固體電子輸運理論課件

7.1外場下Bloch電子運動的半經(jīng)典模型

7.2Boltzmann方程

7.3外場和碰撞作用

7.4馳豫時間的統(tǒng)計理論

7.5電-聲子相互作用

7.6金屬電導率電阻率

7.8磁輸運性質(zhì)霍爾效應磁電阻效應

7.9熱輸運性質(zhì)熱電效應熱導率熱電勢7.1外場下Bloch電子運動的半經(jīng)典模型1對外電場、磁場采用經(jīng)典方式處理半經(jīng)典含義對晶格周期場采用能帶論量子力學方式處理模型每個電子具有確定的位置r、波矢k

和能帶指標n

建立模型描述r、k

和n

隨時間的變化規(guī)律能帶指標電子的速度波矢隨時間的變化(1)電子總呆在同一能帶中(2)忽略不同帶間的躍遷§7.1Bloch電子運動的半經(jīng)典模型對外電場、磁場采用經(jīng)典方式處理半經(jīng)典含義對晶格周期場采用能帶2Bloch電子的運動方程對晶格周期場的量子力學處理全部概括在函數(shù)中能帶結構輸運性質(zhì)半經(jīng)典模型使能帶結構與輸運性質(zhì)即電子對外場的響應相聯(lián)系輸運性質(zhì)能帶結構同基于理論得到的能帶結構進行比較從而驗證能帶結構的理論基礎的正確與否提供了從能帶結構推斷出電子輸運性質(zhì)的理論基礎基于輸運性質(zhì)的測量結果推斷出電子的能帶結構Bloch電子的運動方程對晶格周期場的量子力學處理全部概3§7.2Boltzmann方程對固體中電子輸運性質(zhì)的了解，除載流子受到的散射或碰撞外，需要知道外場作用下載流子的運動規(guī)律以及外場和碰撞同時作用對載流子輸運性質(zhì)的影響。外場下載流子運動規(guī)律可基于半經(jīng)典模型現(xiàn)在要解決的是如何考慮碰撞以及碰撞和外場同時作用對載流子運動規(guī)律的影響？引入分布函數(shù)，并將這些影響歸結到對分布函數(shù)的影響定義對于單位體積樣品，t時刻、第n個能帶中，在（r,k）處相空間體積內(nèi)的電子數(shù)為：每一個電子對電流密度的貢獻為n通常不標出，因為考慮的是同一帶中的電子所以總電流密度為碰撞以及碰撞和外場同時作用對f的影響？§7.2Boltzmann方程對固體中電子輸運性質(zhì)的了解，4在熱平衡情況下，即溫度均勻且沒有外場作用，電子系統(tǒng)的分布函數(shù)為費米分布函數(shù)與位置無關。有外場/溫度不均勻時，電子將偏離熱平衡，相應的分布函數(shù)點范圍內(nèi)如何隨時間變化呢？在熱平衡情況下，即溫度均勻且沒有外場作用，電子系統(tǒng)的分布函數(shù)5t時刻（r,k）處的電子由于碰撞的存在，dt時間內(nèi)從（r-dr,k-dk）處出發(fā)的電子并不都能到達（r,k）處，另一方面，t時刻（r,k）處的電子也并非都來自t-dt時刻（r-dr,k-dk）處漂移來的電子，因此有：若將因碰撞引起的f變化寫成則有必來自t-dt時刻（r-dr,k-dk）處漂移來的電子若沒有碰撞，則有t時刻（r,k）處的電子由于碰撞的存在，dt時間內(nèi)從（r6玻爾茲曼方程右邊第一項展開，保留到dt的線性項，有對于穩(wěn)態(tài)玻爾茲曼方程右邊第一項展開，保留到dt的線性項，有對于穩(wěn)態(tài)7Boltzmann方程決定于體系的能帶結構與外場有關因此，Boltzmann方程將能帶結構、外場作用以及碰撞作用通過引入分布函數(shù)而相聯(lián)系，成為研究固體電子輸運性質(zhì)的理論基礎半經(jīng)典模型Boltzmann方程決定于體系的能帶結構與外場有關因此，B8§7.3外場和碰撞作用(1)溫度場溫度梯度的存在引起不均勻的分布函數(shù)通常假定非平衡的穩(wěn)態(tài)分布相對于平衡分布偏離甚少(2)電場忽略掉溫度梯度對f1的影響§7.3外場和碰撞作用(1)溫度場溫度梯度的存在引起不均勻9(1)溫度場(2)電場(3)磁場(3)磁場(1)溫度場(2)電場(3)磁場(3)磁場10玻爾茲曼方程最復雜的是碰撞項的處理，為了方便，可以做一些簡化。假設沒有外場，也沒有溫度梯度，那么如果電子的分布函數(shù)偏離了平衡值，系統(tǒng)必須以碰撞機制來恢復平衡態(tài)的分布。(4)碰撞負號源于偏離隨時間的增加而減小。方程的解：該方程說明：由于碰撞作用，系統(tǒng)將以時間常數(shù)弛豫回到平衡分布。一般可以用弛豫時間來描述這個恢復過程：玻爾茲曼方程最復雜的是碰撞項的處理，為了方便，可以做一些簡化11溫度場、電場、磁場及碰撞作用同時存在下的Boltzmann方程溫度場電場磁場碰撞(4)碰撞(1)溫度場(2)電場(3)磁場得到代入溫度場、電場、磁場及碰撞作用同時存在下的Boltzmann方12§7.4固體電阻率在沒有溫度場、磁場的情況下，僅有電場時的Boltzmann方程為泰勒定理：因此，該式相當于上述泰勒展開式的一級近似借助分布函數(shù)電流密度可表示為由于平衡分布對電流沒有貢獻相當于同時注意到§7.4.1直流電導率§7.4固體電阻率在沒有溫度場、磁場的情況下，僅有電場時13說明：在電場作用下，分布函數(shù)相當于平衡分布函數(shù)沿著外場相反的方向剛性移動了或者說，在k空間中，外加電場引起費米球剛性平移了注意到說明：在電場作用下，分布函數(shù)相當于平衡分布函數(shù)沿著外場相反的14知道了分布函數(shù)就可以很方便的求出電流密度，只需對分布函數(shù)在相空間求積分：代入知道了分布函數(shù)就可以很方便的求出電流密度，只需對分布函數(shù)在相15兩個等能面之間的距離為dk面元為ds體積元為由于：而：考慮K空間的兩個等能面兩個等能面之間的距離為dk體積元為由于：而：考慮K空間的兩16由于只在費米面附近才不為零，即所以積分只需考慮在費米面附近進行考慮一個立方體晶體，外場方向沿著Ox方向，電流沿著Ox所以立方體晶體的電導率由于只在費米面附近才不為零，17利用對稱性以及關系利用得到得到和在自由電子氣模型中得到的結果形式上相同，不同之處有兩點，一是電子的質(zhì)量為有效質(zhì)量，二是馳豫時間為費米面上電子的馳豫時間。利用對稱性以及關系利用得到得到和在自由電子氣模型中得到的結果18剩余電阻率聲子散射有關的電阻率電子－電子相互作用有關的電阻率磁散射有關的電阻率導體在多種散射機制存在下，總的散射幾率是：總散射馳豫時間電阻率源于傳導電子的散射，固體因缺陷、雜質(zhì)、晶格振動、庫侖作用等，往往存在著多種散射機制Pi代表第i種機制單位時間內(nèi)的散射幾率意味著總電阻率是不同散射機制引起的電阻率之和雜質(zhì)、缺陷等散射電子－聲子相互作用電子－電子相互作用磁散射導體電阻率至少包含四個部分馬西森(Matthiessen)定則剩余電阻率聲子散射有關的電阻率電子－電子相互作用有關的電阻率19當溫度不為零時，離子實會在平衡位置附近發(fā)生小的振動，使得電子勢變成

