diào)換，保證結(jié)果為正當(dāng)。很快即可得塔的高度。6、（人教版九年級下冊28.2解直角三角形第95頁練習(xí)題第1題）如圖6-32，海島A的周圍8海里內(nèi)有暗礁，魚船追蹤魚群由西向東航行，在點(diǎn)B處測得海島A位于北偏東600，航行12海里到達(dá)點(diǎn)C處，又測得海島A位于北偏東30°，若是魚船不改變航向連續(xù)向東航行．有沒有觸礁的危險？解析說明：有沒有觸礁的危險，重點(diǎn)是看海島A到直線BC的距離，有沒有13/162018年最新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章2銳角三角函數(shù)（小結(jié)）授課方案小于8海里，小于8海里就有可能觸礁，反之就不可以能觸礁。因此必定過A點(diǎn)作BC的垂線段AD，垂足為D，這樣即可得適合“兩點(diǎn)兩角一線段”的題型圖形，從圖形特點(diǎn)和已知條件解析，∠ABD、ACD值都可由兩個已知的方向角求得，故可用公式