第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用

第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用

一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積四、全微分方程一、格林公式單連通與復(fù)連通區(qū)域區(qū)域的邊界曲線的方向

當(dāng)觀察者沿區(qū)域D的邊界曲線L行走時如果左手在區(qū)域D內(nèi)則行走方向是L的正向單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域

設(shè)D為平面區(qū)域如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D

則稱D為平面單連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域

定理一設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成函數(shù)P(x

y)及Q(x

y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有其中L是D的取正向的邊界曲線注:

對復(fù)連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向

一、格林公式或證明:1)若D既是X-型區(qū)域

,又是

Y-

型區(qū)域

,且則即同理可證①②①、②兩式相加得:2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區(qū)域,如圖證畢推論:

正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積格林公式的應(yīng)用1.簡化二重積分例1.

計算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點的三角形閉域.解:

令,則利用格林公式,有2.簡化曲線積分例2.

設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令則利用格林公式,得xyoLAB例4.

計算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:

為了使用格林公式,添加輔助線段它與L所圍原式圓周區(qū)域為D,

則例5.

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解:

令設(shè)L所圍區(qū)域為D,由格林公式知在D內(nèi)作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應(yīng)用格記L

和

lˉ

所圍的區(qū)域為林公式,得二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)

設(shè)G是一個開區(qū)域P(x

y)、Q(x

y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

與路徑無關(guān)否則說與路徑有關(guān)

如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點A、B以及G內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L1、L2等式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理2.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點都有與路徑無關(guān),

只與起止點有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即說明:

積分與路徑無關(guān)時,曲線積分可記為證明

(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))證明

(2)(3)在D內(nèi)取定點因曲線積分則同理可證因此有和任一點B(x,y),與路徑無關(guān),有函數(shù)證明

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點都有證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域為證畢說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=Pdx

+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;例6.

驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。例7.

驗證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數(shù)或1.全微分方程的定義

2.全微分方程的判定若P(x

y)dxQ(x

y)dy是某個函數(shù)uu(x

y)的全微分

du(x

y)P(x

y)dxQ(x

y)dy

那么方程P(x

y)dxQ(x

y)dy0就叫做全微分方程

若P(x

y)、Q(x

y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且則方程P(x

y)dxQ(x

y)dy0是全微分方程

例如所以是全微分方程.3.全微分方程的通解

若方程P(x

y)dxQ(x

y)dy0是全微分方程.

若方程P(x

y)dxQ(x

y)dy0是全微分方程且

du(x

y)P(x

y)dxQ(x

y)dy

則u(x

y)C就是方程的通解

4.全微分方程的求解應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).通解為用不定積分方法.例8.

求解解:

因為故這是全微分方程.則有因此方程的通解為例8.

求解解:

方法2方程的通解其中滿足故由此得得從而通解為例9.