2022年高考數(shù)學(xué)數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和知識(shí)點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)含答案

專題23數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和一、單選題（本大題共10小題，共50分）1．據(jù)《乾陵百迷》記載：乾陵是陜西關(guān)中地區(qū)唐十八陵之一，位于乾縣縣城北部的梁山上，是唐高宗李治和武則天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被國(guó)務(wù)院公布為第一批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位．乾陵氣勢(shì)雄偉，規(guī)模宏大．登乾陵需要通過(guò)一段石階路，如圖所示，石階路共526級(jí)臺(tái)階（各臺(tái)階高度相同）和18座平臺(tái)，寬11米，全路用32000塊富平墨玉石砌成．右階有許多象征意義．比如第一道平臺(tái)的34級(jí)臺(tái)階，象征唐高宗李治在位執(zhí)政34年，第二道平臺(tái)的21級(jí)臺(tái)階，象征武則天執(zhí)政21年……第九道平臺(tái)的108級(jí)臺(tái)階，象征有108個(gè)“吉祥”現(xiàn)已知這108級(jí)臺(tái)階落差高度為17.69米，那么乾陵石階路526級(jí)臺(tái)階的落差高度約為（）A．86.2米 B．83.6米 C．84.8米 D．85.8米2．一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來(lái)上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲(chǔ)蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為（）A． B．C． D．3．復(fù)利是指一筆資金產(chǎn)生利息外，在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)，以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息也計(jì)算利息的計(jì)息方法，單利是指一筆資金只有本金計(jì)取利息，而以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)不計(jì)算利息的計(jì)息方法.小闖同學(xué)一月初在某網(wǎng)貸平臺(tái)貸款10000元，約定月利率為1.5%，按復(fù)利計(jì)算，從一月開始每月月底等額本息還款，共還款12次，直到十二月月底還清貸款，把還款總額記為x元.如果前十一個(gè)月因故不還貸款，到十二月月底一次還清，則每月按照貸款金額的1.525%，并且按照單利計(jì)算利息，這樣的還款總額記為y元.則y-x的值為（）(參考數(shù)據(jù)：1.01512≈1.2)A．0 B．1200 C．1030 D．9004．已知數(shù)列中的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．5．在數(shù)列中,當(dāng)時(shí),其前項(xiàng)和為滿足,設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,則滿足的最小正整數(shù)是A．12 B．11 C．10 D．96．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．7．公元前世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí)，烏龜先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí)，烏龜先他米....所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）A．米 B．米C．米 D．米8．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國(guó)乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．5 B．6 C．7 D．89．刪去正整數(shù)數(shù)列中的所有完全平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的第2018項(xiàng)是A． B． C． D．10．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，若，則的最大值為A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，共20分）11．設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意的，滿足，,則_________12．?dāng)?shù)列滿足，且，.若，則實(shí)數(shù)__________．13．1967年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅的文章《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對(duì)象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計(jì)算機(jī)藝術(shù)家的角色，事實(shí)表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具．下面我們用分形的方法來(lái)得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長(zhǎng)度為1，在線段AB上取兩個(gè)點(diǎn)C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個(gè)正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對(duì)圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個(gè)圖形（圖1為第一個(gè)圖形）中的所有線段長(zhǎng)的和為，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則a的最小值為__________．14．對(duì)于實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，已知正數(shù)列{an}滿足Sn=（an），n∈N*，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則[]=______．三、解答題（本大題共3小題，共30分）15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，是否存在q的某些取值，使數(shù)列中某一項(xiàng)能表示為另外三項(xiàng)之和？若能求出q的全部取值集合，若不能說(shuō)明理由．（3）若，是否存在，使數(shù)列中，某一項(xiàng)可以表示為另外三項(xiàng)之和？若存在指出q的一個(gè)取值，若不存在，說(shuō)明理由．17．已知無(wú)窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列滿足下列條件：①；②.記數(shù)列的前項(xiàng)積為.（1）若，求；（2）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫出一組;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若，求的最大值.專題23數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和一、單選題（本大題共10小題，共50分）1．據(jù)《乾陵百迷》記載：乾陵是陜西關(guān)中地區(qū)唐十八陵之一，位于乾縣縣城北部的梁山上，是唐高宗李治和武則天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被國(guó)務(wù)院公布為第一批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位．乾陵氣勢(shì)雄偉，規(guī)模宏大．登乾陵需要通過(guò)一段石階路，如圖所示，石階路共526級(jí)臺(tái)階（各臺(tái)階高度相同）和18座平臺(tái)，寬11米，全路用32000塊富平墨玉石砌成．右階有許多象征意義．比如第一道平臺(tái)的34級(jí)臺(tái)階，象征唐高宗李治在位執(zhí)政34年，第二道平臺(tái)的21級(jí)臺(tái)階，象征武則天執(zhí)政21年……第九道平臺(tái)的108級(jí)臺(tái)階，象征有108個(gè)“吉祥”現(xiàn)已知這108級(jí)臺(tái)階落差高度為17.69米，那么乾陵石階路526級(jí)臺(tái)階的落差高度約為（）A．86.2米 B．83.6米 C．84.8米 D．85.8米【答案】A【解析】解：由題意可知所求高度為，所以乾陵石階路526級(jí)臺(tái)階的落差高度約為86.2米，故選：A2．