第二章條件概率與統(tǒng)計獨立性課件

第二章作業(yè)題第二章作業(yè)題第二章條件概率與統(tǒng)計獨立性§2.1條件概率，全概率公式，貝葉斯公式第二章條件概率與統(tǒng)計獨立性§2.1條件概率，全概率公式，問題的提出：

1)10張彩票有3張中彩，10個人摸彩.

問：第1個人中彩的概率為多少？第2個人中彩的概率為多少？

2)10張彩票有3張中彩，10個人摸彩.

問：已知第l個人沒摸中，第2個人中彩的概率為多少？一、條件概率問題的提出：一、條件概率

定義

設(shè)(Ω,F,P)

是一個概率空間，事件A、B屬于F，若P(B)>0，則稱P(A|B)=P(AB)/P(B)

為在B

出現(xiàn)的條件下，A出現(xiàn)的條件概率.(conditionalprobability)條件概率的定義定義條件概率的定義例：在肝癌普查中發(fā)現(xiàn)，某地區(qū)的自然人群中，每十萬人平均有40人患原發(fā)性肝癌，有34人甲胎球蛋白高含量，有32人既患原發(fā)性肝癌又出現(xiàn)甲胎球蛋白高含量，從這個地區(qū)的居民中任抽一人，用A表示他患原發(fā)性肝癌，用B表示他甲胎球蛋白高含量,已知P(A)=0.0004,P(B)=0.00034,P(AB)=0.00032,由條件概率定義可得P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.00032/0.0004=0.8,P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.00032/0.00034=0.9412.例：在肝癌普查中發(fā)現(xiàn)，某地區(qū)的自然人群中，每十萬人平均有4條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.由此得：

P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；

若A與B互不相容，則P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).條件概率是概率條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.條件概率是概率P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.注意點注意點(1)

設(shè)P(B)＞0，且AB，則下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,

則P(B)=().課堂練習(xí)(1)設(shè)P(B)＞0，且AB，則下列必然成立的是(乘法公式;全概率公式；貝葉斯公式.條件概率的三大公式條件概率的三大公式(1)若

P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，則

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)

乘法公式(1)若P(B)>0，則P(AB)=P解:

罐中有b個是黑球,r個是紅球.每次從罐中任取一球,觀其顏色后放回,并再放入同顏色的小球c個，放入異色球d個.若A={第一,第三次取到紅球,第二次取到黑球}.求:P(A).設(shè)Bi={第i次取到黑球},i=1,2,3,則:伯利亞罐模型解:罐中有b個是黑球,r個是紅球.每次從罐中任取一若事件A1,A2,

······,An····是樣本空間的一組分割，即，兩兩不交，且P(Ai)>0，則二、

全概率公式若事件A1,A2,······,An····是樣本空例：送檢的兩批燈管在運輸中各打碎一支。若每批十支，而且第一批中有1支次品，第二批中有2支次品。現(xiàn)從剩下的燈管中任取一支，問抽得次品（記為B）的概率是多少？解法一：用A表示從剩下的燈管中任取一支出自第一批解法二：用A1，A2,A3,A4分別表示兩批燈管所打碎的燈管情況是（次，次），（次，正），（正，次），（正，正）例：送檢的兩批燈管在運輸中各打碎一支。若每批十支，而且第一批例、某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%，35%，這四條流水線的次品率分別為0.05,0.04,0.03,0.02.出廠產(chǎn)品是這四條流水線產(chǎn)品的均勻混合?，F(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，試求該件產(chǎn)品為次品的概率。解：設(shè)B為“任取一件為次品”Ai為“任取一件為第i條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品”，i=1,2,3,4例、某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知四條流水線的產(chǎn)量分要調(diào)查“敏感性”問題中某種比例p；兩個問題：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考試作弊？拋硬幣回答A或B.答題紙上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”問題.敏感性問題的調(diào)查要調(diào)查“敏感性”問題中某種比例p；敏感性問題的調(diào)查在較復(fù)雜情況下直接計算P(B)不易,但B總是伴隨著某個Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Ai往往可以簡化計算.“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和.它的理論和實用意義在于:在較復(fù)雜情況下直接計算P(B)不易,但B總是伴隨著某個Ai出由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.A1A2A3A4A5A6A7A8B諸Ai是原因B是結(jié)果由此可以形象地把全概率公式看成為A1A2A3A全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率.使用全概率公式關(guān)鍵在于尋找另一組事件來“分割”樣本空間.全概率公式最簡單的形式：注意點全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率.注意點乘法公式是求“幾個事件同時發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果”，求“原因”的概率.三