晶體中共有化運動的電子是在和晶格具有相同周期的勢場中運動：對理想完整的晶體，絕對零度時離子實處在嚴格周期排列的位置在這樣的周期場中運動的電子，其狀態(tài)是由確定能量和確定波矢的Bloch波所描述的穩(wěn)定態(tài)，這種穩(wěn)定態(tài)不會發(fā)生變化。明顯地，周期勢場因晶格振動而被破壞，附加的偏離周期性勢場離子實對平衡位置的偏離

§7.4.2電-聲子相互作用當溫度不為零時，離子實會在平衡位置附近發(fā)生小的振動，使得電子20可看作為微擾，它使得電子從一個穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)，即出現(xiàn)散射

假設偏離很小，則有

為簡單起見，只考慮簡單格子，此時僅有聲學支

將波矢q、頻率的簡正模引起的原子位移寫成實數(shù)形式

為振動方向上的單位矢量

可看作為微擾，它使得電子從一個穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)，即出現(xiàn)21這是量子力學中典型的含時周期性微擾問題在這樣的微擾下，電子從k態(tài)躍遷到k’態(tài)的幾率為函數(shù)保證了躍遷過程中能量是守恒的，即這是量子力學中典型的含時周期性微擾問題在這樣的微擾下，電子從22離子實偏離平衡位置的運動組成晶體中的格波，格波的能量是量子化的。格波的量子稱為聲子

因此晶格振動對電子的散射實際上就是聲子對電子的散射。晶格運動對電子的散射過程相當于電子通過吸收（+）或發(fā)射聲子（-），從一個穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)的過程。量子力學語言吸收聲子發(fā)射聲子離子實偏離平衡位置的運動組成晶體中的格波，格波的能量是量子化23散射矩陣元由于晶格平移對稱性，求和部分僅僅當波矢之和為倒格矢方不為零，由此給出晶格動量守恒關系，即散射矩陣元由于晶格平移對稱性，求和部分僅僅當波矢之和為倒格矢24能量守恒關系動量守恒關系正常過程或N過程此時說明電子在初態(tài)k吸收（+）或發(fā)射（-）一個波矢為q的聲子躍遷到末態(tài)k‘的過程能量和動量均是守恒的。吸收聲子發(fā)射聲子能量守恒關系動量守恒關系正常過程或N過程此時說明電子在初態(tài)k25倒逆過程或U過程此時說明電子在初態(tài)k吸收（+）或發(fā)射（-）一個波矢為q的聲子躍遷到末態(tài)k‘的過程能量是守恒的，但動量并不守恒?！?.4.3馳豫時間碰撞項該方程說明：由于碰撞作用，系統(tǒng)將以時間常數(shù)弛豫回到平衡分布。另外一方面，碰撞項也可以表示為：代表單位時間內(nèi)因碰撞進入（r，k）處相空間單位體積中的電子數(shù)代表單位時間內(nèi)因碰撞離開（r，k）處相空間單位體積中的電子數(shù)倒逆過程或U過程此時說明電子在初態(tài)k吸收（+）或發(fā)射（-）一26若電子從k態(tài)躍遷到k’態(tài)的幾率為wk,k’，計及泡利不相容原理，則有同理有因此可以論證則有若電子從k態(tài)躍遷到k’態(tài)的幾率為wk,k’，計及泡利不相容原27在外加電場下對球形費米面如取電場方向為k方向，則有為k和k’之間的夾角寫成積分形式在外加電場下對球形費米面如取電場方向為k方向，則有為k和k28§7.4.4聲子散射有關的電阻率隨溫度的變化故電阻率不僅與躍遷幾率有關，還涉及（1-cos）的權重因子很明顯小角度的散射對產(chǎn)生電阻幾乎沒有貢獻，起重要作用的則是大角度散射，它使電子沿電場方向的速度有大的改變。由前面得分析看到，電子和格波的一個簡正模（即一個聲子）相互作用導致電子從k態(tài)到k’態(tài)的躍遷，其躍遷幾率正比于該格波振幅的平方對所描述的格波模晶格中每個原子的振動動能§7.4.4聲子散射有關的電阻率隨溫度的變化故電阻率不僅與29對時間平均后得到N個原子總的振動動能為可見，振幅的平方與相應格波模的能量相聯(lián)系，用聲子語言，則是比例于相應的聲子數(shù)頻率為的格波的聲子數(shù)按德拜模型，總的聲子數(shù)為對時間平均后得到N個原子總的振動動能為可見，振幅的平方與相應30高溫低溫同時，高溫下涉及的聲子波矢較大，(1-cos)與溫度幾乎無關，因此，電阻率正比于溫度，即另外一方面，低溫下涉及的聲子波矢小，需要考慮(1-cos)因子的影響布洛赫-格林艾森T5定律高溫低溫同時，高溫下涉及的聲子波矢較大，(1-cos)與溫31更一般情況下電子受聲子的散射引起的電阻率為：A為材料有關的常數(shù)，M原子質(zhì)量，D為德拜溫度高溫低溫意味著高溫時，因電－聲子相互作用引起的電阻率隨溫度降低而線性減小意味著低溫時，因電－聲子相互作用引起的電阻率按T5關系隨溫度降低而減少稱為布洛赫-格林艾森公式更一般情況下電子受聲子的散射引起的電阻率為：A為材料有關的常32§7.4.5極化子(polarons)