一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來(lái)上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲(chǔ)蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)，孩子在一周歲生日時(shí)存入的元產(chǎn)生的本利合計(jì)為，同理：孩子在2周歲生日時(shí)存入的元產(chǎn)生的本利合計(jì)為，孩子在3周歲生日時(shí)存入的元產(chǎn)生的本利合計(jì)為，孩子在17周歲生日時(shí)存入的元產(chǎn)生的本利合計(jì)為，可以看成是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列的前17項(xiàng)的和，此時(shí)將存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)：故選：D3．復(fù)利是指一筆資金產(chǎn)生利息外，在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)，以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息也計(jì)算利息的計(jì)息方法，單利是指一筆資金只有本金計(jì)取利息，而以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)不計(jì)算利息的計(jì)息方法.小闖同學(xué)一月初在某網(wǎng)貸平臺(tái)貸款10000元，約定月利率為1.5%，按復(fù)利計(jì)算，從一月開始每月月底等額本息還款，共還款12次，直到十二月月底還清貸款，把還款總額記為x元.如果前十一個(gè)月因故不還貸款，到十二月月底一次還清，則每月按照貸款金額的1.525%，并且按照單利計(jì)算利息，這樣的還款總額記為y元.則y-x的值為（）(參考數(shù)據(jù)：1.01512≈1.2)A．0 B．1200 C．1030 D．900【答案】C【解析】解：由題意知，按復(fù)利計(jì)算，設(shè)小闖同學(xué)每個(gè)月還款元，則小闖同學(xué)第一次還款元后，還欠本金及利息為元，第二次還款元后，還欠本金及利息為，第三次還款元后，還欠本金及利息為，依次類推，直到第十二次還款后，全部還清，即，即，解得，故元，按照單利算利息，12月后，所結(jié)利息共元，故元，所以，故選：C4．已知數(shù)列中的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【解析】由有,當(dāng)時(shí),,求得,當(dāng)時(shí),,化簡(jiǎn)得,當(dāng),,所以,當(dāng),,所以,因?yàn)楹愠闪?所以當(dāng)當(dāng),,即,當(dāng),,,綜上兩種情況,有．5．在數(shù)列中,當(dāng)時(shí),其前項(xiàng)和為滿足,設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,則滿足的最小正整數(shù)是A．12 B．11 C．10 D．9【答案】C【解析】由可得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，則，解得，所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和．由可得，即，令，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，若，則，則滿足的最小正整數(shù)是．故選C．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【解析】由數(shù)列的遞推公式可得：，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，分組求和可得：，題中的不等式即恒成立，結(jié)合恒成立的條件可得實(shí)數(shù)的取值范圍為本題選擇B選項(xiàng).7．公元前世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí)，烏龜先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí)，烏龜先他米....所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】D【解析】根據(jù)題意，這是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)，所以，解得，所以.故選：D.8．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國(guó)乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】設(shè)最上面一層放根，一共放n（n≥2）層，則最下一層放根，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得：，∴，∵,∴n為264的因數(shù)，且為偶數(shù)，把各個(gè)選項(xiàng)分別代入，驗(yàn)證，可得：n=8滿足題意.故選：D9．刪去正整數(shù)數(shù)列中的所有完全平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的第2018項(xiàng)是A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，這些數(shù)可以寫為：，第個(gè)平方數(shù)與第個(gè)平方數(shù)之間有個(gè)正整數(shù)，而數(shù)列共有項(xiàng)，去掉個(gè)平方數(shù)后，還剩余個(gè)數(shù)，所以去掉平方數(shù)后第項(xiàng)應(yīng)在后的第個(gè)數(shù)，即是原來(lái)數(shù)列的第項(xiàng)，即為，故選B.10．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】A【解析】，，是以為公比的等比數(shù)列，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，無(wú)解，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，又，，即，即，又n為奇數(shù)，故n的最大值為故選A二、填空題（本大題共4小題，共20分）11．設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意的，滿足，,則_________【答案】【解析】∵對(duì)任意的，滿足，，∴，∴．∴．答案：12．?dāng)?shù)列滿足，且，.若，則實(shí)數(shù)__________．【答案】【解析】由題意，數(shù)列滿足且，，令，可得，即，解得，令，可得，即，解得，同理可得，可得數(shù)列的周期為3，又由，所以，所以，即，又由，解得，所以.13．1967年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅的文章《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對(duì)象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計(jì)算機(jī)藝術(shù)家的角色，事實(shí)表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具．下面我們用分形的方法來(lái)得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長(zhǎng)度為1，在線段AB上取兩個(gè)點(diǎn)C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個(gè)正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對(duì)圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個(gè)圖形（圖1為第一個(gè)圖形）中的所有線段長(zhǎng)的和為，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則a的最小值為__________．【答案】2．【解析】設(shè)第個(gè)圖形中新出現(xiàn)的等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則當(dāng)時(shí)，，設(shè)第個(gè)圖形中新增加的等邊三角形的個(gè)數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，，故，其中，由累加法可得，時(shí)，也符合該式，故，故對(duì)任意的恒成立，故即a的最小值為2.故答案為：2.14．對(duì)于實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，已知正數(shù)列{an}滿足Sn=（an），n∈N*，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則[]=______．【答案】20【解析】由題可知，當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)可得，當(dāng)所以數(shù)列是以首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，即又時(shí)，記一方面另一方面所以即故答案為20三、解答題（本大題共3小題，共30分）15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列知，，所以，即.又，所以，所以，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，所以所以數(shù)列的前項(xiàng)和：所以數(shù)列的前項(xiàng)和16．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求證