貝葉斯公式三貝葉斯公式

某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%，35%，這四條流水線的次品率分別為0.05,0.04,0.03,0.02.出廠產(chǎn)品是這四條流水線產(chǎn)品的均勻混合?，F(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，試求該件次品為第一條流水線產(chǎn)品的概率。由結(jié)果找原因貝葉斯公式引例某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知四條流水線的產(chǎn)若事件A1,A2,

······,An是樣本空間的一組分割，且P(B)>0,P(Ai)>0，則貝葉斯（Bayes）公式

托馬斯·貝葉斯(ThomasBayes，1702-1761)

若事件A1,A2,······,An是樣本空間的一

例8

某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗結(jié)果是陽性}，求P(C|A).例8某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計算得:

P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?

1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計算得如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率

P(C)=0.005

患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為P(C｜A)=0.1066說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率患者陽性反應(yīng)的概率是02.檢出陽性是否一定患有癌癥?

試驗結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個人中大約只有107人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認(rèn).

2.檢出陽性是否一定患有癌癥?

貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的先驗概率和后驗概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識.當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的認(rèn)識.貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分

口袋中有一只球，不知它是黑的還是白的?，F(xiàn)再往口袋中放入一只白球，然后從口袋中任意取出一只，發(fā)現(xiàn)是白球。試問口袋中原來的那只球是白球的可能性多大？課堂練習(xí)2/3口袋中有一只球，不知它是黑的還是白的。現(xiàn)再往口袋中放§2.2事件獨立性§2.2事件獨立性一、兩個事件的獨立性

事件的獨立性

直觀說法：對于兩事件，若其中任何一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生，則這兩事件是獨立的.P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B)一、兩個事件的獨立性事件的獨立性例

袋中有5個白球，3個黑球，隨機取球兩次，（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣，設(shè)A為“第一次取到白球”；B為第二次取到白球”；問A與B是否獨立？例袋中有5個白球，3個黑球，隨機取球兩次，注意區(qū)別：“A與B相互獨立”VS“A與B互不相容”例，從一副52張撲克牌中任取一張，A=取到為黑桃，B=取到為K試問A與B是否相互獨立？結(jié)論：若P(A)>0,P(B)>0則“A與B相互獨立”與“A與B互不相容”不能同時成立注意區(qū)別：“A與B相互獨立”VS例，從一副52張撲克牌中任取二

多個事件的獨立性對于A、B、C三個事件，稱滿足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

為A、B、C兩兩獨立.稱滿足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

為A、B、C三三獨立.定義

若事件A1,A2,……,An滿足：兩兩獨立、三三獨立、……、n

n獨立則稱A1,A2,……,An

相互獨立.二多個事件的獨立性對于A、B、C三個事件，稱滿足：性質(zhì):(1)若事件

A1,A2,…,An相互獨立，則其中任意k(2≤k≤n)個事件也相互獨立。

(2)若A1,A2,…,An(n≥2)相互獨立，則將其中任意多個事件換成各自的對立事件，所得n個事件仍相互獨立。第二章條件概率與統(tǒng)計獨立性課件

若A、B、C相互獨立，則AB與C獨立,AB與C獨立,AB與C獨立.一些結(jié)論若A、B、C相互獨立，則一些結(jié)論例、若干人獨立地,向一游動目標(biāo)射擊,每人擊中目標(biāo)的概率都是0.6.求:至少需要多少人,才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)?

解：設(shè)至少需要n個人,才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo).

令A(yù)={目標(biāo)被擊中},Ai={第i人擊中目標(biāo)},(i=1,2,…,n).