有關的電阻率電－聲子相互作用最通常的效應表現(xiàn)在電阻率對溫度的依賴關系上，電子被聲子所散射，溫度越高，存在的聲子就越多，散射也就愈加頻繁，因此，電阻率隨溫度升高而增加。電－聲子相互作用一個更為微妙的效應是在金屬和絕緣體中由于電子依附離子實而隨之運動，使得電子有效質(zhì)量增大。電子以及與之相伴隨的晶格應變場的組合統(tǒng)稱為極化子電－聲子相互作用極化子的形成以離子晶體為例說明一個極化子的形成過程§7.4.5極化子(polarons)有關的電阻率電－聲33KCl形成彈性點陣

由于K離子帶正電，如果傳導電子出現(xiàn)在K離子附近意味著，在彈性點陣情況下，K或Cl離子會因為同傳導電子之間的庫侖力作用而發(fā)生位移，即所謂的晶格應變同樣由于Cl離子帶負電，當傳導電子經(jīng)過時，傳導電子和Cl離子之間的庫侖排斥力作用使得Cl離子遠離傳導電子彈性點陣則傳導電子和K離子之間的庫侖吸引力作用，使得K離子向傳導電子靠近KCl形成彈性點陣由于K離子帶正電，如果傳導電子出現(xiàn)在K離34電子加上與之聯(lián)系的應變場稱為一個極化子離子的位移增大了電子的有效慣性，因此也就增大了它的有效質(zhì)量，從而使得傳導電子的運動速度變緩。在極端情況下，傳導電子自陷于應變場中，或者說傳導電子被因晶格畸變而產(chǎn)生的應變場所捕獲，成為束縛態(tài)電子?，F(xiàn)在所關心的是，電子如何從一個束縛態(tài)過渡到另一個束縛態(tài)電子加上與之聯(lián)系的應變場稱為一個極化子離子的位移增大了電子的35極化子有關的電阻率高溫下，傳導電子借助于熱激活機理可以從一個束縛態(tài)過渡到另一個束縛態(tài)高溫無外場時勢能曲線傳導電子越過勢壘向左和向右的幾率勢一樣的極化子有關的電阻率高溫下，傳導電子借助于熱激活機理可以從一個36傳導電子右端勢壘高度由原來的E0下降至而傳導左端勢壘高度增至外場的作用使勢壘不再對稱因此，傳導越過勢壘向右的凈幾率為而電阻率在弱場或高溫下傳導電子右端勢壘高度由原來的E0下降至而傳導左端勢壘高度增至37低溫低溫下傳導電子借助隧穿機理而緩慢地通過晶體

三十年多前，基于極化子隧穿機理提出極化子輸運理論按照該理論，低溫（kT<2tp）下電阻率I.G.LangandYu.AFirsov,Sov.Phys.JEPT16,1301(1963)其中tP是極化子跳躍積分，a為晶格常數(shù)，為馳豫率光學聲子模的平均頻率，A為常數(shù)，取決于裸帶寬和電－聲子耦合強度

低溫下只有低頻模式才對電阻率有貢獻，而高頻模式可忽略不考慮，因此，

其中s為軟光學模式的平均頻率，C為正比于極化子有效質(zhì)量的常數(shù)

低溫低溫下傳導電子借助隧穿機理而緩慢地通過晶體三十年多前，38§7.4.6電子-電子相互吸引作用的簡單模型1950年弗烈里希(Frolich)指出：電子-聲子相互作用能把兩個電子耦合在一起，這種耦合就好像兩個電子之間有相互作用一樣為了明確其物理圖像，弗烈里希給出如下一個物理模型整齊排列的理想點陣中的兩個電子當?shù)谝粋€電子通過晶格時，電子與離子點陣的庫侖作用使晶格畸變當?shù)诙€電子通過畸變的晶格時，受到畸變場作用，畸變場吸引這第二個電子如果我們忘記第一個電子對晶格造成畸變的過程，而只看最后結果，將是第一個電子吸引第二個電子§7.4.6電子-電子相互吸引作用的簡單模型1950年弗烈39固體電子輸運理論課件40§7.5磁場中電子的運動磁場中電子運動的基本方程1、自由電子的準經(jīng)典運動

自由電子的能量§7.5磁場中電子的運動磁場中電子運動的基本方程1、自由41回轉頻率可見k空間電子在面上做圓周運動回轉頻率可見k空間電子在面上42實空間電子的運動對時間求導實空間電子的運動對時間求導43可見在(x,y)平面做勻速圓周運動回轉頻率可見在(x,y)平面做勻速圓周運動回轉頻率442、自由電子情況的量子理論

無磁場時自由電子哈密頓算符為整數(shù)N個電子基態(tài)從能量最低k=0態(tài)開始，按能量由低到高依次填充，最后得到一個費米球。電子的本征能量2、自由電子情況的量子理論無磁場時自由電子哈密頓算符為整數(shù)45磁場中電子的動量包含兩部分運動動量勢動量（場動量）因此磁場中電子的哈密頓算符外加磁場，假設磁場沿z軸，則可取矢勢因此，磁場中運動的電子滿足的薛定鄂方程為磁場中電子的動量包含兩部分運動動量勢動量（場動量）因此磁場中46令代入得到應滿足的方程令顯然，這是簡諧振子的薛定鄂方程令代入得到應滿足的方程令顯然，這是簡諧振子的薛定鄂方程47諧振子波函數(shù)諧振子的能量而電子波函數(shù)電子的能量諧振子波函數(shù)諧振子的能量而電子波函數(shù)電子的能量48電子波函數(shù)電子的能量這些量子化的能級稱為朗道能級表明：沿磁場方向（z方向）電子保持自由運動，相應的動能為在垂直磁場的(x,y)平面上，電子運動是量子化的，從準連續(xù)的能量變成電子波函數(shù)電子的能量這些量子化的能級稱為朗道能級表明：沿磁場49在垂直于磁場方向上，無磁場時的動能按量子化，簡并到Landua能級上這樣在k空間中，許可態(tài)的代表點將簡并到Landua管上，其截面為Landau環(huán)，如圖。在垂直于磁場方向上，無磁場時的動能按量子化，簡并到Landu503、晶體中電子的情況

晶體中電子在磁場中的運動時，其哈密頓算符處理思路：將周期性勢場的影響概括為有效質(zhì)量的變化

——有效質(zhì)量近似方法哈密頓量采用有效質(zhì)量近似后，晶體中的電子可視為“自由電子”，正是此電子的質(zhì)量是有效質(zhì)量m*3、晶體中電子的情況晶體中電子在磁場中的運動時，其哈密頓算51回轉頻率磁場下晶體中電子的波函數(shù)能量本征值在垂直于磁場方向上，無磁場時的動能按量子化，簡并到Landua能級上回轉頻率磁場下晶體中電子的波函數(shù)能量本征值在垂直于磁場方向上524、回旋共振晶體中電子在磁場中運動，采用有效質(zhì)量近似后，電子做螺旋運動，回轉頻率在垂直于磁場的方向施加一個交變電場，當電子將吸收交變電場的能量電子發(fā)生共振吸收，稱為回旋共振電子吸收電場的能量，電子實現(xiàn)了從一個朗道能級躍遷到更高能量的朗道能級上，通過測量回旋共振頻率，可以確定電子的有效質(zhì)量半導體材料中能帶底和能帶頂附近，電子的有效質(zhì)量不同，具有不同的回旋共振頻率4、回旋共振晶體中電子在磁場中運動，采用有效質(zhì)量近似后，電子53§7.6磁輸運性質(zhì)§7.6.1Boltzmann方程及解一般情況下Boltzmann方程若沒有溫度梯度，只有磁場和電場作用，則§7.6磁輸運性質(zhì)§7.6.1Boltzmann方程及54代入到代入到55類似于在電場下的討論，我們得到電場和磁場同時存在時的電流密度為若寫成形式則有類似于在電場下的討論，我們得到電場和磁場同時存在時的電流密度56§7.6.2Hall電阻與歐姆電阻假定磁場沿z軸，電流在垂直于z軸的平面上，如圖?！?.6.2Hall電阻與歐姆電阻假定磁場沿z軸，電流在57Hall電阻率與磁場無關！正比于磁場Hall電阻率與磁場無關！正比于磁場58§7.6.3磁電阻效應定義磁場引起的電阻變化，稱之為磁電阻效應從推導中看到，與磁場無關的量，意味著之所以得出磁電阻為零的結論，主要是因為：費米面為球形對電流貢獻的電子來自于同一能帶中只有費米面附近、速度等于費米速度的電子才參與導電，它們感受到同樣的洛倫玆力，雖然這種洛倫玆力作用下電子軌道會發(fā)生偏轉，但恰好為霍爾場的作用所抵消，結果相當于磁場并不存在?！?.6.3磁電阻效應定義磁場引起的電阻變化，稱之為磁電59費米面并非嚴格球形實際情況是所有的金屬均表現(xiàn)出不為零的磁電阻效應原因參與導電的電子并非僅僅來自單一能帶因此電子速度、有效質(zhì)量與方向和能量有關，僅部分電子的運動滿足洛倫玆力與霍爾場力的平衡，其余電子的軌跡發(fā)生了變化。假設參與導電的電子來自兩個各向同性的能帶兩帶模型這樣就有兩組不同有效質(zhì)量和不同速度的載流子總電流Ji、i和Di分別為第i帶的電流密度、電導率和D矢量由于這一原因，磁電阻測量常常成為研究費米面形狀的最有效實驗手段費米面并非嚴格球形實際情況是所有的金屬均表現(xiàn)出不為零的磁電阻60畫出矢量圖由此解出畫出矢量圖由此解出61考慮磁場沿z軸電場在xy平面令Jy=0，則從第二式可得到Hall電場Ey將Ey代入第一式則得到Jx

與Ex的關系：磁場下的電導率則有考慮磁場沿z軸令Jy=0，則從第二式可得到Hall電場Ey將62任意場強時公式很復雜，現(xiàn)在考慮低磁場情況。所謂低場是相對而言的，即滿足：

磁電導

低場下

磁電阻

所以在兩帶模型下我們得到磁電阻為任意場強時公式很復雜，現(xiàn)在考慮低磁場情況。所謂低場是相對而言63討論在兩帶模型中，參與對輸運貢獻的電子來源于兩個不同的各向同性的能帶，在這種情況下，我們得到意味著磁場引起電阻的增大，其起因是由于洛倫玆力的存在引起電子的運動軌跡發(fā)生了變化為了和通常講到的與自旋有關的磁電阻效應進行區(qū)別，通常稱洛倫玆力有關的磁電阻效應為正常磁電阻效應。討論在兩帶模型中，參與對輸運貢獻的電子來源于兩個不同的各向同64由于由于MR僅為的函數(shù)，而由科勒定則看到，相同的磁場下，零場下電阻率越小，則磁電阻越明顯，而金屬電阻隨溫度降低而變小，因此，研究這一磁電阻行為的實驗最好是在低溫下進行。而因此MR僅僅是的函數(shù)，即Kohler’sruleF函數(shù)的行為僅依賴于材料的本性由于由于MR僅為的函數(shù)，而由科勒定則看到，相同的磁場下，65§7.7熱輸運性質(zhì)§7.7.1熱電效應一般情況下Boltzmann方程若不加磁場該項不考慮溫度梯度引起分布不均勻現(xiàn)在考慮除電場外還存在溫度梯度的情況然后我們很容易得到與溫度梯度有關的部分，即上述方程中的第一項為上述方程第二項可寫為§7.7熱輸運性質(zhì)§7.7.1熱電效應一般情況下Bo66將上面提到的兩部分代入到Bolzmann方程并經(jīng)過整理后，我們得到在電場和溫度梯度存在時的Boltzmann方程為由此可得f1可計算出電流密度化學勢梯度的作用與外場等價，實際測量中測得的電場已包括這一效應。因此，當把電場強度理解為觀察值時該項可去掉。