則A1,A2,…,An相互獨立.于是事件:例、若干人獨立地,向一游動目標(biāo)射擊,每人擊中目標(biāo)的例、有2n個相同元件獨立工作，他們的連接方式有兩種方案：先串聯(lián)后并聯(lián)、先并聯(lián)后串聯(lián)。設(shè)每個元件正常工作的概率都是r，問哪一種連接方式更加可靠？12n112221nnn例、有2n個相同元件獨立工作，他們的連接方式有兩種方案：先串四、

試驗的獨立性定義、設(shè)有兩個實驗E1和E2，假如試驗E1的任一結(jié)果與試驗E2的任一結(jié)果都是相互獨立的事件，則稱這兩個試驗是相互獨立的。**重復(fù)獨立試驗四、試驗的獨立性定義、設(shè)有兩個實驗E1和E2，假如試驗E§2.3伯努利試驗與直線上的隨機游動§2.3伯努利試驗與直線上的隨機游動一、

伯努利概型伯努利試驗：只有兩種可能結(jié)果的試驗取事件域為并假設(shè)n重伯努利試驗：把伯努利試驗獨立地重復(fù)n次即：每次試驗只可能出現(xiàn)A和兩種結(jié)果之一；且A在每次試驗中出現(xiàn)的概率p保持不變。一、伯努利概型伯努利試驗：只有兩種可能結(jié)果的試驗取事件域二、

伯努利概型中的一些分布1、

伯努利分布只進(jìn)行一次伯努利試驗產(chǎn)生的分布2、

二項分布n重伯努利試驗中，A出現(xiàn)k次的概率記為b(k;n,p)n=1時，二項分布既是伯努利分布二、伯努利概型中的一些分布1、伯努利分布只進(jìn)行一次伯

試驗次數(shù)為n=4,“A”即取得合格品,A的概率為p=0.8,

所以,b(2;4,0.8)=

例：一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,

每次一件,則取得合格品件數(shù)是2的概率是？試驗次數(shù)為n=4,“A”即取得合格品,A的概率為3、

幾何分布伯努利試驗中，A首次出現(xiàn)在第k次試驗的概率記為g(k;p),則g(k;p)也表示等待A出現(xiàn)共等了k次的概率例：一個人要開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把能開門，他每次隨機地選取一把鑰匙開門，這人在第s次試開時才首次成功的概率是多少？3、幾何分布伯努利試驗中，A首次出現(xiàn)在第k次試驗的概率4、

巴斯卡分布伯努利試驗中，A第r次出現(xiàn)在第k次試驗的概率記為f(k;r,p),則r=1時,巴斯卡分布既是幾何分布例：數(shù)學(xué)家的左右口袋各放有一盒裝有N根火柴的火柴盒，每次抽煙時任取一盒用一根，求發(fā)現(xiàn)一盒用光時，另一盒有r根的概率？4、巴斯卡分布伯努利試驗中，A第r次出現(xiàn)在第k次試驗的三、

直線上的隨機游動（略）四、

推廣的伯努利試驗與多項分布

若每次試驗有r

種結(jié)果：A1,A2,……,Ar記P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r在n

次獨立重復(fù)試驗中Ai

出現(xiàn)ni次的概率為三、直線上的隨機游動（略）四、推廣的伯努利試驗與例：人類的血型分為O,A,B,AB四型，假定某地區(qū)的居民中這四種血型的人的百分比分別為0.4，0.3，0.25，0.05，若從此地區(qū)居民中隨機地選出5人，求有兩個為O型，其他三個分別是A,B,AB型的概率？例：人類的血型分為O,A,B,AB四型，假定某地區(qū)的居民中這§2.4二項分布與泊松分布§2.4二項分布與泊松分布一、

二項分布的性質(zhì)及計算例、某出租車公司有400輛出租車，設(shè)每天每輛車正常工作的概率為0.98，試求一天內(nèi)至少有2輛出租車出現(xiàn)故障的概率？解、用X表示該公司一天出現(xiàn)故障的車輛數(shù)，則一、二項分布的性質(zhì)及計算例、某出租車公司有400輛出租車kP(X=k)00.01210.05820.13730.20540.218