僅有溫度梯度時，也可產(chǎn)生電流，這一效應稱為熱電效應代入將上面提到的兩部分代入到Bolzmann方程并經(jīng)過整理后，我67電場作用下產(chǎn)生電流溫度場作用下也可產(chǎn)生電流(熱電效應)溫度梯度更重要的作用是產(chǎn)生熱流，處在k態(tài)的電子所攜帶的熱量為，因而，熱流密度為將前面得到的f1代入有電場作用下產(chǎn)生電流溫度場作用下也可產(chǎn)生電流(熱電效應)溫度梯68輸運系數(shù)系數(shù)為張量，對最簡單情況，即假設樣品具有立方結構，利用

系數(shù)則成為標量電流密度熱流密度輸運系數(shù)系數(shù)為張量，對最簡單情況，即假設樣品具有立方結構，利691)n=02)n=13)n=2可見，三個輸運系數(shù)都通過電導率相聯(lián)系1)n=02)n=13)n=2可見，三個輸運系數(shù)都通過70§7.7.2熱導率溫度梯度的存在，可在金屬樣品中產(chǎn)生熱流。實驗上，測量熱導率時樣品處于開路，無電流通過，因此，J=0

源于：在開路樣品中，溫度梯度引起電荷流動，在樣品端部積聚建立起電場。

在熱流計算中應計入這一電場

代入熱流正比于溫度梯度，其比例系數(shù)即為材料的熱導率，即

熱導率§7.7.2熱導率溫度梯度的存在，可在金屬71§7.7.3熱電勢相應的電場強度與溫度梯度成正比，即樣品上加有溫度梯度并處于開路狀態(tài)，在樣品上則可觀察到熱電動勢，這一效應稱為Seebeck效應比例系數(shù)稱為材料的絕對熱電勢，簡稱為熱電勢§7.7.3熱電勢相應的電場強度與溫度梯度成正比，即樣品72可見，決定熱電勢的是金屬電導率在費米能附近隨能量的變化

式中()、v()分別為能量為的電子的弛豫時間和電子速度，dS為能量為的等能面（面積為A）上的面元。

<….>表示在等能面上的平均自由電子氣可見，決定熱電勢的是金屬電導率在費米能附近隨能量的變化式中73如果弛豫時間對能量的依賴不重要，則由3項中最難估算的是()項對其它金屬，如Cu、Ag等，導電電子的行為在某些方面相當接近于自由電子，盡管熱電勢在溫度較高時是正比于溫度的線性行為，但符號為正，說明問題并不如此簡單。看到，熱電勢是負的，其數(shù)值正比于溫度。這正是圖中K、Na金屬在約150K以上的行為。如果弛豫時間對能量的依賴不重要，則由3項中最難估算的是(74§7.7.4熱電勢的測量對熱電勢的測量，通常采用如圖所示的由A、B兩種材料構成的回路

ABB1423TT＋TVAB由于溫差引起的電勢差在T0(如室溫)下測量，則有

B材料常用銅線，已知SB時，就可得到SA

§7.7.4熱電勢的測量對熱電勢的測量，通常采用如圖所示757.1外場下Bloch電子運動的半經(jīng)典模型

7.2Boltzmann方程

7.3外場和碰撞作用

7.4馳豫時間的統(tǒng)計理論

7.5電-聲子相互作用

7.6金屬電導率電阻率

7.8磁輸運性質(zhì)霍爾效應磁電阻效應

7.9熱輸運性質(zhì)熱電效應熱導率熱電勢7.1外場下Bloch電子運動的半經(jīng)典模型76對外電場、磁場采用經(jīng)典方式處理半經(jīng)典含義對晶格周期場采用能帶論量子力學方式處理模型每個電子具有確定的位置r、波矢k

和能帶指標n

建立模型描述r、k

和n

隨時間的變化規(guī)律能帶指標電子的速度波矢隨時間的變化(1)電子總呆在同一能帶中(2)忽略不同帶間的躍遷§7.1Bloch電子運動的半經(jīng)典模型對外電場、磁場采用經(jīng)典方式處理半經(jīng)典含義對晶格周期場采用能帶77Bloch電子的運動方程對晶格周期場的量子力學處理全部概括在函數(shù)中能帶結構輸運性質(zhì)半經(jīng)典模型使能帶結構與輸運性質(zhì)即電子對外場的響應相聯(lián)系輸運性質(zhì)能帶結構同基于理論得到的能帶結構進行比較從而驗證能帶結構的理論基礎的正確與否提供了從能帶結構推斷出電子輸運性質(zhì)的理論基礎基于輸運性質(zhì)的測量結果推斷出電子的能帶結構Bloch電子的運動方程對晶格周期場的量子力學處理全部概78§7.2Boltzmann方程對固體中電子輸運性質(zhì)的了解，除載流子受到的散射或碰撞外，需要知道外場作用下載流子的運動規(guī)律以及外場和碰撞同時作用對載流子輸運性質(zhì)的影響。外場下載流子運動規(guī)律可基于半經(jīng)典模型現(xiàn)在要解決的是如何考慮碰撞以及碰撞和外場同時作用對載流子運動規(guī)律的影響？引入分布函數(shù)，并將這些影響歸結到對分布函數(shù)的影響定義對于單位體積樣品，t時刻、第n個能帶中，在（r,k）處相空間體積內(nèi)的電子數(shù)為：每一個電子對電流密度的貢獻為n通常不標出，因為考慮的是同一帶中的電子所以總電流密度為碰撞以及碰撞和外場同時作用對f的影響？§7.2Boltzmann方程對固體中電子輸運性質(zhì)的了解，79在熱平衡情況下，即溫度均勻且沒有外場作用，電子系統(tǒng)的分布函數(shù)為費米分布函數(shù)與位置無關。有外場/溫度不均勻時，電子將偏離熱平衡，相應的分布函數(shù)點范圍內(nèi)如何隨時間變化呢？在熱平衡情況下，即溫度均勻且沒有外場作用，電子系統(tǒng)的分布函數(shù)80t時刻（r,k）處的電子由于碰撞的存在，dt時間內(nèi)從（r-dr,k-dk）處出發(fā)的電子并不都能到達（r,k）處，另一方面，t時刻（r,k）處的電子也并非都來自t-dt時刻（r-dr,k-dk）處漂移來的電子，因此有：若將因碰撞引起的f變化寫成則有必來自t-dt時刻（r-dr,k-dk）處漂移來的電子若沒有碰撞，則有t時刻（r,k）處的電子由于碰撞的存在，dt時間內(nèi)從（r81玻爾茲曼方程右邊第一項展開，保留到dt的線性項，有對于穩(wěn)態(tài)玻爾茲曼方程右邊第一項展開，保留到dt的線性項，有對于穩(wěn)態(tài)82Boltzmann方程決定于體系的能帶結構與外場有關因此，Boltzmann方程將能帶結構、外場作用以及碰撞作用通過引入分布函數(shù)而相聯(lián)系，成為研究固體電子輸運性質(zhì)的理論基礎半經(jīng)典模型Boltzmann方程決定于體系的能帶結構與外場有關因此，B83§7.3外場和碰撞作用(1)溫度場溫度梯度的存在引起不均勻的分布函數(shù)通常假定非平衡的穩(wěn)態(tài)分布相對于平衡分布偏離甚少(2)電場忽略掉溫度梯度對f1的影響§7.3外場和碰撞作用(1)溫度場溫度梯度的存在引起不均勻84(1)溫度場(2)電場(3)磁場(3)磁場(1)溫度場(2)電場(3)磁場(3)磁場85玻爾茲曼方程最復雜的是碰撞項的處理，為了方便，可以做一些簡化。假設沒有外場，也沒有溫度梯度，那么如果電子的分布函數(shù)偏離了平衡值，系統(tǒng)必須以碰撞機制來恢復平衡態(tài)的分布。(4)碰撞負號源于偏離隨時間的增加而減小。方程的解：該方程說明：由于碰撞作用，系統(tǒng)將以時間常數(shù)弛豫回到平衡分布。一般可以用弛豫時間來描述這個恢復過程：玻爾茲曼方程最復雜的是碰撞項的處理，為了方便，可以做一些簡化86溫度場、電場、磁場及碰撞作用同時存在下的Boltzmann方程溫度場電場磁場碰撞(4)碰撞(1)溫度場(2)電場(3)磁場得到代入溫度場、電場、磁場及碰撞作用同時存在下的Boltzmann方87§7.4固體電阻率在沒有溫度場、磁場的情況下，僅有電場時的Boltzmann方程為泰勒定理：因此，該式相當于上述泰勒展開式的一級近似借助分布函數(shù)電流密度可表示為由于平衡分布對電流沒有貢獻相當于同時注意到§7.4.1直流電導率§7.4固體電阻率在沒有溫度場、磁場的情況下，僅有電場時88說明：在電場作用下，分布函數(shù)相當于平衡分布函數(shù)沿著外場相反的方向剛性移動了或者說，在k空間中，外加電場引起費米球剛性平移了注意到說明：在電場作用下，分布函數(shù)相當于平衡分布函數(shù)沿著外場相反的89知道了分布函數(shù)就可以很方便的求出電流密度，只需對分布函數(shù)在相空間求積分：代入知道了分布函數(shù)就可以很方便的求出電流密度，只需對分布函數(shù)在相90兩個等能面之間的距離為dk面元為ds體積元為由于：而：考慮K空間的兩個等能面兩個等能面之間的距離為dk體積元為由于：而：考慮K空間的兩91由于只在費米面附近才不為零，即所以積分只需考慮在費米面附近進行考慮一個立方體晶體，外場方向沿著Ox方向，電流沿著Ox所以立方體晶體的電導率由于只在費米面附近才不為零，92利用對稱性以及關系利用得到得到和在自由電子氣模型中得到的結果形式上相同，不同之處有兩點，一是電子的質(zhì)量為有效質(zhì)量，二是馳豫時間為費米面上電子的馳豫時間。利用對稱性以及關系利用得到得到和在自由電子氣模型中得到的結果93剩余電阻率聲子散射有關的電阻率電子－電子相互作用有關的電阻率磁散射有關的電阻率導體在多種散射機制存在下，總的散射幾率是：總散射馳豫時間電阻率源于傳導電子的散射，固體因缺陷、雜質(zhì)、晶格振動、庫侖作用等，往往存在著多種散射機制Pi代表第i種機制單位時間內(nèi)的散射幾率意味著總電阻率是不同散射機制引起的電阻率之和雜質(zhì)、缺陷等散射電子－聲子相互作用電子－電子相互作用磁散射導體電阻率至少包含四個部分馬西森(Matthiessen)定則剩余電阻率聲子散射有關的電阻率電子－電子相互作用有關的電阻率94當溫度不為零時，離子實會在平衡位置附近發(fā)生小的振動，使得電子勢變成

晶體中共有化運動的電子是在和晶格具有相同周期的勢場中運動：對理想完整的晶體，絕對零度時離子實處在嚴格周期排列的位置在這樣的周期場中運動的電子，其狀態(tài)是由確定能量和確定波矢的Bloch波所描述的穩(wěn)定態(tài)，這種穩(wěn)定態(tài)不會發(fā)生變化。明顯地，周期勢場因晶格振動而被破壞，附加的偏離周期性勢場離子實對平衡位置的偏離

§7.4.2電-聲子相互作用當溫度不為零時，離子實會在平衡位置附近發(fā)生小的振動，使得電子95可看作為微擾，它使得電子從一個穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)，即出現(xiàn)散射

假設偏離很小，則有

為簡單起見，只考慮簡單格子，此時僅有聲學支

將波矢q、頻率的簡正模引起的原子位移寫成實數(shù)形式

為振動方向上的單位矢量

可看作為微擾，它使得電子從一個穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)，即出現(xiàn)96這是量子力學中典型的含時周期性微擾問題在這樣的微擾下，電子從k態(tài)躍遷到k’態(tài)的幾率為函數(shù)保證了躍遷過程中能量是守恒的，即這是量子力學中典型的含時周期性微擾問題在這樣的微擾下，電子從97離子實偏離平衡位置的運動組成晶體中的格波，格波的能量是量子化的。格波的量子稱為聲子

因此晶格振動對電子的散射實際上就是聲子對電子的散射。晶格運動對電子的散射過程相當于電子通過吸收（+）或發(fā)射聲子（-），從一個穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)的過程。量子力學語言吸收聲子發(fā)射聲子離子實偏離平衡位置的運動組成晶體中的格波，格波的能量是量子化98散射矩陣元由于晶格平移對稱性，求和部分僅僅當波矢之和為倒格矢方不為零，由此給出晶格動量守恒關系，即散射矩陣元由于晶格平移對稱性，求和部分僅僅當波矢之和為倒格矢99能量守恒關系動量守恒關系正常過程或N過程此時說明電子在初態(tài)k吸收（+）或發(fā)射（-）一個波矢為q的聲子躍遷到末態(tài)k‘的過程能量和動量均是守恒的。吸收聲子發(fā)射聲子能量守恒關系動量守恒關系正常過程或N過程此時說明電子在初態(tài)k100倒逆過程或U過程此時說明電子在初態(tài)k吸收（+）或發(fā)射（-）一個波矢為q的聲子躍遷到末態(tài)k‘的過程能量是守恒的，但動量并不守恒?！?.4.3馳豫時間碰撞項該方程說明：由于碰撞作用，系統(tǒng)將以時間常數(shù)弛豫回到平衡分布。另外一方面，碰撞項也可以表示為：代表單位時間內(nèi)因碰撞進入（r，k）處相空間單位體積中的電子數(shù)代表單位時間內(nèi)因碰撞離開（r，k）處相空間單位體積中的電子數(shù)倒逆過程或U過程此時說明電子在初態(tài)k吸收（+）或發(fā)射（-）一101若電子從k態(tài)躍遷到k’態(tài)的幾率為wk,k’，計及泡利不相容原理，則有同理有因此可以論證則有若電子從k態(tài)躍遷到k’態(tài)的幾率為wk,k’，計及泡利不相容原102在外加電場下對球形費米面如取電場方向為k方向，則有為k和k’之間的夾角寫成積分形式在外加電場下對球形費米面如取電場方向為k方向，則有為k和k103§7.4.4聲子散射有關的電阻率隨溫度的變化故電阻率不僅與躍遷幾率有關，還涉及（1-cos）的權重因子很明顯小角度的散射對產(chǎn)生電阻幾乎沒有貢獻，起重要作用的則是大角度散射，它使電子沿電場方向的速度有大的改變。由前面得分析看到，電子和格波的一個簡正模（即一個聲子）相互作用導致電子從k態(tài)到k’態(tài)的躍遷，其躍遷幾率正比于該格波振幅的平方對所描述的格波模晶格中每個原子的振動動能§7.4.4聲子散射有關的電阻率隨溫度的變化故電阻率不僅與104對時間平均后得到N個原子總的振動動能為可見，振幅的平方與相應格波模的能量相聯(lián)系，用聲子語言，則是比例于相應的聲子數(shù)頻率為的格波的聲子數(shù)按德拜模型，總的聲子數(shù)為對時間平均后得到N個原子總的振動動能為可見，振幅的平方與相應105高溫低溫同時，高溫下涉及的聲子波矢較大，(1-cos)與溫度幾乎無關，因此，電阻率正比于溫度，即另外一方面，低溫下涉及的聲子波矢小，需要考慮(1-cos)因子的影響布洛赫-格林艾森T5定律高溫低溫同時，高溫下涉及的聲子波矢較大，(1-cos)與溫106更一般情況下電子受聲子的散射引起的電阻率為：A為材料有關的常數(shù)，M原子質(zhì)量，D為德拜溫度高溫低溫意味著高溫時，因電－聲子相互作用引起的電阻率隨溫度降低而線性減小意味著低溫時，因電－聲子相互作用引起的電阻率按T5關系隨溫度降低而減少稱為布洛赫-格林艾森公式更一般情況下電子受聲子的散射引起的電阻率為：A為材料有關的常107§7.4.5極化子(polarons)

有關的電阻率電－聲子相互作用最通常的效應表現(xiàn)在電阻率對溫度的依賴關系上，電子被聲子所散射，溫度越高，存在的聲子就越多，散射也就愈加頻繁，因此，電阻率隨溫度升高而增加。電－聲子相互作用一個更為微妙的效應是在金屬和絕緣體中由于電子依附離子實而隨之運動，使得電子有效質(zhì)量增大。電子以及與之相伴隨的晶格應變場的組合統(tǒng)稱為極化子電－聲子相互作用極化子的形成以離子晶體為例說明一個極化子的形成過程§7.4.5極化子(polarons)有關的電阻率電－聲108KCl形成彈性點陣

由于K離子帶正電，如果傳導電子出現(xiàn)在K離子附近意味著，在彈性點陣情況下，K或Cl離子會因為同傳導電子之間的庫侖力作用而發(fā)生位移，即所謂的晶格應變同樣由于Cl離子帶負電，當傳導電子經(jīng)過時，傳導電子和Cl離子之間的庫侖排斥力作用使得Cl離子遠離傳導電子彈性點陣則傳導電子和K離子之間的庫侖吸引力作用，使得K離子向傳導電子靠近KCl形成彈性點陣由于K離子帶正電，如果傳導電子出現(xiàn)在K離109電子加上與之聯(lián)系的應變場稱為一個極化子離子的位移增大了電子的有效慣性，因此也就增大了它的有效質(zhì)量，從而使得傳導電子的運動速度變緩。在極端情況下，傳導電子自陷于應變場中，或者說傳導電子被因晶格畸變而產(chǎn)生的應變場所捕獲，成為束縛態(tài)電子。現(xiàn)在所關心的是，電子如何從一個束縛態(tài)過渡到另一個束縛態(tài)電子加上與之聯(lián)系的應變場稱為一個極化子離子的位移增大了電子的110極化子有關的電阻率高溫下，傳導電子借助于熱激活機理可以從一個束縛態(tài)過渡到另一個束縛態(tài)高溫無外場時勢能曲線傳導電子越過勢壘向左和向右的幾率勢一樣的極化子有關的電阻率高溫下，傳導電子借助于熱激活機理可以從一個111傳導電子右端勢壘高度由原來的E0下降至而傳導左端勢壘高度增至外場的作用使勢壘不再對稱因此，傳導越過勢壘向右的凈幾率為而電阻率在弱場或高溫下傳導電子右端勢壘高度由原來的E0下降至而傳導左端勢壘高度增至112低溫低溫下傳導電子借助隧穿機理而緩慢地通過晶體

三十年多前，基于極化子隧穿機理提出極化子輸運理論按照該理論，低溫（kT<2tp）下電阻率I.G.LangandYu.AFirsov,Sov.Phys.JEPT16,1301(1963)其中tP是極化子跳躍積分，a為晶格常數(shù)，為馳豫率光學聲子模的平均頻率，A為常數(shù)，取決于裸帶寬和電－聲子耦合強度

低溫下只有低頻模式才對電阻率有貢獻，而高頻模式可忽略不考慮，因此，

其中s為軟光學模式的平均頻率，C為正比于極化子有效質(zhì)量的常數(shù)

低溫低溫下傳導電子借助隧穿機理而緩慢地通過晶體三十年多前，113§7.4.6電子-電子相互吸引作用的簡單模型1950年弗烈里希(Frolich)指出：電子-聲子相互作用能把兩個電子耦合在一起，這種耦合就好像兩個電子之間有相互作用一樣為了明確其物理圖像，弗烈里希給出如下一個物理模型整齊排列的理想點陣中的兩個電子當?shù)谝粋€電子通過晶格時，電子與離子點陣的庫侖作用使晶格畸變當?shù)诙€電子通過畸變的晶格時，受到畸變場作用，畸變場吸引這第二個電子如果我們忘記第一個電子對晶格造成畸變的過程，而只看最后結果，將是第一個電子吸引第二個電子§7.4.6電子-電子相互吸引作用的簡單模型1950年弗烈114固體電子輸運理論課件115§7.5磁場中電子的運動磁場中電子運動的基本方程1、自由電子的準經(jīng)典運動

自由電子的能量§7.5磁場中電子的運動磁場中電子運動的基本方程1、自由116回轉頻率可見k空間電子在面上做圓周運動回轉頻率可見k空間電子在面上117實空間電子的運動對時間求導實空間電子的運動對時間求導118可見在(x,y)平面做勻速圓周運動回轉頻率可見在(x,y)平面做勻速圓周運動回轉頻率1192、自由電子情況的量子理論

無磁場時自由電子哈密頓算符為整數(shù)N個電子基態(tài)從能量最低k=0態(tài)開始，按能量由低到高依次填充，最后得到一個費米球。電子的本征能量2、自由電子情況的量子理論無磁場時自由電子哈密頓算符為整數(shù)120磁場中電子的動量包含兩部分運動動量勢動量（場動量）因此磁場中電子的哈密頓算符外加磁場，假設磁場沿z軸，則可取矢勢因此，磁場中運動的電子滿足的薛定鄂方程為磁場中電子的動量包含兩部分運動動量勢動量（場動量）因此磁場中121令代入得到應滿足的方程令顯然，這是簡諧振子的薛定鄂方程令代入得到應滿足的方程令顯然，這是簡諧振子的薛定鄂方程122諧振子波函數(shù)諧振子的能量而電子波函數(shù)電子的能量諧振子波函數(shù)諧振子的能量而電子波函數(shù)電子的能量123電子波函數(shù)電子的能量這些量子化的能級稱為朗道能級表明：沿磁場方向（z方向）電子保持自由運動，相應的動能為在垂直磁場的(x,y)平面上，電子運動是量子化的，從準連續(xù)的能量變成電子波函數(shù)電子的能量這些量子化的能級稱為朗道能級表明：沿磁場124在垂直于磁場方向上，無磁場時的動能按量子化，簡并到Landua能級上這樣在k空間中，許可態(tài)的代表點將簡并到Landua管上，其截面為Landau環(huán)，如圖。在垂直于磁場方向上，無磁場時的動能按量子化，簡并到Landu1253、晶體中電子的情況

晶體中電子在磁場中的運動時，其哈密頓算符處理思路：將周期性勢場的影響概括為有效質(zhì)量的變化

——有效質(zhì)量近似方法哈密頓量采用有效質(zhì)量近似后，晶體中的電子可視為“自由電子”，正是此電子的質(zhì)量是有效質(zhì)量m*3、晶體中電子的情況晶體中電子在磁場中的運動時，其哈密頓算126回轉頻率磁場下晶體中電子的波函數(shù)能量本征值在垂直于磁場方向上，無磁場時的動能按量子化，簡并到Landua能級上回轉頻率磁場下晶體中電子的波函數(shù)能量本征值在垂直于磁場方向上1274、回旋共振晶體中電子在磁場中運動，采用有效質(zhì)量近似后，電子做螺旋運動，回轉頻率在垂直于磁場的方向施加一個交變電場，當電子將吸收交變電場的能量電子發(fā)生共振吸收，稱為回旋共振電子吸收電場的能量，電子實現(xiàn)了從一個朗道能級躍遷到更高能量的朗道能級上，通過測量回旋共振頻率，可以確定電子的有效質(zhì)量半導體材料中能帶底和能帶頂附近，電子的有效質(zhì)量不同，具有不同的回旋共振頻率4、回旋共振晶體中電子在磁場中運動，采用有效質(zhì)量近似后，電子128§7.6磁輸運性質(zhì)§7.6.1Boltzmann方程及解一般情況下Boltzmann方程若沒有溫度梯度，只有磁場和電場作用，則§7.6磁輸運性質(zhì)§7.6.1Boltzmann方程及129代入到代入到130類似于在電場下的討論，我們得到電場和磁場同時存在時的電流密度為若寫成形式則有類似于在電場下的討論，我們得到電場和磁場同時存在時的電流密度131§7.6.2Hall電阻與歐姆電阻假定磁場沿z軸，電流在垂直于z軸的平面上，如圖?！?.6.2Hall電阻與歐姆電阻假定磁場沿z軸，電流在132Hall電阻率與磁場無關！正比于磁場Hall電阻率與磁場無關！正比于磁場133§7.6.3磁電阻效應定義磁場引起的電阻變化，稱之為磁電阻效應從推導中看到，與磁場無關的量，意味著之所以得出磁電阻為零的結論，主要是因為：費米面為球形對電流貢獻的電子來自于同一能帶中只有費米面附近、速度等于費米速度的電子才參與導電，它們感受到同樣的洛倫玆力，雖然這種洛倫玆力作用下電子軌道會發(fā)生偏轉，但恰好為霍爾場的作用所抵消，結果相當于磁場并不存在。§7.6.3磁電阻效應定義磁場引起的電阻變化，稱之為磁電134費米面并非嚴格球形實際情況是所有的金屬均表現(xiàn)出不為零的磁電阻效應原因參與導電的電子并非僅僅來自單一能帶因此電子速度、有效質(zhì)量與方向和能量有關，僅部分電子的運動滿足洛倫玆力與霍爾場力的平衡，其余電子的軌跡發(fā)生了變化。假設參與導電的電子來自兩個各向同性的能帶兩帶模型這樣就有兩組不同有效質(zhì)量和不同速度的載流子總電流Ji、i和Di分別為第i帶的電流密度、電導率和D矢量由于這一原因，磁電阻測量常常成為研究費米面形狀的最有效實驗手段費米面并非嚴格球形實際情況是所有的金屬均表現(xiàn)出不為零的